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1、1 3 第三章 轴向拉压变形 题号 页码 3-2.1 3-4.2 3-5.2 3-7.3 3-8.5 3-10.6 3-11.7 3-13.8 3-15.10 3-16.10 3-18.11 3-19.13 3-20.14 3-24.15 3-25.16 3-27.17 3-28.18 3-29.20 3-30.21 3-32.22（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）3-2 一外径 D=60mm、内径 d=20mm 的空心圆截面杆，杆长 l=400mm，两端承受 轴向拉力 F=200kN 作用。若弹性模量 E=80GPa，泊松比 =0.30。试计算该杆外径的改变 量 D 及体积改变量 V
2、 。解：1.计算 D 由于 =F，=D=F EA D EA 故有 D=D=FD=4FD=4 0.30 200 10 0.060 m EA E(D 2 d 2)80 109 (0.0602 0.0202）=1.79 10 5 m=0.0179mm 2.计算 V 由于变形后该杆的体积为 V =lA =(l+l)(D+D)2 (d+d)2 =Al(1+)(1+)2 V(1+4 +2 )2 d d d d 2 d d 2 1 3 1 E 9)3-4 故有 V=V V=V(+2 )=Fl(1 2)=200 10 0.400 m 3(1 2 0.3)E=4.00 10 7 m 3 =400mm3 80 1
3、09 3-4 图示螺栓，拧紧时产生 l=0.10mm 的轴向变形。试求预紧力 F，并校核螺栓的 强度。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，=500MPa。解：1.求预紧力 F 由于各段轴力数值上均等于 F，故有 题 3-4 图 l=F(l1 +l2 +l3 )=4F(l1 +l2 +l3 )由此得 E A1 A2 A3 2 2 2 2 3 F=El =210 10 0.10 10 3 N=1.865 10 4 N=18.65kN 4(l1 1+l2 2 2+l3 2 3 4 (0.006 0.0082+0
4、.029 0.00682+0.008)0.007 2 2.校核螺栓的强度 =F =4F =4 18.65 10 N=5.14 108 Pa=514MPa max Amin d 2 0.00682 m 2 此值虽然超过 ，但超过的百分数仅为 2.6，在 5以内，故仍符合强度要求。3-5 图示桁架，在节点 A 处承受载荷 F 作用。从试验中测得杆 1 与杆 2 的纵向正应 变分别为=4.010-4 与2=2.010。试确定载荷 F 及其方位角 之值。已知杆 1 与杆 2 的 横截面面积 A1=A2=200mm2，弹性模量 E1=E2=200GPa。3 o o o o 3 3 解：1.求各杆轴力 题
5、 3-5 图 F=E A =200 109 4.0 10 4 200 10 6 N=1.6 10 4 N=16kN N1 1 1 1 FN2=E2 2 A2=200 109 2.0 10 4 200 10 6 N=8 103 N=8kN 2.确定 F 及 之值 由节点 A 的平衡方程 Fx =0 和 Fy =0 可得 FN2 sin30+Fsin FN1sin30 =0(a)FN1cos30+FN2 cos30 Fcos=0(b)化简后，成为 FN1 FN2 =2Fsin (c)及 联解方程(c)与(d)，得 3(FN1+FN2)=2Fcos （d）tan=FN1 FN2 =(16 8)10
6、=0.1925 由此得 3(FN1+FN2)3(16+8)103 =10.89o 10.9o F=FN1 FN2 2sin=(16 8)10 2sin10.89o N=2.12 10 4 N=21.2kN 3-7 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷 F，并由作用于地桩的摩擦力所支 持。设沿地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f=ky2，式中，k 为常数。试求地桩的缩短量 。已 知地桩的横截面面积为 A，弹性模量为 E，埋入土中的长度为 l。4 解：1.求总摩擦力 Fy 题 3-7 图 F =l kl 3 fdy=ky 2 dy=2.确定 k 根据 Fy =F，得 y l 0 3 kl 3 3
7、F=F k=3 l 3（a）3.求 y 处的轴力 FN y y ky 3 F =fdy =ky 2 dy =N 4.求 y处dy 微段的缩短量为 积分可得 0 0 3 d=FN dy EA l F dy =N=k l y 3 dy=kl 4（b）将式(a）代入式(b)，最后得 0 EA 3EA 0 12EA =Fl 4EA 5 2 2 3-8 长度为 l=180mm 的铸铁杆，以角速度 绕 O1O2 轴等速旋转。若铸铁密度 =7.54 103kg/m3，许用应力 =40MPa，弹性模量 E=160GPa，试根据杆的强度确定轴的许用转 速，并计算杆的相应伸长。解：1.求轴的许用转速 n 题 3-
8、8 图 离轴为 x 处的 dx 微段质量的离心惯性力为 dF=(Adx)2 x x 处杆截面的轴力为 F(x)=l/2 A2 xdx =A (l x 2)(a)N x 2 4 最大轴力在轴线处（x=0），其值为 FN,max =A2l 2 8 由强度要求 F =N,max=2l 2 max A 8 可得 8 =8 40 106 =1144.5 1/sec l 2 7.54 103 0.1802 sec2 计算中用到1N=1kg m/sec2。相应之许用转速为 n=60 =60 1144.5r =10929 r/min 2 2.计算杆的总伸长量 由式(a)可得 2 min 6 2 2 3 (x)
9、=FN(x)=(l x 2)从而有 EA 2E 4 l l=2/2 l/2 (x)dx=2 2 l 2 x 2 dx 0 0 2E 4 =2l 3=7.54 10 1144.52 0.1803 m 12E 12 160 109 =3.00 10 5 m=0.030mm 计算中再次用到1N=1kg m/sec2。3-10 图 3-10a 所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。设叶冠 A 的重量 为 W，涡轮的角速度为 ，叶片材料的弹性模量为 E，密度为 ，许用应力为 。试按各 横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片 x 截面处的横截面面积 A(x)，并计算叶片 的轴向变形。与叶片的
10、离心力相比，叶片的重量很小，可以忽略不计。解：当各横截面上的正应力均等于许用应力 时，叶片微段 dx 的受力情况如图 3-10(b)所示。由 x 方向力的平衡方程 (A+dA)+(Adx)2 x A=0 得 dA 2 xdx=A 7 0 等号两边积分，得 lnA=2 x 2 +lnC 2 或写成 A(x)=Ce 2 x 2 2 (a)确定 C 的边界条件（坐标 x 以盘心为原点）是：W2 R 当 x=R 时，A(x)=A(R)=0 (b)0 将式(b)代入式(a)，得 0 g 2 2 将式(c)代入式(a)，最后得到 W2 R C=0 e g W2 R A(x)=0 e g R0 2 2(R2
11、 x2)2 (c)3-11 图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即 产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。题 3-11 图 解：力 F 作用后刚性梁 AB 倾斜如图(见图 3-11)。设钢丝绳中的轴力为 FN，它的总伸 长为 l。由刚性梁所受各力对点 A 的力矩平衡条件可得 FN a+FN(a+b)=F(2a+b)FN =F 由图示的几何关系易得 8 y y y =(2a+b)由此可见，有 l=1+2=a+(a+b)=(2a+b)根据 k 的定义，有 y =l(b)FN =kl=ky 即 =FN =F y k k 3-1
12、3 图示桁架 ABC，在节点 B 承受集中载荷 F 作用。杆 1 与杆 2 的弹性模量均为 E，横截面面积分别为 A1=320mm2 与 A2=2 580mm2。试问在节点 B 和 C 的位置保持不变的条 件下，为使节点 B 的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点 A 的最佳位置）。解：1.求各杆轴力 由图 3-13(a)可得 题 3-13 图 FN1=F sin，FN2 =Fctan 9 2 2 2 2 2.求变形和位移 由图 3-13(b)可得 l1 及 =FN1l1 EA1 =2Fl2 EA1sin2 ，l FN2 l2 2 EA =Fl2 ctan EA2 3.求 的最佳值 By=l1
13、sin+l2 tan=Fl2(E 2 A1sin2sin ctan 2+)A2 由 dBy/d=0，得 2(2cos2 sin+cos sin2)2ctan csc2 =0 或化成 A1 sin 2 sin2 A 2cos 2 sin 2 +2cos=0 再化简为 A1cos A2 2 A cos 3 A(1 3cos 2 )=0 1 2 将 A1、A2 的已知数据代入并化简，得 cos 3+12.09375cos 2 4.03125=0 解此三次方程，舍去增根，得 由此得 的最佳值为 cos=0.564967 =55.6o 10 n n 3-15 图示杆件，长为 l，横截面面积为 A，材料密
14、度为 ，应力-应变关系如图 3-14 图 b 所示。试求杆下端截面 C 的位移。题 3-15 图 解：自杆的下端截面 C 向上取坐标 y，在 y 处的轴力为 FN =gAy 根据 =FN，A =d y dy 及 n =B 可得 d gAy B(y)=()n dy A 由此得 d y=(g)B y n dy 等号两边积分，最后得到该杆下端截面 C 的位移为 (g)l y n dy (g)n l n+1 ()Cy =B 0=(n+1)B 3-16 图示结构，梁 BD 为刚体，杆 1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在 梁的中点 C 承受集中载荷 F 作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已
15、知载荷 F=20kN，各杆 的横截面面积均为 A=100mm2，弹性模量 E=200GPa，梁长 l=1 000mm。11 解：1.求各杆轴力 题 3-16 图 由 Fx =0，得 FN2 =0 由 Fy=0，得 2求各杆变形 FN1 F=FN3 =2 =10kN l2 =0 FN1l 10 103 1.000-4 l1=m=5.0 10 EA 200 109 100 10 6 m=0.50mm=l3 3求中点 C 的位移 由图 3-16 易知，x =l1 =0.50mm()，y=l1 =0.50mm()3-18 如图所示桁架，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。设各杆各截 面的拉压刚
16、度均为 EA。12 F l 2 2 题 3-18 图(a)解：各杆编号示如图 3-18(a)。各杆轴力依次为 F=2 F，F=2 F，F=1 F N1 2 该桁架的应变能为 N2 2 N3 2 3 V =2 Ni i =1 (1 F 2 2 l 2+1 F 2 l)=F l(2 2+1)i=1 2EA 2EA 2 2 4 2EA 4 依据 最后得到 W=1 F，W=V 2 =2 F l(2 2+1)=(2 2+1)Fl ()F 2EA 4 4EA(b)解：各杆编号示如图(b)列表计算如下：i FNi li F 2 l Ni i 1 F l F 2 l 2 0 l 0 3 F l F 2 l 1
17、3 F l 4 F l F 2 l 5 2F 2l 2 2F 2 l (3+2 2)F 2 l 于是，5 2 2 V =FNi li=(3+2 2)F l i=1 依据 2EA 2EA W=1 F，W=V 2 可得 =(3+2 2)Fl ()EA 3-19 试用能量法解题 3-17。题 3-17 图 解：依据题 3-17 图，可列表计算如下：i FNi li F 2 l Ni i 1 2F/2 l F 2 l/2 2 2F/2 l F 2 l/2 3 2F/2 l F 2 l/2 4 2F/2 l F 2 l/2 5 F 2l 2F 2 l (2+2)F 2 l 由表中结果可得 V =依据 5
18、 i=1 2 Ni i 2EA=(2+2)F 2 l 2EA 14 2 1 0 W=1 F 2 B/C 及 W=V 得 B/C=(2+2)Fl EA()3-20 试用能量法解题 3-6。题 3-6 图 解：1.求(x)由题 3-6 图可知，若自左向右取坐标 x，则有 x 截面上有应力 b(x)=b1+b2 b1 x l 2求V (x)=F b(x)=(b1+F b2 b1 x)l v(x)=2(x)2E V =v l 1(x)b(x)dx=F dx F 2l ln(b+b2 b1 x)|l l 0 2E (b+b2 b1 x)2E(b2 b1)l 1 l 3求 l 由 F 2l=2E(b2 b
19、1)ln b2 b1 15 o W=F l=V 得 l=2 Fl E(b2 b1)ln b2 b1 3-24 图示桁架，各杆各截面的拉压刚度相同。试计算在载荷 F 作用时各杆的轴力。(a)解：此为一度静不定桁架。题 3-24 图 设 FN,AB 以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆 AB 为研究对象，由 Fy 得 FN,BC +FN,AB =F =0，(a)后取节点 A 为研究对象，由 Fx =0 和 Fy =0 依次得到 FN,AD =FN,AG(b)及 2FN,AD cos45 =FN,AB (c)在节点 A 处有变形协调关系（节点 A 铅垂向下）l AD 物理关系为 lBC l AB
20、 =cos45o 2l AD(d)lBC=FN,BC l EA，l AB=FN,AB l EA，l AD =FN,AD 2l EA =l AG (e)将式(e)代入式(d)，化简后得 FN,BC FN,AB =2FN,AD (d)16 o 联解方程(a)、(c)和(d)，得 FN,BC =2 2 F（拉），FN,AB =2 2 2 F（压），FN,AD =FN,AG =2 1 2 F（拉）(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮 A 的平衡，由 Fy =0，得 FN1sin45 F=0 由此得 FN1=2F 在 F 作用下，小轮 A 沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，l2 0，故有 F
21、N 2 =0 FN1 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-25 图示桁架，杆 1、杆 2 与杆 3 分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为 1=40MPa，2=60MPa，3=120MPa，弹性模量分别为 E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷 F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。题 3-25 图 解：此为一度静不定结构。节点 C 处的受力图和变形图分别示如图 3-25(a)和(b)。静力学方面 17 2 2 2 2 B 由图(a)可得 F =0，F =3 F (a)x N1 1 2 N2 几何方面 Fy =0，2 FN2 +FN3
22、 =F(b)由图(b)得变形协调方程为 物理方面 根据胡克定律，有 l1ctan30o +l2 sin30o =l3 (c)l1=FN1l1 E1 A1=FN1l1 2E1 A3，l2=FN2 l2 =E2 A2 FN2 l1 3E2 A3，l3=FN3 l3 =E3 A3 FN3 l1 3E3 A3 (d)将式(d)代入式(c)，化简后得 15FN1+32FN2 =8FN3 (c)联解方程(a)、(b)和(c)，并代入数据，得 FN1 =22.6kN(压)，FN2 =26.1kN（拉），FN3 =146.9kN（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：FN1 22.6 103 4 2 2
23、A1 =1 m 40 106=5.65 10 m =565mm FN2 26.1103 4 2 2 A2 =2 m 60 106=4.35 10 m =435mm FN3 146.9 103 3 2 2 A3 =3 根据题意要求，最后取 m 120 106=1.224 10 m =1224mm A1 =A2 =2 A3 2450mm 3-27 图示两端固定的等截面杆 AB，杆长为 l。在非均匀加热的条件下，距 A 端 x 处的温度增量为 T=TB x 2 /l 2，式中的 T 为杆件 B 端的温度增量。试求杆件横截面上的应 力。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为 E 与 l。18 2 解：1.求
24、温度增高引起的杆件伸长 题 3-27 图 此为一度静不定问题。假如将 B 端约束解除掉，则在 x 处的杆微段 dx 就会因温升而有一 个微伸长 d(l )=Tdx=l TB x dx 全杆伸长为 t l l 2 l T x 2 l =l B dx=l TB l 2求约束反力 t 0 l 2 3 设固定端因阻止伸长而产生的约束反力为 F，杆件因 F 作用而引起的缩短量为 由变形协调条件 l F=FN l=Fl EA EA lF=lt 可得 F=EA l TB l=EAl TB 3求杆件横截面上的应力 l =FN A 3 3 =F=El TB A 3 3-28 图示桁架，杆 BC 的实际长度比设计
25、尺寸稍短，误差为。如使杆端 B 与节点 G 强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA。19 o 题 3-28 图 解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1 5。由强制装配容易判断，杆1 3 受拉，杆 4 和 5 受压。装配后节点 G 和 C 的受力图分别示如图 3-28(a)和(b)。静力学方面 由图(a)可得 由图(b)可得 FN1 =FN2 =FN3 FN4 =FN5，FN3 =2FN4 cos30 =3FN4(a)(b)几何方面 变形协调关系为(参看原题图)物理方面 依据胡克定律，有 l1 cos60o +l4 cos30o +l3 (c)将式(
26、d)代入式(c)，得 li=FNi li EA(i=1 5)(d)=2FN1l+2FN4 3l+FN3l (e)EA 3EA EA 补充方程(e)与静力学方程(a)、(b)联立求解，最后得 20 F=(9 2 3)EA,F=(3 3 2)EA N3 即 F=F 23l =F N4 =(9 2 23l 3)EA （拉）N,BC FN,CD N,GD =FN,CE N,GE =(3 23l 3 2)EA 23l （压）3-29 一种制作预应力钢筋混凝土的方式如图所示。首先用千斤顶以拉力 F 拉伸钢 筋（图 a），然后浇注混凝土（图 b）。待混凝土凝固后，卸除拉力 F（图 c），这时，混凝土受 压，
27、钢筋受拉，形成预应力钢筋混凝土。设拉力 F 使钢筋横截面上产生的初应力 0=820MPa，钢筋与混凝土的弹性模量之比为 8:1，横截面面积之比为 1:30，试求钢筋与混凝土横截面上的 预应力。解：此为一度静不定问题。题 3-29 图 卸除拉力 F 后，钢筋仍受拉，而混凝土却受压。设它们的应力分别为 s 和 c，由静力平 衡条件可得 c Ac =s As (a)这里 s 以拉为正，c 以压为正。变形协调方程为 l0 =ls +lc (b)式中，l0 代表初加 F 时钢筋的总伸长量，ls 代表卸除 F 后钢筋保留的伸长量，而 lc 则代 表卸除 F 后混凝土产生的缩短量，并以缩短为正。21 E 0
28、 ls s c E A s 物理关系为 l 0 l，l s =s l，l Es =c l Ec (c)将式(c)代入式(b)，稍作化简，得 Es 0 =s +c Ec 考虑到式(a)，有 =(1+Es As)=19 由此得 0 s c c 15 s =15 s 19 0=15 820MPa=647 19 MPa（拉）根据式(a)，最后得到 c =As Ac=1 647MPa=21.6 30 MPa（压）3-30 图示组合杆，由直径为 30mm 的钢杆套以外径为 50mm、内径为 30mm 的铜 管组成，二者由两个直径为 10mm 的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高 40，试计算铆钉 剪切面上的
29、切应力。钢与铜的弹性模量分别为 Es=200GPa 与 Ec=100GPa，线膨胀系数分别 为 =12.510-6-1 与 lc=1610-6-1。题 3-30 图 解：设温度升高 T 时钢杆和铜管自由伸长量分别为 Ts 和 Tc，由于二者被铆钉连在一 起，变形要一致，即 Ts +ls =Tc lc 或写成 ls +lc =Tc Ts 这是本题的变形协调方程。这里，伸长量 ls 和缩短量 lc 均设为正值。引入物理关系，得 22 o FNs l Es As+FNc l Ec Ac =(lc ls)lT 将静力平衡条件 FNs =FNc =F 代入上式，得 F=Es As Ec Ac ()T E
30、 A+E A lc ls s s c c 注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 =FS A=F =Es As Ec Ac(lc ls)T 2 A 2 A(Es As +Ec Ac)200 10 9 0.030 2 100 10 9 (0.050 2 0.030 2)(16 12.5)10 6 40N=2 0.010 2 200 10 9 0.030 2 +100 10 9 (0.050 2 0.030 2)m 2 =5.93 107 Pa=59.3MPa 3-32 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为 A，E 与 ，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值，
31、现将杆 3 的设计长度 l 变为 l+。试问当 为何值时许用载荷最大，其值Fmax 为何。解:此为一度静不定问题。题 3-32 图 节点 C 处的受力及变形示如图 3-32(a)和(b)。静力学方面 由图(a)可得 FN1 =FN2，2FN1cos30+FN3 =F(a)几何方面 由图(b)可得 l =l cos30o (b)1 3 23 o 物理方面 依据胡克定律,有 li =FNi li EA (i=1,2,3)(c)将式(c)代入式(b)，化简后得 F=4 F （b)将方程(b)与方程(a)联解，得 N3 3 N1 FN1=FN2=3 4+3 3 FN3 F，FN3 =4F 4 4+3 F FN1 3 max =A(4+3 3)A 由此得 F (4+3 3)A,4 F =(4+3 3)A 4 为了提高F 值，可将杆 3 做长 ，参考图(b)给的几何关系，这里有 l3+=l1 cos30o 式中，l3、l1 均为受载后的伸长，依题意，有了 后，应使三根杆同时达到 ，即 l+=4 l 由此得 E 3E =(4 1)l=l 3 E 3E 此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有 F max =2(Acos30)+A=(1+3)A