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1、第 1 页 共 8 页 三角函数期末精讲精练 三角函数精讲 一、基本概念、定义：1.角的概念推广后，包括 、，与 终边相同的角表示为 。终边角：x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线 yx 上 2.弧度制：把 叫 1 弧度的角。公式：|换算：180 弧度；1 弧度 度；1 弧度 扇形：弧长 L ，面积 S 3.任意角的三角函数：定义：角 终边上任意一点 P(x，y)，则 r ，六个三角函数的定义依次是 、。三角函数线：角的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 轴的垂线，垂足为 M，则 。过点 A(1,0)作 ，交 于点 T，则 。同角三角函数关系式：平方关系：商数关系：倒数关
2、系：诱导公式：角 x Sinx Cosx Tanx Sin(2)cos(2)Tan(2)能推导：2；23；23 口诀：函数名变反，符号看象限。2-2k+口诀 二、基本三角公式：（1 2 要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3 6 要求能证明，不记忆）1 和、差角公式)sin()cos()tan(2 二倍角公式 2sin 2cos 2tan 倍角公式变形：降幂公式 cossin 2sin 2c o s 3 半角公式(书 P4546)2cos12sin,2cos12cos,sincos1cos1sincos1cos12tan 4 万能公式：2tan12tan2sin2；2tan12tan1cos2
3、2；2tan12tan2tan2 5 积化和差公式(书 P4647)第 2 页 共 8 页)sin()sin(21cossin；)sin()sin(21sincos；)cos()cos(21coscos；)cos()cos(21sinsin 6 和差化积公式(书 P4647)2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；2cos2cos2coscos；2sin2sin2coscos 应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明 基本技巧：1 的妙用：1 变角：(x+y)(xy)(x+y)(xy)等 变名：切化弦；弦化切 化一：a sinxb cosx 三、三角函数性质 函数 正弦
4、函数 ysinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 ytanx 图像 定义域 值域 值域：当x 时y最小；当x 时y最大；值域：当x 时y最小；当x 时y最大；值域：周期/奇偶 周期 T 奇偶性：周期 T 奇偶性：周期 T 奇偶性：单调性 增：减：增：减：增区间：对称中心 对称轴 四、y Asin(x)的图像和性质：1、作图：五点法，依次取 x 2、周期 T 3、单调区间：A 0 时，增区间：解不等式 x 减区间：解不等式 x A 0 时，当 x 时，y 取最大值 A。最小值：A0 时，当 x 时，y 取最小值A。5、概念：振幅 ；周期 T ；频率 f ；初相 ；相位 。6、三角变换：(A0，
5、0)将 ysinx 的图像ysin(x)ysin(x)第 3 页 共 8 页 yAsin(x)或者：将 ysinx 的图像ysin(x)ysin(x)yAsin(x)7、联系：ytan(x)(0)的周期是 T ，单调 区间是解不等式 。五、反三角定义：1.在闭区间 上，符合条件 sinxa(-1a 1)的角 x 叫 a 的反正弦，记作：x 在闭区间 上，符合条件 cosxa(-1a 1)的角 x 叫 a 的反余弦，记作：x 在开区间 上，符合条件 tanxa 的角 x 叫 a 的反正切，记作：x 2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：例：sin(arcsinx)，其中 x-1,1；arcsi
6、n（sinx），其中 x 2，2；六、数学思想方法：数形结合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；整体思想，例如：研究函数 yAsin(x)的图像和性质可以把 看成整体 三角函数精练 A 已知 是钝角，那么2 是 （）A第一象限角 B第二象限角 C第一与第二象限角 D不小于直角的正角 2 角 的终边过点 P（4k，3k）(k0，则 cos 的值是 （）A 3 5 B 45 C 35 D 45 3已知点 P(sin cos，tan)在第一象限，则在0，2 内，的取值范围是 ()A(2，34)(，54)B(4，2)(，54)C(2，34)(54，32)D(4，2)(34，)4若 sinx=35，
7、cosx=45，则角 2x 的终边位置在 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5若 4 6，且 与 23 终边相同，则=6 角 终边在第三象限，则角 2 终边在 象限 7已知tanx=tanx，则角 x 的集合为 8如果 是第三象限角，则 cos(sin)sin(sin)的符号为什么？9已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形中心角是 1 弧度，求该扇形面积 B 1sin600的值是 （）A12 B 12 C3 2 D 3 2 2 sin(4+)sin（4）的化简结果为 （）Acos2 B12cos2 Csin2 D 12sin2 3已知 sinx+cosx=15，x0，则
8、tanx 的值是 （）第 4 页 共 8 页 A34 B 43 C43 D34或43 4已知 tan=13，则1 2sin cos+cos2=5 12sin10cos10 cos10 1cos2170 的值为 6证明1+2sin cos cos2 sin2=1+tan 1tan 7已知2sin+cos sin 3cos=5，求 3cos2+4sin2 的值 8已知锐角、满足 sin+sin=sin，cos cos=cos，求 的值 C.1已知 0 2 ，sin=35，cos(+)=45，则 sin 等于 （）A0 B0 或2425 C 2425 D0 或2425 2 sin7+cos15sin
9、8 cos7sin15sin8 的值等于 （）A2+3 B 2+3 2 C2 3 D 2 3 2 3 ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 的大小为 （）A 6 B 56 C 6或56 D 3或23 4若 是锐角，且 sin(6)=13，则 cos 的值是 5cos7cos27cos37=6已知 tan=12，tan=13，且、都是锐角求证：+=45 7已知 cos()=45，cos(+)=45，且（）（2，），+（32，2），求 cos2、cos2 的值 8 已知 sin(+)=12，且 sin(+)=13，求tantan D 1cos75+cos15的值
10、等于 （）A 6 2 B 6 2 C 2 2 D 2 2 2a=2 2（sin17+cos17），b=2cos2131，c=2 2，则 （）Acab B bca C abc D bac 3化简1+sin2-cos2 1+sin2+cos2=4化简 sin(2+)2sin cos(+)=5在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则 tanA2+tanC2+3 tanA2tanC2的值为 6化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)7 化简 sin50(1+3 tan10)8 已知 sin(+)=1，求证：sin(2+)+sin(2+3)=0 E 1函数 y=lg(2co
11、sx1)的定义域为 （）第 5 页 共 8 页 Ax3x3 Bx6x6 Cx2k 3x2k+3，kZ Dx2k 6x2k+6，kZ 2如果、（2，），且 tan cot，那么必有 （）A B C +32 D +32 3若 f(x)sinx 是周期为 的奇函数，则 f(x)可以是 （）Asinx B cosx C sin2x D cos2x 4下列命题中正确的是 （）A若、是第一象限角，且 ，且 sin sin B函数 y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k 2，2k+2），kZ C函数 y=1cos2x sin2x 的最小正周期是 2 D函数 y=sinxcos2 cosxsin2 的图
12、象关于 y 轴对称，则=k24，kZ 5函数 y=sinx2+cosx2在（2，2）内的递增区间是 6y=sin6x+cos6x 的周期为 7比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos2，sin2，tan2（4 2）8设 f(x)=sin(k5x+3)(k0)(1)写出 f(x)的最大值 M，最小值 m，以及最小正周期 T；（2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x)至少有一个 M 与 m F.1函数 y=12sin(2x+)的图象关于 y 轴对称的充要条件是 （）A=2k+2 B=k+2 C=2k+D=k+(
13、kZ)2先将函数 y=sin2x 的图象向右平移3个单位长度，再将所得图象作关于 y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （）Ay=sin(2x+3)By=sin(2x3)Cy=sin(2x+23)D y=sin(2x23)3右图是周期为 2 的三角函数 y=f(x)的图象，那么 f(x)可以写成 （）Asin(1+x)B sin(1x)Csin(x1)D sin(1x)4y=tan(12x3)在一个周期内的图象是 （）y x 1 1 1 y y y y x x x x O O O 3 3 3 6 6 65 67323232 35 34B A C D 第 6 页 共 8 页 5已知函数
14、 y=2cosx(0 x2)的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 6将y=sin(3x 6)的图象向（左、右）平移 个单位可得 y=sin(3x+3）的图像 7已知函数 y=Asin(x+)，在同一个周期内，当 x=9时取得最大值12，当 x=49时取得最小值 12，若 A0，0，2，求该函数的解析表达式 8已知函数 y=3 sinx+cosx，xR(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合；（2）该函数的图象可由 y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9如图：某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)
15、+b（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式 G 1函数 y=12+sinx+cosx 的最大值是 （）A2 2 1 B 2 2 1 C 1 2 2 D 1 2 2 2若 2+=，则 y=cos 6sin 的最大值和最小值分别为 （）A7，5 B 7，112 C 5，112 D 7，5 3当 0 x2时，函数 f(x)=sinx+1 cosx+1的 （）A最大值为 2，最小值为12 B最大值为 2，最小值为 0 C最大值为 2，最小值不存在 D最大值不存在，最小值为 0 4已知关于 x 的方程 cos2xsinx+a=0，若 0 x2时方程有解，则 a 的取值范围是（）A 1
16、，1 B（1，1）C 1，0 D（，54）5要使 sin 3 cos=4m6 4m有意义，则 m 的取值范围是 6若 f(x)=2sin x(0 1），在区间0，3上的最大值为 2，则=7y=sinxcosx+sinx+cosx，求 x0，3时函数 y 的最大值 8已知函数 f(x)=sin2xasinx+b+1 的最大值为 0，最小值为4，若实数 a0，求 a，b 的值 O 6 10 14 10 20 30 时间y 温度/第 7 页 共 8 页 9已知函数 f(x)=2cos2x+3 sin2x+a，若 x0，2，且f(x)2，求 a 的取值范围 H 1ABC 中，tanA+tanB+3=3
17、 tanAtanB，sinAcosA=3 4，则该三角形是 （）A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等边三角形或直角三角形 2在ABC 中，已知（b+c）(c+a)(a+b)=456，则此三角形的最大内角为 （）A120 B150 C60 D90 3若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点 P（cosBsinA，sinBcosA）在 （）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4在ABC 中，若 sinAsinBsinC=51213，则 cosA=5在ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 的大小为 6已知 a、b、c 是ABC 中A、B、C
18、 的对边，S 是ABC 的面积，若 a=4，b=5，s=5 3，求 c 的长度 7在ABC 中，sin2Asin2B+sin2C=sinAsinC，试求角 B 的大小 8半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点，且 OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为边向外作等边ABC，问 B 点在什么位置时，四边形 OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积 三角函数答案 A1 A 2 B 3 B 4 D 5163 6一、二 72k+2x2k+或 2k+32x2k+2 ，kZ 8负 9 2cm2 B1 D 2 B 3 B 4103 5 1 6 略 775 83 C1 C 2 C 3 A 42
19、6 16 5 18 6略 7 cos2=725，cos2=1 8 15 D1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 3 6 sin2（AB）7.1 8.略 E1 C 2 C 3 B 4 D 5 32,)6 2 7（1）sin4 sin3 sin2 （2）cos2 sin2 tan2 8 （1）M=1，m=1，T=2|k5|=10|k|（k 0）（2）k=32 F1 B 2 D 3 D 4 A 5 4 6左，6 A C B O A 第 8 页 共 8 页 7 y=12 sin(3x+6)8（1）xx=3+2k，kZ；（2）将 y=sinx 的图象向左平移6，得到函数y=sin(x+6）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+6）的图象 9（1）最大温差 20；（2）y=10sin(8x+34）20，x6，14 G1 B 2 D 3 A 4 A 5 1m 73 634 712+2 8a=2,b=2 92a1 H1 A 2 A 3 B 4 1213 5 6 6 21 或 61 7 3 8 设AOB=，=56 时，S最大值=2+5 3 4