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1、 专题 3.3 导数与函数的极值、最值 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。知识点 1.函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，右侧 f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值x0为极大值点 x0为极小值点 点 知识点 3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断
2、的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.
3、函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点一 利用导数解决函数的极值 【典例 1】(2019哈尔滨三中模拟)已知函数 f(x)ln xax(aR)，当 a12时，求 f(x)的极值；【解析】当 a12时，f(x)ln x12x，函数的定义域为(0，)且 f(x)1x122x2x，令 f(x)0，得 x2，于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0 f(x)ln 21 故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值。【方法技巧】运用导数求可导函数 yf(x)的极值的一般步
4、骤：(1)先求函数 yf(x)的定义域，再求其导数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)检查导数 f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是 极值点.【变式 1】(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)1xa1axx(x0).当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a0 时，当 x0，1a时，f(x)0，当 x1
5、a，时，f(x)0 时，函数 yf(x)有一个极大值点，且为 x1a.考点二 已知函数的极(最)值求参数的取值范围【典例 2】(2018北京卷)设函数 f(x)ax2(4a1)x4a3ex.若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围.【解析】因为 f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以 f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知 f(1)0，即(1a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a 的值为 1.f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若 a12，则当 x1a
6、，2 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值.若 a12，则当 x(0，2)时，x20，ax112x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知，a 的取值范围是12，.【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【变式 2】(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则 f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1【解析】f(x)x2(a2)xa1ex
7、1，则 f(2)42(a2)a1e30a1，则 f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令 f(x)0，得 x2 或 x1，当 x1 时，f(x)0，当2x1 时，f(x)0，所以 x1 是函数 f(x)的极小值点，则 f(x)极小值为 f(1)1.【答案】A 考点三 利用导数研究函数的最值【典例 3】(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_【解析】f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x12时，f(x)0，f(
8、x)单调递减；当 cos x12时，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x12，f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x32时，f(x)有最小值，即 f(x)min2321123 32.【答案】3 32 【方法技巧】求函数 f(x)在闭区间a，b内的最值的思路(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f(x)0 在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数 f(x)求导
9、，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值【变式 3】(2019广东五校联考)已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数.(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值.【解析】(1)易知 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11x1xx，令 f(x)0，得 x1.当 0 x0；当 x1 时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当 a1 时，函数 f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a1x，x(0，e，1x
10、1e，.若 a1e，则 f(x)0，从而 f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若 a0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得 0 x1a；令 f(x)0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得1axe.从而 f(x)在0，1a上为增函数，在1a，e 上为减函数，f(x)maxf1a1ln1a.令1ln1a3，得 ln1a2，即 ae2.e20，f(x)单调递增；当 x2，52时，f(x)0，当 t(2，8)时，V(t)0，从而 V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)8 640，V(8)3 520，所以当 t8 时，V(t)有最小值 3 520，此时金箍棒的底面半径为 4 cm。【答案】4