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1、 1 北大附中 2013届高三数学一轮复习单元综合测试：不等式 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150分考试时间 120分钟 第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为()A 1，1 B 2，2 C 1，2 D 2，1【答案】B 2 已知2,0,0baba，则ba41的最小值是 (）A 27 B4 C29 D5【答案】C 3 若0 xy1，则下列不等式成立的是()A 12x12y B x13y13 C log2
2、x12log2y12 D log12x30的解集为x|1x13，则ab的值为()A 6 B 6 C 5 D 5 答案：B 由题意a02xy70 x0，y0，若x、y为整数，则3x4y 的最小值为()A 14 B 16 C 17 D 19【答案】B 6 对一切实数x，不等式x2a|x|1 0 恒成立，则实数a的取值范围是()A 2，)B(，2)C 2,2 D 0，)答案：A 2 当x0 时，对任意实数a，不等式都成立；当x0时，ax21|x|(|x|1|x|)f(x)，问题等价于af(x)max，f(x)max2，故a2.7 已知非零实数,a b满足ab，则下列不等式成立的是 A 22ab B
3、11ab C 22a bab D 22abba【答案】D 8 设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()A x|x4 B x|x4 C x|x6 D x|x2【答案】B 9 若f(x)x22x4lnx，则f(x)0 的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)【答案】C 10已知x、y、z 满足不等式组242yxxyy,则 t=x2+y2+2x2y+2的最小值为()A 95 B 2 C3 D 2【答案】D 11设0 x，且xxab1，则（）A 01ba B 01ab C ab 1 D ba 1【答案】C 12设变量x，y满足约束条件()04304,1
4、yxyxx则目标函数z3xy的最大值为 A 4 B 0 C 43 D 4 【答案】D 3 第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13若变量x，y满足约束条件 xy6，x3y2，x1，则z2x3y的最小值为_【答案】5 14对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，则实数x的取值范围是_【答案】12，52 15函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1 0 上，其中mn0，则1m2n的最小值为_【答案】8 16已知正数x，y满足x2y21，则
5、1x1y的最小值为_【答案】2 2 4 三、解答题(本大题共6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知命题p:对 m-1,1,不等式a2-5a+32m8恒成立，命题 q:方程x2+ax+4=0在实数集内没有解；若 p和 q 都是真命题，求 a 的取值范围.【答案】m-1,1,2m822,3,对 m-1,1,不等式a2-5a+32m8恒成立，可得 a2-5a+33,a 5 或 a 0.故命题 p 为真命题时，a 5 或 a 0.又命题q:方程 x2+ax+4=0在实数集内没有解，=a2-160,-4a 4.故命题 q为真命题时-4a 4.a|a5 或 a 0a|-
6、4a 4=a|-4a 0.a 的取值范围是-4a 0.18某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？【答案】设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为：2 1601042 000 x10 800 x(元)故每平方米的平均综合费用为：y56048x10 800 x56048(x225x)当x225x最小时，y有最小值 x0，x225x2 x225x30，当且仅当x225x，即x15 时上
7、式等号成立 所以当x15 时，y有最小值 2 000元 答：该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小 19设集合Ax|x24，Bx|14x3 (1)求集合AB；(2)若不等式2x2axb0 的解集为B，求a，b的值【答案】Ax|x24x|2 x2，Bx|14x3 x|x1x30 x|3 x1，(1)ABx|2 x1；(2)因为2x2axb0 的解集为Bx|3 x1，所以3和 1 为 2x2axb0 的两根 故 a23 1b23 1，所以a4，b6.20某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单
8、位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水 5 化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【答案】解法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x个单位和 y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z 2.5x4y，且x，y 满足 z 在可行域的四个顶点 A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是 zA2.59 4 0
9、22.5，zB2.54 4 3 22，zC2.52 4 5 25，zD2.50 4 8 32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求 解法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z元，则依题意得：z 2.5x4y，且x，y 满足 让目标函数表示的直线 2.5x4yz 在可行域上平移，由此可知 z 2.5x4y 在 B(4,3)处取得最小值 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求 21已知函数f(x)13x312ax2bx.(1)若a2b，试问函数f(x)能否在x1
10、处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由(2)若函数f(x)在区间(1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求wa4b的取值范围【答案】(1)由题意f(x)x2axb，a2b，f(x)x22bxb.若f(x)在x1 处取极值，则f(1)1 2bb0，即b1，此时f(x)x22x1(x1)20，函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x1处取极值矛盾，该函数不能在x1 处取得极值(2)函数f(x)13x312ax2bx在区间(1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，f(x)x2axb0 在(1,2)，(2,3)内分别有一个实根 6 f(1)0，f(2)0 1 ab0，4 2ab0
11、 ba1，b 3a9.画出不等式表示的区域如图所示，当目标函数wa4b过N(5,6)时，对应的w29；当目标函数wa4b过M(2，3)时，对应的w10.故wa4b的取值范围为29w10.22已知函数f(x)13ax314x2cxd(a，c，dR)满足f(0)0，f(1)0，且f(x)0在 R上恒成立(1)求a，c，d的值；(2)若h(x)34x2bxb214，解不等式f(x)h(x)0，(12)24a(12a)0，即 a0，a212a1160，即 a0，(a14)20，解得：a14，c14(2)ac14 f(x)14x212x14 f(x)h(x)0，即14x212x1434x2bxb2140，7 即x2(b12)xb20，即(xb)(x12)12时，解集为(12，b)，当b12时，解集为(b，12)，当b12时，解集为.