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1、 1 安徽省安庆市九一六学校 2020-2021 学年高一数学 4 月月考试题 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：（本题共有 12 小题，四个选项中只 有一个是正确的，每小题 5 分，共 60 分）1.已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A83 B323 C8 D8 23 3.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设ABa，ADb，则BF等于()A.34a12b B.34a12b C.12a34b D.
2、12a34b 4.已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（）A B6 2 C13 D2 2 5.在ABC中，若 lg alg clg sin Blg 2且B0，2，则ABC的形状是()A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 6.在ABC中，A120，ABAC2，则|BC|的最小值是()A.2 B.4 C.2 3 D.12 7 在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上，且满足AP2PM，则PA(PBPC)等于()A49 B43 C.43 D.49 8 若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、
3、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体 BS正方体S球S圆柱 CS圆柱S球S正方体 DS球S正方体S圆柱 9已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，3asinAbsinBcsinC，则 sinA的最大值为()2 A.13 B.23 C.53 D.2 23 10一船自西向东匀速航行，上午 7 时到达灯塔A的南偏西 75方向且距灯塔 80 n mile 的M处，若这只船的航行速度为 10 6 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午()A8 时 B9 时 C10 时 D11 时 11.设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为
4、等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 12在ABC中，BC5，G，O分别为ABC的重心和外心，且OG BC 5，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知复数zii2i3i2 0181i，则复数z_.14.已知向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|3，ab3，则_ 15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的表面积为_ 16.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，
5、c，asin Asin Bbcos2A2a，则角A的取值范围是_ 三、解答题：（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题满分 10 分)已知z1i，若z2azbz2z11i，求实数a，b的值 18已知一倒置圆锥的母线长为 10 cm，底面半径为 6 cm.(1)求该圆锥的高；(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间 3 的体积 19在ABC中，CACBCACB.(1)求角C的大小；(2)若CDAB，垂足为D，且4CD，求ABC面积的最小值.20.已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)
6、，x0，(1)若 ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 21.(本小题 12 分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC的形状 22(本小题 12 分)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，AB2，BD 5，BCD2ABD，ABD的面积为 2.(1)求AD的长；(2)求CBD的面积 4 参考答案 1-5 DCADC 6-10 CAACD 11-12 BB 13.i 14.6 15.16 16.(0,6 17.解 z
7、2azb(1i)2a(1i)bab(2a)i，z2z1(1i)2(1i)1i，z2azbz2z1(2a)(ab)i1i，由复数相等，得 2a1，ab1，解得 a1，b2.18.解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则hl2R2 102628，所以圆锥的高为 8 cm.(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm.易得OCDACO1，则OCACODAO1，即8r10r6，解得r3.圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥V球136284333963660(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为 60 cm3.19.解：（1）由CACBCACB
8、，两边平方22CACBCACB，即 22CACBCACB，得到20CA CB，即CACB。所以2C.（2）在直角ADC中，4sinsinCDACAA，5 在直角BDC中，4sinsinCDBCBB，又0,2A，所以sinsincos2BAA，所以114481622 sinsinsin cossin2ABCSCA CBABAAA，由+2A B得，20,A，故sin20,1A，当且仅当4A时，maxsin21A，从而min16ABCS.20.解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x3sin x则 tan x33.又x0，所以x56.(2)f(x)ab(co
9、s x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为x0，所以x66，76，从而1cosx632.于是，当x66，即x0 时，f(x)取到最大值 3；当x6，即x56时，f(x)取到最小值2 3.21.解：(1)由已知，结合正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.又由余弦定理，得a2b2c22bccos A，所以bc2bccos A，即 cos A12.由于A为ABC的内角，所以A23.(2)由已知 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，结合正弦定理，得 2sin2A(2sin Bsin C)sin B(2sin Csin
10、B)sin C，即 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin Csin22334.6 又由 sin Bsin C1，得 sin2Bsin2C2sin Bsin C1，所以 sin Bsin C14，结合 sin Bsin C1，解得 sin Bsin C12.因为BCA3，所以BC6，所以ABC是等腰三角形 22.解：(1)由已知SABD12ABBDsinABD122 5sinABD2，可得 sinABD2 55，又BCD2ABD，所以ABD0，2，所以cosABD55.在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，可得AD25，所以AD 5.(2)由ABBC，得ABDCBD2，所以 sinCBDcosABD55.又BCD2ABD，所以 sinBCD2sinABDcosABD45，BDCCBDBCD2ABD2ABD2ABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD.在CBD中，由正弦定理BDsinBCDCDsinCBD，得CDBDsinCBDsinBCD5554554，所以SCBD12CBCDsinBCD1254544558.