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1、综合问题 例1 如 图，直 四 棱 柱ABCDA1B1C1D1的高为 3，底面是边长为 4 且 DAB=60 的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E 是O1A 的中点.求点 E 到平面 O1BC 的距离.17 解法一 在O1AC 中，OE 是O1AC 的中位线，OE O1C OE O1BC，BC面 O1OF，面 O1BC面 O1OF，交线 O1F.过 O 作 OH O1F 于 H，则 OH 是点 O 到面 O1BC 的距离，OH=3.2点 E 到面 O1BC 的距离等于3.2 解法二：（1）OO1平面 AC，OO1 OA，OO1 OB，又 OA OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如
2、图）底面 ABCD 是边长为 4，DAB=60 的菱形，OA=23，OB=2，则 A（23，0，0），B（0，2，0），C（23，0，0），O1（0，0，3）设平面 O1BC 的法向量为1n=（x，y，z），E O1 O D1 C1 B1 D C B A A1 则1n1OB，1n1OC，2302 330yzxz，则 z=2，则 x=3，y=3，1n=（3，3，2），设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d，E 是 O1A 的中点，1EO=（3，0，32），则 d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|22211nnEO 点 E 到面 O1BC 的距离等于32.例 2.如图，四边形AB
3、CD为矩形，且4,2ADAB，PAABCD 平面，E为BC上的动点.(1)当E为BC的中点时，求证：PEDE；(2)设1PA，在线段BC上存在这样的点 E，使得二面角PEDA的大小为4.试确定点 E 的位置.19.方法一：(2)证明：当E为BC中点时，1ECCD，从而DCE为等腰直角三角形，则45DEC，同理可得45AEB，90AED，于是DEAE，2 分 又PAABCD 平面，且DEABCD 平面，PADE，DEPAE 平面，又PEPAE 平面，DEPE.（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）(2)如图过A作AQDE于Q，连,AE AQ，则PQDE，PQA为二面角PEDA的平面角
4、.8 分 第 19 题C D B A P E PCABDEQzyxPCABDE设BEx，则2CEx.,1.4Rt PAQPQAAQP在中 2,1,Rt ABEAExRt AQEEQx在中在中 3,Rt AQDDQ在中于是3DEx Rt DCE在中，有22(3)(2)1xx 解之得23x。点E在线段 BC 上距 B 点的32处.方法二、向量方法.以A为原点，,AB AD AP所在直线为,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图.1 分（1）不妨设APa，则(0,0,),(1,1,0),(0,2,0)Pa ED，从而(1,1,),(1,1,0)PEa DE，4 分 于是(1,1,)(1,1,0)1
5、 10PE DEa ，所以,PEDE 所以PEDE （2）设BEx，则(0,0,1),(1,0),(0,2,0)PExD，则(1,1),(1,2,0)PExDEx.易 知 向量(0,0,1)AP 为 平 面AED的 一个 法 向量.设平 面PDE的 法向 量 为(,)na b c，则应有 0,0,n PEn DE 即0(2)0abxcab x解之得2cb，令1,b 则2c，2ax，从而(2,1,2)nx，依题意2cos42n APn AP ，即2222(2)5x，解之得123x（舍去），123x,所以点E在线段 BC 上距 B 点的32处.例 3如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为
6、正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹为 (）15.P 是二面角AB棱 AB 上的一点,分别,在内引射线 PM,PN,如果45,60BPMBPNMPN ,则二面角AB的大小是 .15.90 20（07浙江文）在如图所示的几何体中，EA 平面ABC，DB 平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点（1）求证：CMEM；（2）求DE与平面EMC所成的角的正切值 20方法一：（1）证明：因为ACBC，M是AB的中点，E D C M A B 所以CMAB 又因为EA
7、平面ABC，所以CMEM（2）解：连结MD，设AEa，则2BDBCACa，在直角梯形EABD中，2 2ABa，M是AB的中点，所以3DEa，3EMa，6MDa，因此DMEM因为CM 平面EMD，所以CMDM，因此DM 平面EMC，故DEM是直线DE和平面EMC所成的角 在RtEMD中，6MDa，3EMa，tan2MDDEMEM 方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系Cxyz，设E Aa，则(2)Aa ，(0 2 0)Ba，(20)Eaa，(0 2 2)Da a，(0)M aa，（1）证明：因为()EMaaa ，(0)C
8、Maa，所以0EM CM ，故EMCM（2）解：设向量001yz，n=与平面EMC垂直，则EM n，CM n，即0EM n，0CM n因为()EMaaa ，(0)CMaa，所以01y ，02x ，即112 ，n=，因为(22)DEaaa，6cos3DEDEDE，nnn，DE与平面EMC所成的角是n与DE夹角的余角，所以tan2 17.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BD、BB1的中点，（1）求证：EFAD1；（2）求二面角 ED1FA 的大小；（3）求三棱锥 D1AEF 的体积.17 解：（1）连结 B1D、A1D E D C M A B yz x A
9、BCDA1B1C1D1是正方体，A1D 是 B1D 在平面 AA1D1D 的射影，并且 A1DAD1，A1DB1D（三垂线定理）.又在BB1D 内，E、F 分别为 BD、BB1的中点，EF/B1D EFAD1 （2）以 A 为原点，AB、AD、AA1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则易知各点的坐标分别为：A（0，0，0）E（1，1，0）F（2，0，1）D1（0，1，2）)2,2,0(),1,0,2(),0,1,1(1DAAFAE AE平面 BB1D1D，AE就是平面 BB1D1D 的法向量.设平面 AFD1的法向量 n=（x，y，z），则 022)2,2,0(),(02)1,0,2
10、(),(1zyzyxADnzxzyxAFn 令 x=1 得 z=2，y=2 即 n=（1，2，-2），22.cosnAE 由图形可知，二面角 ED1FA 的平面角为锐角，二面角 ED1FA 的大小为 45（3）由（1）知，EFAD1，又显然 EFAE，EF平面 AED1 EF 就是三棱锥 FAED1的高，又AE平面 BB1D1D，AED1E 三棱锥 FAED1的底面 AED1是直角三角形 易求得6.,2,3.122EDAEBFBEEF 三棱锥 D1AEF 的体积1.3111EFSVVAEFAEDFAEFD 20.一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点）.
11、（I）求证：MN平面 CDEF；（II）求二面角 DMNB 的余弦值的绝对值.20解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住 ADEBCF，且 AB=BC=BF=2，DE=CF=2.2 CBF=.2 （1）取 BF 中点 G，连 MG、NG，由M、N 分别为 AF、BC 的中点可得，NGCF，MGEF，平面 MNG平面 CDEF，MN平面 CDEF.（2）建立空间直角坐标系，如图，则 A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，2），F（2，2，0）M（1，1，0），C（2，0，2），N（2，0，1），),2,1,1(DM )1,0,0(BN，),1,1,1(MN 设平面 DM
12、N 的法向量),1(zym 则0,0nMNmDM，则,2,3,01,021zyzyzy)2,3,1(m；设平面 MNB 的法向量为),1(11zyn ,00nBNnMN且则 )0,1,1(001111nzzy即 设二面角 DMNB 的平面角为，则 .772284|cos|nmnm 二面角 DMNB 的余弦的绝对值为.772 变式：如图，PA平面 ABC，ACBC，D为 PB 的中点,AEPB,PA=AC=1,BC=2，求二面角 A PBC 的大小。解：变式:解:向量DC与EA的夹角的大小就是二面角 A PBC的大小，如图建立空间直角坐标系 C xyz，则 A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），P（1，0，1），D 为 PB 的中点，D（21,22,21）由射影定理3122ABAPEBPE，即 E 为PB的比为31，E（)43,42,43，)43,42,41(EA，)21,22,21(DC，1,23DCEA，21DCEA cosDCEA,=33DCEADCEA.故二面角 A PBC 的余弦值为33.P A B C E D P A B C E D x y z