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1、-.z.ADBCE 倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF ABCDEF 分析：要求证的两条线段 AC、BF 不在两个全等的三角形中，因此证 AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把 AC、BF转化到同一个三角形中，由 AD 是中线，常采用中线倍长法，故延长 AD 到 G，使 DG=AD，连 BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 提示：倍长 AD 至 G，连接
2、 BG，证明BDGCDA 三角形 BEG 是等腰三角形 3、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值围是_.4、在ABC 中,AC=5,中线 AD=7，则 AB 边的取值围是()A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19 5、已知：AD、AE 分别是ABC 和ABD 的中线，且 BA=BD，求证：AE=21AC ABCDE6、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.7、已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE 提示：倍长 AE 至 F，连结 DF 证明ABEFDE（SAS）进而
3、证明ADFADC（SAS）8、如图 23，ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 点的直线GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G 点，DEDF，交 AB 于点 E，连结 EG、EF.求证：BG=CF 请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。9、如图，AD 为ABC的中线，DE 平分BDA交 AB 于E，DF 平分ADC交 AC 于 F.求证：EFCFBE 方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG 证明BDEGDE DCFDGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法 2：倍长 ED 至 H，连结 CH、FH 证明 F
4、H=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 10、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.11、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 在 BC上，且 DE=EC，过 D 作BADF/交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分BAC 方法 1：倍长AE 至 G，连结 DG 方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH 截长补短 7.9 作业：已知，四边形ABCD 中，ABCD，12，34。求证：BCABCD。1、如图，ADBC，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.证明
5、：在 CD 上截取 CF=BC 在FCE 与BCE 中，FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE 与ADE 中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，-.z.FDCBA12EDCBA12CD=AD+BC.2、已知：如图，在ABC 中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD 与AED 中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方
6、法二（截长法）AB 上截取 AF=AC，在AFD 与ACD 中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.3、如图，在ABC 中，BAC=60，AD 是BAC 的平分线，且 AC=AB+BD，求ABC 的度数 4、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 5、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 6、如图，已知在ABC，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，
7、CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 7、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 8、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系 角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形ABCD 中，BCBA,ADCD，求证：BAD+C=180 2、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，则B 与ADC 互补.为什么？3、如图 4，在ABC 中，BD=CD
8、，ABD=ACD,求证 AD平分BAC.4、如图，在ABC 中，ABC=100，ACB=20，CE 平分ACB，D 是 AC 上一点，若CBD=20，求ADE 的度数.7.5 作业：已知，ABAD，12，CDBC。求证：ADCB180。7.6 作业：如图，在ABC 中ABC,ACB 的外角平分线交 P.求证:AP 是BAC 的角平分线 7.6 作业：如图,B=C=90,AM 平分DAB,DM 平分ADC 求证:点 M 为 BC 的中点 连接法（构造全等三角形）7.9 作业：已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证：AEAF。1、如图，直线 AD 与 BC 相
9、交于点 O，且 AC=BD，AD=BC 求证：CO=DO D B CA F E D B E A C A B C D-.z.2、已知：如图 16，AB=AE，BC=ED，点 F 是 CD 的中点，AFCD求证：B=E 3、如图 11-30，已知 ABAE，BE，BCED，点 F是 CD 的中点.求证：AFCD.4、在正ABC取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.5、如图所示，BD=DC,DE BC,交BAC 的平分线于 E，EMAB,ENAC,求证：BM=6、如图，在ABD 和ACD 中，AB=AC，B=C求证：ABDACD 全等+角平分线性质 1、如图
10、 21，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DB=DC，求证：EB=FC 2、已知：如图所示，BD 为ABC 的平分线，AB=BC，点P 在 BD 上，PMAD 于 M，PNCD 于 N，判断 PM 与PN 的关系 全等+等腰性质 1、如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC,BC、DE 交于点 O.求证：(1)ABCAED；(2)OBOE.2、.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC 求证：OAOD 两次全等 7.4 作业：AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 1、如图，D、E、F、B 在
11、一条直线上 AB=CD,B=D，BF=DE.求证：（1）AE=CF;（2）AECF （3）AFE=CEF 2、如图：A、E、F、B 四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：ACFBDE 3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证:5=6 4、已知如图，E、F 在 BD 上，且 ABCD，BFDE，AECF 求证：AC 与 BD 互相平分 由 BFDF，得 BEDF ABECDF，BD 再证AOBCOD，得 OAOC，OBOD 即 AC、BD 互相平分 5、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90DEAC 于点 F，交 BC 于点
12、 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE=AC.求证：BG=FG 直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰 RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G 求证：BDCG A F C B D E G A D F E C B A C N E M B D A B E O F D C-.z.1、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 解：全等三角形为：ACDCBE 证明如下：由题意知CAD+A
13、CD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE 在ACD 与CBE 中，ADC=CEB=90CAD=BCE AC=BC ，ACDCBE（AAS）2、如图，ABC90，ABBC，D 为 AC 上一点，分别过 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 E、F 求证：EFCFAE 证ABEBCF，得 BECF，AEBF，EFBEBFCFAE 3、在ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD 于D，MNBE 于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不
14、成立，说明理由.4、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。作平行线 1、已知ABC，AB=AC，E、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G求证：EG=GF 2、如图，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，DEBD 于 D，交 BC 于点 E 求证：CD=21BE 证明：过点 D 作 DFAB 交 BC 于点 F BD 平分ABC，1=2 DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BF DEBD，2+DEF=90，3+5=90 DEF=5DF=EF AB=AC，ABC=C 4=C，CD=DF CD=
15、EF=BF，即 CD=21BE 延长角平分线的垂线段 1、如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E 求证：ACE=B+ECD 分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE交 AB 于点 F，即可构造全等三角形 证明：延长 CE 交 AB 于点 F AD 平分BAC，FAE=CAE CEAD，FEA=CEA=90 在FEA 和CEA 中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEA FEACEA ACE=AFE AFE=B+ECD，ACE=B+ECD 2、如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，
16、直线CE 交 BA 的延长线于 F 求证：BD=2CE 3、如图：BAC=90，CEBE，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BD=2EC 4、已知，如图 34，ABC 中，ABC=90，AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D 求证：CD=21AE 面积法 例 1 如图 1，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.分析：根据已知可知 AD 是BAC 的平分线，可通过点 D作BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F.因为 DA 为BAC 的平分线，所以 DE=DF
17、.1 5 4 3 2 E F B D C A A B C F D E-.z.又因为 AD 平分 BC，所以 BD=CD，所以 SABD=SACD，又 SABD=21ABDE，SACD=21ACDF，所以 ABDE=ACDF，所以 AB=AC.2、如图所示,已知 D 是等腰ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF,CMAB,垂足为 M,请你探索一下线段 DE、DF、CM 三者之间的数量关系,并给予证明.3、己知，ABC 中，AB=AC，CDAB，垂足为 D，P 是BC 上任一点，PEAB，PFAC 垂足分别为 E、F，求证：PE+PF=CD.PE P F=CD
18、.旋转型 1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H。求证：BCGDCE BHDE 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE 3、（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 O
19、CD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.4、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE 证明：（1）AEAB，ADAC BAE=CAD BAD=CAE而 AB=AE，B=E，ABDAECBD=CE （2）由ABDAEC 知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90，BDCE 5、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF 图 1
20、 图 2 D C E A B C B O D 图 7 A E F E D C A B G P F E D C A B G P F E D C A B G H B A O D C E 图 8-.z.6、正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.7、D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E,F。当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。8、如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求AMN的周长。9、五 边 形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE 10、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形 ABCDE 的面积 A E B M C F