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1、学习必备欢迎下载平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1. 向量 ：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量. 2. 几何表示 : 向量可以用有向线段表示. 长度 ：向量AB的大小 , 也就是向量AB的长度 ( 或称模 ), 记做|AB|. 向量也可用字母a b,c,（印刷用黑体a，手写用a）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示 . 例如，AB，CD. 零向量 ：长度为 0 的向量 . 记做0.单位向量 : 长度为 1 的向量 . 平行向量 : 方向相同或相反的向量. 记作a / /b. 规定 : 零向量与任一向量平行. 3. 相等向量 :
2、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a = b. 注意 : 向量相等与有向线段的起点无关. 共线向量 : 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算( 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1. 向量加法的三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a和b的和，记做a+b，即ABBCa + b求两个向量和的运算，叫做向量的加法 . 这种方法称为向量加法的三角形法则. 2. 向量加法的平行四边形法则以同一个点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB, 则以O为起点的对角线OC是a与b的和
3、, 即OA OB OCa+b. 此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定 ：对零向量与任一向量a，00a+=+a = a3. 小结论对任意向量a、b，有|a + b| |a |+ |b|；当a、b同向时，|a + b|=| a |+ |b|；当a、b反向是，|a + b |=|a | - |b|（或|b|-|a |）4. 向量加法 交换律 ：a+ b= b+ a；向量加法 结合律 ：(a + b)+ c = a + (b+ c)5. 与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量 .规定 ：零向量的相反向量是零向量. 6. 向量减法的几何意义：a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的
4、向量. 7. 向量的 数乘 ：一般地， 我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： (1) | |aa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载(2) 当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相同 . 8. 数乘的运算律： (1) ()()aa; (2) ()aaa; (3) ()abab. 9. 向量共线充要条件: 向量()a a0与b共线 , 当且仅当有唯一一个实数, 使ba. 三、平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果
5、1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一个实数1、2，使得1 122aee把不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的基底. 2. 向量的 夹角已知两个非零向量和ab，作OAa，OBb，则(0180)AOB叫做向量a与b的夹角 . 如果a与b的夹角是90，称a与b垂直 ，记作ab. 当0时，与ab同向；当180时，与ab反向 . 3. 正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 4. 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底 . 对于平面内的一个向量a，由平面基本定理可知，有且只
6、有一对实数x、y，使得xyaij这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对( , )x y叫做向量a的坐标，记作( , )x ya. 其中x，y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标 . 在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示. 5. 平面向量的坐标运算 (1) 若11(,)x ya，22(,)xyb，则1212(,)xxyyab； (2) 若( , ),x yRa, 则(,)xya； (3) 若11(,)A x y,22(,)B xy，则2121(,)ABxx yy. 6. 平面向量共线的坐标表示设11( ,)x ya,22(,)x yb()0b, 则
7、向量() 0、a bb共线的 充要条件 为12210 x yx y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载7. 设111(,)P xy,222(,)P xy.(1) 若P是12PP的中点，则121222(,)xxyyP；(2) 若12PPPP，则121211(,)xxyyP. 前三部分总结1. 向量相等 ( 长度和方向 ). 2. 加法的三角形法则( 首尾相连 ) 、四边形法则( 起点相同 ) 及其几何意义. 注意与平面几何相结合小结论： (1)G为ABC的重心 ( 中线的交点 ) 123123GA+G
8、B+GC0G33xxxyyy，； (2)G为ABC的外心GBGCGA3. 共线 ( 平行 ) 向量 . (1) 11221221(,)(,)()/ /0 xyxyx yx ya,bb0 aba =b；(2) ,A B C三点共线/ /ABAC. 4. 平面向量基本定理1 12212(,)不共线aee e e四、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量,a b，如果以O为起点，作,OAa OBb，那么射线,OA OB的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1） 定义: 如果两个非零向量,a b的夹角为， 那么我们把|cosab叫做向量a与向量b的数量积
9、，记做a b即：cosa ba b（2）投影：b在a上的投影是一个数量cosb，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3）坐标计算公式：若向量11(,)ax y，22(,)bxy，则1212x xyayb3、向量的夹角公式：221212221122cosx xy ya ba bxyxy4、向量的模长：22211aaa axy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载5、 平面向量的平行与垂直问题： （1） 若11(,)ax y，22(,)bxy，/ /ab， 则1 22 10 xyxy（2）若11(,)ax y
10、，22(,)bxy，ab，则121200 x xya by例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用例 1 （1）已知1,2,ab向量,a b的夹角为3，求(2 ) (2)abab（2）已知( 2,1),(3, 4),ab求：() (3 )abab；若1,9a cb c，求c的坐标2、向量的夹角问题例2 （ 1）已知向量a、b都是非零向量，且向量ab3与向量57ab垂直，向量ab4与向量27ab垂直，求向量a与b的夹角。（2）若向量a=xx 2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围基础练习：一、选择题1下列向量给中， 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）
11、Ae1=(0,0), e2 =(1, 2) ; Be1=(-1,2), e2 =(5,7); Ce1=(3,5),e2 =(6,10); De1=(2,-3) ,e2 =)43,21(2已知向量a、b，且 AB =a+2b , BC = -5a+6b ,CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载AA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA、C、D 3如果 e1、 e2是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） e1 e2( , R)可以表示平面内的
12、所有向量；对于平面中的任一向量a,使 a= e1 e2的 , 有无数多对；若向量 1e1+1e2与 2e1+2e2共线 ,则有且只有一个实数k,使 2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若实数 , 使 e1 e2=0，则 = =0. ABCD仅5若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则 c= ( ) A-a+3bB3a-bCa-3bD-3a+b*6平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3), 若点C(x, y)满足OC = OA + OB ，其中 , R 且 + =1，则 x, y 所满足的关系式为（）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+
13、(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0 二、填空题7作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ; 8若 A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且 AB=2 AC ,则 x= ，y= ; 9已知 A(2,3),B(1,4)且12AB=(sin ,cos ), , (-2,2),则 + = *10已知 a=(1,2) , b=(-3,2), 若 ka+b 与 a-3b平行，则实数k 的值为11、若0ba，则a与b的夹角的取值范围是。12、180,36| ,10|baba，a与b的夹角是。13、 已知),5, 3(),2,(bma若
14、a与b的夹角为钝角，实数m 的取值范围为。14、已知ababa)( ,2| , 1|，则a与b的夹角是三、解答题15.已知向量b与向量 a=(5,-12) 的方向相反，且|b|=26,求 b16如果向量AB =i-2j , BC =i+mj ,其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A、 B、C 三点共线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载17已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、 (3,-1)、(1,2）,11,33AEAC BFBC求证：/EFAB
15、*18已知A(2,3)、 B(5,4)、C(7,10)，若()APABACR，试求 为何值时，点P 在第三象限内？19、已知),1,(),1,2(mmba若a与b的夹角为锐角，求实数m 的取值范围。20、已知a、b都是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角。21、 ABC 中， A(4,1)，B(7,5)，C( 4,8)，判断 ABC 的形状。22、 在ABC 中，), 2(),1 , 1(kACAB，若 ABC 为直角三角形，求实数k 的值。23、已知),13, 13(),3, 1 (ba求a与b的夹角是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载24、 已知),31,3(),35,3(ba求ba2与ba的夹角是多少？25、 若a与b的夹角为 ，且a=(3,3) ，)1 , 1(2ab，求 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页