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1、平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 1 定义已知非零向量,a b,在平面内任取一点 A,作ABa,BCb,则向量AC叫做a与b的和,记作ab,即abABBCAC 求两个向量和的运算,叫做叫向量的加法这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则 说明：运用向量加法的三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.两个向量的和仍然是一个向量,其大小、方向可以由三角形法则确定 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 2 向量加法的平行四边形法则 以点 O 为起点作向量aOA ,OBb,以
2、OA,OB为邻边作OACB,则以 O 为起点的对角线所在向量OC就是,a b的和,记作ab=OC;说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和,而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和,但两共线向量求和时,则三角形法则较为合适.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 对于零向量与任一向量00a aaa，3 特殊位置关系的两向量的和 当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且|a+b|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|；若|a|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.4 向量加法的运算律 向量加法的交换律：a+b=b+a 向量加法的结合律：a
3、+b+c=a+b+c 知识点二：向量的减法 1 相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a;2向量a和-a互为相反向量,即-a.零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a-a-aa0 如果向量,a b互为相反向量,那么a-b,b-a,ab0 3 向量减法的定义：向量 a加上的 b相反向量,叫做 a与b的差.即：a b=a+b 求两个向量差的运算叫做向量的减法.4 向量减法的几何作法 在平面内任取一点 O,作,OAa OBb,则BAab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义 说明：AB表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数
4、 用“相反向量”定义法作差向量,a b=a+b,显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义 1 定义：一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,它的长度与方向规定如下：|a|a|当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反 当0时,a0 2 向量数乘的运算律 根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律：设、为实数,那么 aa；aaa；abab 知识点四：向量共线的条件 向量a a0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba 学习结论 1 两个向量的和仍然是向量,它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定,这两
5、种法则本质上是一致的 共线向量加法的几何意义,为共线向量首尾相连接,第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量 2ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 3 实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加 4 向量a a0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba;练习 例 1 已知任意两个非零向量,a b,作,2,3OAab OBab OCab,试判断 A、B、C 三点之间的位置关系 解：ABOBOAa+2ba+bb,且 ACOCOAa+3ba+b2 b,AC2AB 所以,A、B、C 三点共线 例 2.如图,平行四边形 AB
6、CD 的两条对角线相交于点M,且ABa,ADb,试用a,b表示向量,MA MB MC MD 解 析：AMMC=1()2ab,所 以1()2MAab,DMMBMAAB1()2ab所以1()2MDba 例 3.一艘船从长江南岸 A 点出发以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的流速为向东 2 km/h 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度保留两个有效数字；求船实际航行速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度.分析：速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向量的加法.解析：如图,设AD表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB表示水流的速度,
7、以 AD、AB作邻边作平行四边形 ABCD,则AC就是船实际航行的速度.在 RtABC 中,|AB|2,|BC|5,|AC|222225295.4ABBC tanCAB52,68CAB 答：船实际航行速度的大小约为 km/h,方向与水的流速间的夹角为约为68.1.2006上海理如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 AABDC；BADABAC；CABADBD；DADCB0 22007 湖南文若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 AEFOFOE B.EFOFOE C.EFOFOE D.EFOFOE 32003 辽宁已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线
8、AC 上不包括端点 A、C,则AP A)1,0(),(ADAB B)22,0(),(BCAB C)1,0(),(ADAB D)22,0(),(BCAB 4.2008 辽宁理已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足20ACCB,则OC A2OAOB B2OAOB C2133OAOB D1233OAOB 52003 江苏；天津文、理O是平面上一定点,ABC、是平面上不共线的三个点,动点P满足(),0,ABACOPOAPABAC则的轨迹一定通过ABC的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 6 2005 全国卷理、文已知点(3,1)A,(0,0)B,(3,0)C 设BAC的平分线A
9、E与BC相交于E,那么有BCCE,其中等于 A B12 C D13 7设ba,是两个不共线的非零向量,若向量bak2与bka 8的方向相反,则k=_.8.2007 江西理如图,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB mAM,ACnAN,则 mn 的值为 92005 全国卷理ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为H,)(OCOBOAmOH,则实数 m=10.2007 陕西文、理如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为 120,OA与OC的夹角为 30,且OAOB1,OC22.若OC则R),(OB
10、OA的值为 .例 1.B 例 2 例 3B.三基础训练：1.C；2B.3A 4.A 5B 6C；7_4_；8.2 9 1 ；10.62.A B C D 四拓展与探究：11、D；12.(,0),1 3(,)2 2.平面向量的线性运算复习课 复习目标：1、掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构 复习 1:向量的加法 复习 2:向量的减法 已知向量 a 和向量 b,作向量 a+b
11、.已知向量 a 和向量 b,作向量 a-b.复习 3：向量的数乘 复习 4：平面向量共线定理 已知向量 a,作向量 3a 和-3a.二、合作共享 交流提升 1、填空：-(4)_ABCDABADABADBAD在平行四边形中，若则 2、判断题：1 相反向量就是方向相反的向量(1)ADCA(2)ABCBDC(3)ABACBDCD2 3ABOAOB 4 在ABC 中,必有0ABBCCA 5 若0ABBCCA,则 A、B、C 三点必是一个三角形的三个顶点;32,OAOBOCA B C若则三3、点是否共线 三、案例剖析 总结规律 例 1:根据条件判断下列四边形的形状(1)ADBC 1(2)3ADBC (3
12、),ADBCABAD且(4);(OAOCOBOD O是四边形所在平面内一点）(5)ACABAD(6),ABCDACBDOAOOC DOOB四边形的对角线与相交于点，并且 例 2、如图,在 OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 BD=与 OA 交于 E,设OAa OBb，请用 a bOC DC，表示向量，.例 3、设 ABCD 一边 AB 的四等分点中最靠近 B 的一点为 E,对角线 BD 的五等分点中靠近 B的一点为 F,求证：E、F、C 三点在一条直线上 0ABBA 四、反馈矫正 形成能力 跟踪训练：1、有一边长为的正方形 ABCD,设,BCb ACc 求：1 abc 2 abc 3 abc 2、已知A、B、C是不共线的三点,O是ABC内的一点,若OAOBOC=0,则O 是ABC的填内心、重心、垂心、外心等.