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1、圆周角与圆心角的关系练习三 一、选择题 1圆周角是 24，则它所对的弧是_ A12；B24；C36；D48 2在O中，AOB=84，则弦AB所对的圆周角是_ A42；B138；C84；D42或 138 3如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有_ A1 对；B2 对；C3 对；D4 对 4如图，AC是O的直径，AB，CD是O的两条弦，且ABCD如果BAC=32，则AOD=_ A16；B32；C48；D64 二、计算题 角形外接圆半径长及各锐角的正切值 6如图，AD是ABC外接圆的直径，AD=6cm，DAC=ABC求AC的长 7已知：
2、DBC和等边ABC都内接于O，BC=a，BCD=75（如图）求BD的长 8 如图，半圆的直径AB=13cm，C是半圆上一点，CDAB于D，并且CD=6cm 求AD的长 9如图，圆内接ABC的外角MAB的平分线交圆于E，EC=8cm求BE的长 10已知：如图，AD平分BAC，DEAC，且AB=a求DE的长 11如图，在O中，F，G是直径AB上的两点，C，CFA=DFB，DGA=EGB求FDG的大小 12如图，O的内接正方形ABCD边长为 1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点求PA2PB2PC2PD2的值 13如图，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=135，以A为圆心，AB为半径作A交A
3、D，BC于E，F两 14如图，O的半径为 R，弦AB=a，弦BCOA，求AC的长 15如图，在ABC中，BAC，ABC，BCA的平分线交ABC的外接圆于D，E和F，如果，分别为 m，n，p，求ABC的三个内角 16 如图，在O中，BC，DF为直径，A，E为O上的点，AB=AC，EF=21DF 求ABD+CBE的值 17如图，等腰三角形ABC的顶角为 50，AB=AC，以 数 18如图，AB是O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且BAC=30，ABD=120，CDBD于 D求BD的长 19如图，ABC中，B=60，AC=3cm，O为ABC的外接圆求O的半径 20以ABC的BC边为直径的半圆，交
4、AB于D，交AC于E，EFBC于F，AB=8cm，AE=2cm，BFFC=51（如图）求CE的长 21已知等腰三角形的腰长为 13cm，底边长为 10cm，求它的外接圆半径 22如图，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c求AE的长 23如图，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=24cm求DE的长 24如图，梯形ABCD内接于O，ABCD，的度数为 60，B=105，O的半径为 6cm求BC的长 25已知：如图，AB是O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CDAB于E求C
5、D的长 26 如图，AB为O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦 求ACE的度数 27已知：如图，在ABC中，C=90，A=38，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数 28 如图，ABC内接于圆O，AD为BC边上的高 若AB=4cm，AC=3cm，AD=2 5cm，求O的半径 29 设O的半径为 1，直径AB直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长 30如图，在O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm求BKAK的值 31 如图，O的半径为 40cm，CD是弦，A为的中点，弦AB交CD于F 若AF=20cm，BF=4
6、0cm，求O点到弦CD的弦心距 32如图，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长 三、证明题 33如图，已知ABC内接于半径为 R 的O，A为锐角 求证：ABCsin=2R 34已知：如图，在ABC中，AD，BD分别平分BAC和ABC，延长AD交ABC的外接圆于E，连接BE求证：BE=DE 35如图，已知D为等边三角形ABC外接圆上的上的一点，AD交BC边于E求证：AB为AD和AE的比例中项 36已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于 D求证：D为BC的中点 37已知：如图，O是ABC的外接圆，ADBC于D，AE平分BAC交
7、O于E求证：AE平分OAD 38已知：如图，ABC的AB边是O的直径，另两边BC和AC分别交O于D，E两点，DFAB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H 求证：DF2=HFGF 39已知：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=CD求证：ABAD+BC2=AC2 40已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DEAB于E，交AC于F，DB交AC于G求证：AF=FG 41如图，AB是O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CDAB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F求证：EPFEOA 42已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F求证：AM
8、D=FMC 43已知：如图，AB，AC分别为O的直径与弦，CDAB于D，E为O外一点，且AE=AC，BE交O于F，连结ED，CF求证：ACF=AED 44如图，O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G求证：AF2=AG2=DFGE 45如图，ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G求证：AF=AG 46已知：如图，O的两条直径ABCD，E是OD的中点，连结AE，并延长交O于M，连结CM，交AB于F求证：OB=3OF 47已知：如图，ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DEAC交圆
9、于E（1）求证：ADE是等边三角形；（2）求 SABCSADE 48已知：如图，半径都是 5cm 的两等圆O1和O2相交于点A，B，过A作O1的直径AC与O2交于点D，且ADDC=32，E为DC的中点（1）求证：ACBE；（2）求AB的长 49如图，已知在直角三角形ABC中，C=90，CDAB，AD是O的直径，且D点在AB上 参考答案 一、选择题 1D 2D 3D 4D 二、计算题 DE直线OB于E，DOE=30，应用勾股定理求出BD的长 89 cm 或 4 cm提示：连接 AC，BC由 AB为直径可知ACB=90又 CDAB于 D，所以 CD2=ADBD，即CD2=AD（ABAD）又 AB=
10、13，CD=6，所以 36=AD（13AD），AD213AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）1150提示：延长DF，DG分别交O于C，E，因为CFA=DFB，DGA=EGB，所以CFA=CFA，EGB=EGB因为AB为O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知 为 100，就有FDG=50 又因为DAB=ABC=90所以AC和BD为O的直径所以APC与BPD为直角三角形所以 PA2+PC2=AC2，PB2+PD2=BD2，就有 PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4 知BC/AD所以AC=BD又AD为直径，所以ABD=90在 RtABD中，AD=2R，AB=a，所以
11、15提示：根据圆周角度量定理有：（A+B）的度数=m，（B+C）的度数=n，（C+A）的度数=p由前面三个等式得：1675提示：由BC，DF分别为O的直径，可得A=DEF=90又AB=AC，所以ABC=45在 RtDEF中，由 EF=是 240，DBE=120所以ABD+CBE=12045=75 1750，50，80提示：连接 AD，则 AD平分A 于D，则AD=CD，AOD=DOC由B=60可得OAD=30所 解法二 过A作直径AD，连接CD，则ACD=90，ADC=ABC=60；又知AC=3，这就容易求出AD =90，所以BE2=AB2AE2=8222=60 又因为BFFC=51，故设BF
12、=5x，FC=x，则BC=6x因为EFBC，所以BE2=BFBC，解法二 连接BE，则BEAC，所以BE2=8222=60在直角三角形BCE中 ABC外接圆于E，连接CE，则ADBC，BD=CD=5由垂径定理知：AE为ABC外接圆的直径，所以ACE=90在 RtADC中，AD=230.8 cm提示：只需证明ABEBDE CE 2660 提示：连接OC，BC只需证明OCB为等边三角形，则ABC=60，而ACB=90，所以CAB=30，即可求出ACE=60 2776提示：延长BC交C于E，连接DE，只需证明 282.4 cm提示：连接AO并延长交O于E，则AE为O 所以O的半径为（cm）3071提
13、示：连接HD只需证明CKOCDH所以 3125 cm提示：连接 AO并延长交O于 E，则 AE为O CD，OM就是CD的弦心距只需证明AMFABE，由此得 323.5cm提示：解法一 连接OB交弦AC于G连接BD只需证明ABGDAB由此求出AG，进而求出OG，而CD=2OG 解法二 设AB的延长线与DC的延长线相交于点E，在BCE和OAB中，BCE=OAB，EBC=D=2ADB=BOA 所以BCEOAB，从而 BCCE=OAAB所以CE=三、证明题 33提示：作直径BD，连接CD，则BCD=90，且A=D在 34提示：只需证明BDE=DBE证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论 35提示：
14、连接BD只需证明ABEADB 36提示：连接AD 37提示：证法一 延长AO交O于M，延长AD交O于 N连 证法二 过A作直径AM，连接MB，则AMB=ACB，又ABM=ADC=直角，所以BAM=DAC，从而AE平分OAD GF=BFAF再根据射影定理得DF2=AFFB，所以 DF2=HFGF 39提示：连接BD交AC于E只需证明BECABC ACAE=AC（ACEC）=AC2ACEC 40提示：连接AD由AB为直径得ADB=90再由DE ADE，AF=DF这就容易证出AF=FG 41提示：AEO=（BEO）=FEP，OAE=（AOCAEO=APBFEP）=F 42提示：连接MB因为AB是O的
15、直径，所以AMB=从而AMD=FMC 43提示：连接BC因为AB为O直径，所以ACB=90因为CDAB于D，所以AC2=ADAB又因为AE=AC，所以 ADE，就有AED=ABE=ACF 44提示：连接AD，AE，应用三角形外角定理，先证明AFG=AFAG=DFGE，就有AF2=AG2=DFGE 45提示：先证明ABCAED，连接BF，则G=ADFGAB=ACBGFB=AFG，所以AF=AG 46提示：设O的半径长为 1连接MD显然CAE OF 47（1）提示：在ADE中，ADE=60，DEA=DCA=60所以ADE是一个等边三角形 48（1）提示：连接BD，BC因为O1与O2是等圆，又因为E为DC中点，所以BEAC 所以AD=6，DC=4，所以DE=2，AE=8因为AC为O1直径，所以ABC=90，又因为BEAC，所以AB2=AEAC=80，得出AB=49（1）提示：连接ED因为AD为直径，所以AED=90又 ACB=90，CDAB，所以 AC2=ADAB，BC2=ABBD，由此 （2）21提示：AECE=AD2CD2=21