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1、1安徽省安庆市九一六学校安徽省安庆市九一六学校 2020-20212020-2021 学年高一数学学年高一数学 4 4 月月考试题月月考试题时间：120 分钟满分：150 分一、选择题一、选择题：（本题共有（本题共有 1212 小题，四个选项中只小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题有一个是正确的，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分）1.已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A83B323C8D8 233.在长方形ABCD中，E
2、为CD的中点，F为AE的中点，设ABa a，ADb b，则BF等于()A.34a a12b bB.34a a12b bC.12a a34b bD.12a a34b b4.已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（）AB6 2C13D2 25.在ABC中，若 lgalgclg sinBlg2且B0，2，则ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形6.在ABC中，A120，ABAC2，则|BC|的最小值是()A.2B.4C.2 3D.127 在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上
3、，且满足AP2PM，则PA(PBPC)等于()A49B43C.43D.498 若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体DS球S正方体S圆柱9已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，3asinAbsinBcsinC，则 sinA的最大值为()2A.13B.23C.53D.2 2310一船自西向东匀速航行，上午 7 时到达灯塔A的南偏西 75方向且距灯塔 80 n mile 的M处，若这只船的航行速度为 10 6 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午()A8 时B9 时C
4、10 时D11 时11.设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 312在ABC中，BC5，G，O分别为ABC的重心和外心，且OG BC 5，则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能二、二、填空题填空题：（本大题共（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.已知复数zii2i3i2 0181i，则复数z_.14.已知向量a a，b b的夹角为，且|a a|2，|b b|3，a ab b
5、3，则_15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的表面积为_16.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2A2a，则角A的取值范围是_三、解答题三、解答题：（本大题共（本大题共 6 6 个小题，满分个小题，满分 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题满分 10 分)已知z1i，若z2azbz2z11i，求实数a，b的值18已知一倒置圆锥的母线长为 10 cm，底面半径为 6 cm.(1)求该圆锥的高；(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中
6、，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间3的体积19在ABC中，CACBCACB .(1)求角C的大小；(2)若CDAB，垂足为D，且4CD，求ABC面积的最小值.20.已知向量 a(cosx，sinx)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值21.(本小题 12 分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC的形状22(本小题 12 分)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，AB2，BD 5，BCD2A
7、BD，ABD的面积为 2.(1)求AD的长；(2)求CBD的面积4参考答案1-5 DCADC6-10 CAACD11-12 BB13.i14.615.1616.(0,617.解z2azb(1i)2a(1i)bab(2a)i，z2z1(1i)2(1i)1i，z2azbz2z1(2a)(ab)i1i，由复数相等，得2a1，ab1，解得a1，b2.18.解：(1)设圆锥的高为hcm，底面半径为Rcm，母线长为lcm，则hl2R2 102628，所以圆锥的高为 8 cm.(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为rcm.易得OCDACO1，则OCACODAO1，即8r10r6，解得r3.圆锥剩余
8、空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥V球136284333963660(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为 60 cm3.19.解：（1）由CACBCACB ，两边平方22CACBCA CB ，即22CACBCA CB ，得到20CA CB ，即CACB 。所以2C.（2）在直角ADC中，4sinsinCDACAA，5在直角BDC中，4sinsinCDBCBB，又0,2A，所以sinsincos2BAA，所以114481622 sinsinsin cossin2ABCSCA CBABAAA，由+2A B得，20,A，故sin20,1A，当且仅当4A时，maxsin21A，从而min1
9、6ABCS.20.解(1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所以 3cosx3sinx则 tanx33.又x0，所以x56.(2)f(x)ab(cosx，sinx)(3，3)3cosx 3sinx2 3cosx6.因为x0，所以x66，76，从而1cosx6 32.于是，当x66，即x0 时，f(x)取到最大值 3；当x6，即x56时，f(x)取到最小值2 3.21.解：(1)由已知，结合正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.又由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以bc2bccosA，即 cosA12.由于A为ABC的内角，所以A23.(2
10、)由已知 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，结合正弦定理，得 2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC，6即 sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin22334.又由 sinBsinC1，得 sin2Bsin2C2sinBsinC1，所以 sinBsinC14，结合 sinBsinC1，解得 sinBsinC12.因为BCA3，所以BC6，所以ABC是等腰三角形22.解：(1)由已知SABD12ABBDsinABD122 5sinABD2，可得 sinABD2 55，又BCD2ABD，所以ABD0，2，所以cosABD55.在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，可得AD25，所以AD 5.(2)由ABBC，得ABDCBD2，所以 sinCBDcosABD55.又BCD2ABD，所以 sinBCD2sinABDcosABD45，BDCCBDBCD2ABD2ABD2ABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD.在CBD中，由正弦定理BDsinBCDCDsinCBD，得CDBDsinCBDsinBCD5554554，所以SCBD12CBCDsinBCD1254544558.