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1、 2018 中考数学二模试卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D 2下列各数中，最大的数是（）A1 B0 C1 D 3圆锥侧面展开图可能是下列图中的（）A B C D 4元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将 20 个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中 8 个白色的，5 个黄色的，5 个绿色的，2 个红色的如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为
2、（）A B C D 5已知 ABC 中，AC=4，BC=3，AB=5，则 sinA=（）A B C D 6若一个圆锥的底面圆的周长是 4cm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A40 B80 C120 D150 72009 年 10 月 11 日，在山东济南隆重召开了第十一届全运会奥体中心由体育场、体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局建筑面积约为 359 800 平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（）A35.98105平方米 B35.98104平方米 C3.598105平方米 D3.598104平方米 8如图，点 A（m，n
3、）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于 x 轴，垂足为B，那么三角形 ABO 的面积 S 关于 m 的函数关系的图象大致为（）A B C D 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9分解因式：x29=10一名射击运动员连续打靶 8 次，命中的环数如图所示，这组数据的中位数是 环，众数是 环 11某工厂生产了一批零件共 1600 件，从中任意抽取了 80 件进行检查，其中合格产品 78件，其余不合格，则可估计这批零件中有 件不合格 12 如图，AB是O的直径，AC是弦，若 ACO=32，则 COB的度数等于 度 13受季节变化影响，某品牌衬衣经过两次
4、降价，由每件 256 元降至 169 元，则平均每次降价的百分率 x 所满足的方程为 14如图，已知 AB=A1B，在 AA1的延长线上依次取 A2、A3、A4、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，An1Cn1=An1An，若 B=30，则 An=三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15已知：线段 a，求作：等腰 ABC，使 AC=BC，AB=a，且 AB 边上的高 CD=1.5a 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题）16（1）化简：；（2）解不等式 2（x+1）3x1，并
5、将解集在数轴上表示出来 17为推进阳光体育活动的开展，某校九年级三班同学组建了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动小组经调查，全班同学全员参与，各活动小组人数分布情况的扇形图和条形图如下：（1）求该班学生人数；（2）请你补上条形图的空缺部分；（3）求跳绳人数所占扇形圆心角的大小 18小明和哥哥得到了一张音乐演唱会的门票，两人都很想前往，可票只有一张哥哥想了一个办法：拿 8 张扑克牌，将数字为 3、4、7、9 的四张给小明，将数字为 2、5、6、8的四张留给自己，并按如下游戏方式进行确定：小明和哥哥从四张扑克牌中随机抽出一张，将抽出得到的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小明获胜，该小明去；如
6、果和为奇数，则哥哥获胜，该哥哥去（1）你认为该游戏规则是否公平？请画树状图或列表予以说明；（2）如果该游戏规则不公平，请你改变一下游戏方案，使得游戏规则公平；如果该游戏规则公平，请你制订一个不公平的游戏规则 19如图，一艘轮船以每小时 20 海里的速度沿正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在北偏西 60方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离（结果保留根号）20跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元
7、购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的数量相同（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每个乙种 零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价进价）超过 371 元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来 21如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行
8、线交 CE 的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF（1）求证：D 是 BC 的中点（2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论 22 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价
9、多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？23如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线 实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B（5，3）、C（2，5）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3）、E（1，4），试在直线 l 上确定一点 Q，使点
10、Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标 24如图，等边三角形 ABC 的边长为 6cm，动点 P 从点 A 出发以 2cm/秒的速度沿 AC 方向向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发以 1cm/秒的速度沿 CB 方向向终点 B 运动，过点 P、Q 分别作边 AB 的垂线段 PM、PN，垂足分别为点 M、N设 P、Q 两点运动时间为t 秒（0t3），四边形 MNQP 的面积为 S cm2（1）在点 P、Q 在运动的过程中，t 为何值时，PQ AB？（2）求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 MNQP 的面积
11、 S 等于 ABC 的面积的？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【专题】常规题型【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，
12、是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误 故选 A【点评】此题考查了中心对称及轴对称的知识，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题 2下列各数中，最大的数是（）A1 B0 C1 D【考点】实数大小比较【分析】根据题意画出数轴，然后把已知数据在数轴对应点找出，然后利用数形结合的思想便可直接解答【解答】解：由数轴上各数的位置可知101 故选 D 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键是根据题意画出数轴，由数轴上右边的数总比左边的大的特点解答 3圆锥侧面展开图可能是下列图中的（）A
13、B C D【考点】几何体的展开图【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，故选 D【点评】熟练掌握常见立体图形的展开图是解决此类问题的关键 4元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将 20 个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中 8 个白色的，5 个黄色的，5 个绿色的，2 个红色的如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为（）A B C D【考点】概率公式【专题】应用题【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率【解答】解：全部 20 个球，只有 2 个红球，所以任意摸出一个乒乓球是红色的概率是=故选 D【点评】此题考查概率的求法：如果
14、一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=5已知 ABC 中，AC=4，BC=3，AB=5，则 sinA=（）A B C D 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理【专题】压轴题【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可【解答】解：ABC 中，AC=4，BC=3，AB=5，即 42+32=52，ABC 是直角三角形，C=90 sinA=故选 A【点评】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目 6若一个圆锥的底面圆的周长是 4cm，母线长是 6cm，则该
15、圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A40 B80 C120 D150【考点】弧长的计算【分析】正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面周长等于扇形的弧长 因而圆锥的侧面展开图扇形的弧长是 4cm，半径是 6cm，根据扇形的弧长公式 l=，就可以求出 n 的值【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为 6cm，弧长为 4cm，代入扇形弧长公式 l=，即 4=，解得 n=120，即扇形圆心角为 120 度 故选 C【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径
16、；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键 72009 年 10 月 11 日，在山东济南隆重召开了第十一届全运会奥体中心由体育场、体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局建筑面积约为 359 800 平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（）A35.98105平方米 B35.98104平方米 C3.598105平方米 D3.598104平方米【考点】科学记数法表示较大的数【专题】应用题【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了
17、多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：359 800=3.598105 故选 C【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：（1）确定 a：a 是只有一位整数的数；（2）确定 n：当原数的绝对值10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上零）8如图，点 A（m，n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于 x 轴，垂足为B，那么三角形 ABO 的面积 S 关于 m 的函数关系的图象大
18、致为（）A B C D【考点】二次函数综合题；二次函数的图象【专题】压轴题【分析】因为 A（m，n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点，所以 n=2m根据三角形面积公式即可得出 S 与 m 之间的函数关系，根据关系式即可解答【解答】解：由题意可列该函数关系式：S=|m|2|m|=m2，因为点 A（m，n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点，所以点 A（m，n）在第一或三象限，又因为 S0，所以取第一、二象限内的部分 故选 D【点评】应熟记：二次函数的图象是一条抛物线且注意分析题中的“小细节”二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分）9分解因式：x29=（x+
19、3）（x3）【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式【解答】解：x29=（x+3）（x3）故答案为：（x+3）（x3）【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法 10 一名射击运动员连续打靶 8 次，命中的环数如图所示，这组数据的中位数是 8.5 环，众数是 8 环 【考点】众数；条形统计图；中位数【分析】根据众数和中位数的概念求解【解答】解：把数据按照从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，9，10，10，中位数为：=8.5，众数为：8 故答案为：8
20、.5，8【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 11某工厂生产了一批零件共 1600 件，从中任意抽取了 80 件进行检查，其中合格产品 78件，其余不合格，则可估计这批零件中有 40 件不合格【考点】用样本估计总体【专题】计算题【分析】从中任意抽取的 80 件进行检查，其中合格产品 78 件，其余 2 件不合格，即有的不合格；共产了一批零件共 1600 件，则可估计这批零件中有
21、1600=40 件不合格【解答】解：在样本中，不合格产品占的比例为（8078）80=所以 1600 件中不合格产品共有 1600=40（件）【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可 12如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，若 ACO=32，则 COB 的度数等于 64 度 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质【分析】首先根据等边对等角得到 A=ACO，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可求得 COB 的度数【解答】解：OA=OC，ACO=32 A=ACO=32 COB=2 A=64【点评】综合运用了等腰三角形的性质：等边对等角以及圆周角定
22、理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 13受季节变化影响，某品牌衬衣经过两次降价，由每件 256 元降至 169 元，则平均每次降价的百分率 x 所满足的方程为 2561x）2=169 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】此题利用基本数量关系：商品原价（1平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可【解答】解：由题意可列方程是：256（1x）2=169 故答案为：2561x）2=169【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价（1平均每次降价的百分率）=现在的价格 14如图，已知 AB=A1B，在 AA1的延长线上依次取 A2、A3、A4、
23、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，An1Cn1=An1An，若 B=30，则 An=【考点】等腰三角形的性质 【专题】规律型【分析】先根据等腰三角形的性质求出 BA1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 CA2A1，C1A3A2及 C2A4A3的度数，从而找出规律即可得出 An的度数【解答】解：在 ABA1中，B=30，AB=A1B，BA1A=75，A1A2=A1C，BA1A 是 A1A2C 的外角，CA2A1=37.5；C1A3A2=18，75，C2A4A3=9.375，An=，故答案为：【点评】本
24、题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出 CA2A1，C1A3A2及 C2A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键 三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15已知：线段 a，求作：等腰 ABC，使 AC=BC，AB=a，且 AB 边上的高 CD=1.5a 【考点】作图复杂作图【分析】首先作出 AB 的中垂线，得到线段 AB 的中点，即可作出 1.5a，然后再在线段 AB的中垂线上截取到垂直距离是 1.5a 的点 C，即可作出三角形【解答】解：如图所示：ABC 就是所求的三角形 【点评】本题考查了尺规作图，用到的知识点为：等腰三角形底边上的
25、高和中线互相重合 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题）16（1）化简：；（2）解不等式 2（x+1）3x1，并将解集在数轴上表示出来【考点】分式的加减法；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式【分析】（1）运用分式的加减法则求解即可，（2）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：（1）化简：=；（2）2（x+1）3x1，去括号得，2x+23x1，移项合并同类项得 x3 如图，解集在数轴上表示出来为：【点评】本题主要考查了分式的加减法，在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式，解题的关键是仔细运算 17为推进阳光体育活动的开展，某校九年级三班同学组建了足球、篮球
26、、乒乓球、跳绳四个体育活动小组经调查，全班同学全员参与，各活动小组人数分布情况的扇形图和条形图如下：（1）求该班学生人数；（2）请你补上条形图的空缺部分；（3）求跳绳人数所占扇形圆心角的大小 【考点】扇形统计图；条形统计图【分析】（1）由扇形图知，乒乓球小组人数占全班人数的 由条形图可知，乒乓球小组人数为 12，所以可求得总人数=乒乓球小组人数；（2）由扇形图可知，篮球小组人数占 25%，再乘以总人数可得篮球小组人数；由条形图可知，足球小组人数为 16；跳绳小组人数用总人数分别减去其它各小组的人数即可；（3）圆心角的度数=360所占的百分比【解答】解：（1）由扇形图可知，乒乓球小组人数占全班人
27、数的，由条形图可知，乒乓球小组人数为 12，故全班人数为；（2）由扇形图可知，篮球小组人数为 4825%=12，由条形图可知，足球小组人数为 16，故跳绳小组人数为 48（16+12+12）=8，所以各小组人数分布情况的条形图为：（3）因为跳绳小组人数占全班人数的，所以，它所占扇形圆心角的大小为 360=60 度 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 18小明和哥哥得到了一张音乐演唱会的门票，两人都很想前往，可票只有一张哥哥想了一个办法：拿
28、8 张扑克牌，将数字为 3、4、7、9 的四张给小明，将数字为 2、5、6、8 的四张留给自己，并按如下游戏方式进行确定：小明和哥哥从四张扑克牌中随机抽出一张，将抽出得到的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小明获胜，该小明去；如果和为奇数，则哥哥获胜，该哥哥去（1）你认为该游戏规则是否公平？请画树状图或列表予以说明；（2）如果该游戏规则不公平，请你改变一下游戏方案，使得游戏规则公平；如果该游戏规则公平，请你制订一个不公平的游戏规则 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法【专题】阅读型；方案型【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会，本题中即小明获胜或哥哥获胜的概率是否相等
29、，求出概率比较，即可得出结论【解答】解：（1）该游戏规则不公平 每次游戏可能出现的所有结果列表如下：哥哥的数字 小明的数字 2 5 6 8 3（2，3）（5，3）（6，3）（8，3）4（2，4）（5，4）（6，4）（8，4）7（2，7）（5，7）（6，7）（8，7）9（2，9）（5，9）（6，9）（8，9）根据表格，数字之和的情况共有 16 种，其中和为偶数的有 6 种：（5，3）、（2，4）、（6，4）、（8，4）、（5，7）、（5，9），小明获胜的概率为=，哥哥获胜的概率为，该游戏规则不公平；（2）将小明的奇数数字扑克牌与哥哥偶数数字扑克牌对换一张 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断
30、游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19如图，一艘轮船以每小时 20 海里的速度沿正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在北偏西 60方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】计算题【分析】根据三角形外角和定理可求得 BC 的值，然后放到直角三角形 BCD 中，借助 60角的正弦值即可解答【解答】解：由题意得 CAB=30，CBD=60，ACB=30
31、，BC=BA=40 海里，CDB=90，sin CBD=sin60=CD=BC=40（海里）此时轮船与灯塔 C 的距离为 20海里【点评】将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路 20跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的数量相同（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格
32、为 12 元，每个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价进价）超过 371 元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用【专题】应用题；方案型【分析】（1）关键语是“用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价进价）超过 371 元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未
33、知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为（x2）元 由题意得：解得：x=10 检验：当 x=10 时，x（x2）0 x=10 是原分式方程的解 每个甲种零件进价为：x2=102=8 答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元 （2）设购进乙种零件 y 个，则购进甲种零件（3y5）个 由题意得：解得：23y25 y 为整数 y=24 或 25 共有 2 种方案 方案一：购进甲种零件 67 个，乙种零件 24 个；方案二：购进甲种零件 70 个，乙种零件 25 个【点评】本题考查了分式方程的应用
34、、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据本题要注意（2）中未知数的不同取值可视为不同的方案 21如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF（1）求证：D 是 BC 的中点（2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质【专题】综合题；压轴题【分析】（1）因为 AF BC，E 为 AD 的中点，即可根据 AAS 证明 AEF DEC，故有BD=DC；（
35、2）由（1）知，AF=DC 且 AF DC，可得四边形 AFDC 是平行四边形，又因为 AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】（1）证明：AF BC，AFE=DCE E 是 AD 的中点，AE=DE AEF=DEC，AEF DEC AF=DC，AF=BD BD=CD，D 是 BC 的中点；（2）四边形 AFBD 是矩形，证明：AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，ADB=90，AF=BD，AF BC，四边形 AFBD 是平行四边形，四边形 AFBD 是矩形【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等
36、关系 22 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意易求 y 与 x 之间的
37、函数表达式（2）已知函数解析式，设 y=4800 可从实际得 x 的值（3）利用 x=求出 x 的值，然后可求出 y 的最大值【解答】解：（1）根据题意，得 y=（24002000 x）（8+4），即 y=x2+24x+3200；（2）由题意，得x2+24x+3200=4800 整理，得 x2300 x+20000=0 解这个方程，得 x1=100，x2=200 要使百姓得到实惠，取 x=200 元 每台冰箱应降价 200 元；（3）对于 y=x2+24x+3200=（x150）2+5000，当 x=150 时，y最大值=5000（元）所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最
38、大利润是 5000 元【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法借助二次函数解决实际问题 23如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线 实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B（5，3）、C（2，5）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为 （不必证明）；运用与拓广
39、：（3）已知两点 D（1，3）、E（1，4），试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标 【考点】一次函数综合题【专题】综合题【分析】易找到点 B 关于第一、三象限角平分线的对称点 B的坐标为（3，5），再结合已知的点 A 的坐标，我们不难猜想点 C坐标是（5，2），然后找到点 C，可以发现 CC被第一、三象限角平分线垂直且平分，由此可以推想到坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P的坐标为（b，a），即它们纵、横坐标互换位置【解答】解：（1）如图：B（3，5），C（5，2）；（2）（b，a）；（3）由（2）得，
40、D（1，3）关于直线 l 的对称点 D的坐标为（3，1），连接 DE 交直线 l 于点 Q，此时点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小 设过 D（3，1）、E（1，4）直线的解析式为 y=kx+b，则 直线 DE 的解析式为：y=x 由 得 所求 Q 点的坐标为（，）【点评】本题的解答经历了实验猜想验证推广的思维过程，这也是我们认识事物规律的一般方法，主要考查一次函数的性质和图象，中等难度 24如图，等边三角形 ABC 的边长为 6cm，动点 P 从点 A 出发以 2cm/秒的速度沿 AC 方向向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发以 1cm/秒的速度沿 CB 方向向终点 B 运动，过
41、点 P、Q 分别作边 AB 的垂线段 PM、PN，垂足分别为点 M、N设 P、Q 两点运动时间为t 秒（0t3），四边形 MNQP 的面积为 S cm2（1）在点 P、Q 在运动的过程中，t 为何值时，PQ AB？（2）求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 MNQP 的面积 S 等于 ABC 的面积的？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 【考点】相似形综合题【分析】（1）当 PQ AB 时，由 ABC 是等边三角形，得出 PQC 是等边三角形，PC=QC，得出方程 62t=t，解方程即可；（2）APM 和 BQN 都是
42、有一个角是 60的直角三角形，根据勾股定理可分别求出 AM，PM，BN 和 QN，然后求出直角梯形的高 MN用梯形面积公式求出四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式；（3）根据题意列出方程即可解得 t 的值，然后看是否满足 0t4【解答】解：（1）t=2s 时，PQ AB；理由如下：当 PQ AB 时，ABC 是等边三角形，PQC 是等边三角形，PC=QC，62t=t，解得：t=2，即 t=2s 时，PQ AB；（2）根据题意得：AP=2t，QB=8t，APM 和 QNB 是直角三角形，四边形 MNQP 是直角梯形 在 Rt APM 和 Rt QNB 中，AM=AP=t，PM=t，BN=（6t），QN=（6t），MN=ABAMBN=6t（6t）=3 t，S=（PM+QN）MN=t+（6t）（3t）=t2+，即 S=t2+；（3）假设存在某一时刻 t，使四边形 MNQP 的面积 S 等于 ABC 的面积的，即 S=S ABC，t2+=62，整理得：t2=8，解得：t=2（负值舍去），t=2s 时，四边形 MNQP 的面积 S 等于 ABC 的面积的【点评】本题是相似形综合题，考查了正三角形的性质和直角三角形的性质、三角形和梯形面积的计算、函数解析式的求法以及方程的知识；本题难度较大，综合性强，把函数和面积融合在一起，比较复杂，检测学生的计算能力