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1、 .word.第六章 实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 a 的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为 0。2.绝对值：表示点到原点的距离，数 a 的绝对值为 3.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。非 0 实数 a 的倒数为1a.0 没有倒数。4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数 0 和正数；倒数是它本身的数是 1.
2、三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于 a，这个数叫做 a 的平方根。数 a 的平方根记作 a=0 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2.立方根：如果一个数的立方等于 a，则称这个数为 a 立方根。数 a 的立方根用3a表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根三次方根的运算，叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则：a同号两数相加，取一样的符号，
3、并把绝对值相加；a|a.1 b)异号两数相加。绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。3.乘法法则：a两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零 b几个不为 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0 4.有理数除法法则：a两个有理数相除除数不为 0同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 实数都得 0。b除以一个数等于乘以这个
4、数的倒数。5.有理数的乘方:在 an中，a 叫底数，n 叫指数 a正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是 0 ba0=1a 不等于 0 6.有理数的运算顺序：a同级运算，先左后右 b混合运算，先算括号的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法 1数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2比差法：假设 a-b0 则 ab；假设 a-b0 则 a1 则 ab；a/b1 则 a1 则 ab；a/bb C.一正一负时，正数负数 4平方法：a、b 均为正数时，假设 a2b2，则有 ab；均为负数时相反 5)倒数法：两个实数，倒数大的反
5、而小不管正负.1 题型归纳 经典例题类型一有关概念的识别1下面几个数：0.23，1.010010001，3，其中，无理数的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4 解析：此题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，是无理数 应选 C 举一反三：【变式 1】以下说法中正确的选项是 A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数 【答案】此题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9 的平方根是3，A 正确 1 的立方根是 1，=1，是 5 的平方根，B、C、D 都不正确 【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴
6、的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A表示的数是 A、1 B、1.4 C、D、【答案】此题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为 1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，A 表示数为，应选 C 【变式 3】【答案】=3.1415，9310 因此 3-90，3-100 类型二计算类型题2设，则以下结论正确的选项是 .1 A.B.C.D.解析：估算因为，所以选 B 举一反三：【变式1】1 1.25的算术平方根是_；平方根是_.2 -27 立方根是_.3_，_，_.【答案】1；.2-3.3，【变式 2】求以下各式中的 1 2 3 【答案】12*=4 或
7、*=-23*=-4 类型三数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_ 解析：在数轴上找到 A、B 两点，举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示 1，的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是 A1 B1 C2 D2 【答案】选 C 变式 2 实数、在数轴上的位置如下列图：化简 【答案】：类型四实数绝对值的应用4化简以下各式：(1)|-1.4|(2)|-3.142|(3)|-|(4)|*-|*-3|(*3)(5)|*2+6*+10|.1 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号的数是正数、负数还是零，然后根据绝对
8、值的定义正确去掉绝对值。解：(1)=1.4141.4|-1.4|=1.4-(2)=3.141593.142|-3.142|=3.142-(3),|-|=-(4)*3,*-30,|*-|*-3|=|*-(3-*)|=|2*-3|=说明：这里对|2*-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对 这个绝对值的根本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5)|*2+6*+10|=|*2+6*+9+1|=|(*+3)2+1|(*+3)20,(*+3)2+10|*2+6*+10|=*2+6*+10 举一反三：【变式 1】化简：【答案】=+-=类型五 实数非负性的应用5：=0，数 a,b 的值。分析：等式左边分母不
9、能为 0，只能有0，则要求 a+70，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0 且 a2-49=0，由此得不等式组 从而求出 a,b 的值。解：由题意得 由(2)得 a2=49 a=7 由(3)得 a-7，a=-7 不合题意舍去。只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 a=7,b=21 为所求。.1 举一反三：【变式 1】(*-6)2+|y+2z|=0，求(*-y)3-z3的值。解：(*-6)2+|y+2z|=0 且(*-6)20,0,|y+2z|0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为 0。解这个方程组得(*-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=6
10、4+1=65 【变式 2】则 a+b-c 的值为_ 【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2 类型六 实数应用题6 有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。解：设新正方形边长为*cm，根据题意得*2=112+138 *2=225 *=15 边长为正，*=-15 不合题意舍去，只取*=15(cm)答：新的正方形边长应取 15cm。举一反三：【变式 1】拼一拼，画一画：请你用 4 个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形
11、。4 个长方形拼图时不重叠 1计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么.2当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多 24cm2，求中间小正方形的边长.解析：1如图，中间小正方形的边长是：.1 ，所以面积为=大正方形的面积=，一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：或 (2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又 大正方形的面积比小正方形的面积多 24 cm2 所以有，化简得：将代入，得：cm 答：中间小正方形的边长 2.5 cm。类型七易错题7判断以下说法是否正确 1的算术平方根是-3；2的平方根是15.3当*
12、=0 或 2 时，4是分数 解析：1错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 2表示 225 的算术平方根，即=15.实际上，此题是求 15 的平方根，故的平方根是.3注意到，当*=0 时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是无视了“负数没有平方根，故*0，所以当*=2 时，*=0.4错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.1 类型八 引申提高8 1的整数局部为 a，小数局部为 b，求 a2-b2的值.2把以下无限循环小数化成分数：1分析：确定算术平方根的整数局部与小数局部，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，则较小的整数即为算术平方根的整数局部，算术平方根减去整数局部的差即为小数局部 解：由 得 的整数局部 a=5,的小数局部，2解：(1)设*=则-得 9*=6 .(2)设 则-，得 99*=23 .(3)设 则-，得 999*=107，.