2022年全等三角形中档题.pdf

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1、倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD是 ABC的中线， BE交 AC于 E ，交AD于 F，且 AE=EF，求证： AC=BF ABCDEF分析：要求证的两条线段AC 、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC 、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到 G ，使 DG=AD ，连 BG ，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在 ABC中， AD是 BC边上的中线， E 是 AD上一点，且 BE=AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EFFEDABC提示：倍长AD至 G ，连接 BG ，证明 BDG CD

2、A三角形 BEG是等腰三角形3、已知，如图 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是 _.DCBA4、在 ABC中,AC=5, 中线 AD=7 ，则 AB 边的取值范围是( ) A 、1AB29 B、4AB24 C 、5AB19 D、9AB19 5、已知：AD 、AE分别是 ABC和 ABD的中线， 且 BA=BD ，求证： AE=21AC ABCDE6、如图， ABC中， BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA7、已知 CD=AB ，BDA= BAD ，AE是 ABD的中线， 求证：C= BAEABCDE提示：倍长AE至 F，连结 DF证明

3、ABE FDE （SAS ）进而证明 ADF ADC （SAS ）8、如图 23， ABC中，D是 BC的中点， 过 D点的直线GF交 AC于 F，交 AC的平行线BG于 G点，DE DF，交 AB于点 E，连结 EG 、EF. 求证： BG=CF 请你判断BE+CF与 EF的大小关系，并说明理由。9、 如图，AD为ABC的中线， DE平分BDA交 AB于 E，DF平分ADC交 AC于 F. 求证：EFCFBE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - -

4、 - - - 4321DEABCADBCE第 14 题图DFCBEA方法 1：在 DA上截取 DG=BD ，连结 EG 、FG证明 BDE GDE DCF DGF所以 BE=EG 、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ED至 H，连结 CH 、FH证明 FH=EF 、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边10、如图， ABC中，E、F 分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .EDFCBA11、已知：如图，在ABC中，ACAB， D、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D作BADF /交 AE于点 F，DF=AC.求证： AE平分BAC

5、ABFDEC方法 1：倍长 AE至 G，连结 DG方法 2：倍长 FE至 H，连结 CH截长补短作业：已知，四边形ABCD 中， AB CD ， 1 2，3 4。求证： BC AB CD 。1、如图， AD BC ，点 E在线段 AB上， ADE= CDE ，DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.证明：在CD上截取 CF=BC在 FCE与 BCE中，CECEBCEFCECBCF FCE BCE （SAS ）, 2=1.又 ADBC ， ADC+ BCD=180 ， DCE+ CDE=90 ， 2+3=90， 1+4=90， 3=4.在 FDE与 ADE中，43DEDEADEFDE FDE

6、 ADE （ASA ），DF=DA ，CD=DF+CF ，CD=AD+BC.2、已知：如图，在ABC中， C2B， 1 2.求证： AB=AC+CD.ADBCEF1234精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - FDCBA12EDCBA12证明：方法一（补短法）延长 AC到 E，使 DC=CE ，则 CDE CED ， ACB 2E， ACB 2B， B E，在 ABD与 AED中,ADADEB21 ABD AED （AAS ）,AB=A

7、E.又 AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）AB上截取 AF=AC ，在 AFD与 ACD中,ADADACAF21 AFD ACD （SAS ）,DF=DC ， AFD ACD.又 ACB 2B， FDB B，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.3、如图，在 ABC中， BAC=60 ， AD 是 BAC的平分线，且 AC=AB+BD ，求 ABC 的度数DCBA4、如图， 已知在 ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点 O ，求证： OE=ODOEDCBA5、已知ABC中，60Ao，BD、CE分别平分ABC和. ACB，BD

8、、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明6、如图，已知在ABCV内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPPQCBA7、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证 ;AB-AC PB-PCP21DCBA8、如图， 点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点 (点B除外 ) ，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系DCBA12DOECBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

9、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 图十一4321PABC角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD 中， BC BA,ADCD ，求证： BAD+ C=180DCBA2、如图，四边形ABCD 中， AC平分 BAD ，CE AB于 E，AD+AB=2AE ，则 B与 ADC互补 .为什么3、如图4，在 ABC中， BD=CD ，ABD= ACD,求证 AD平分 BAC.4、如图，在ABC 中， ABC=100 ， ACB=20 ， CE平分 ACB ，D是 AC上一点，若 CBD=20 ，求

10、 ADE的度数 .作业：已知，AB AD， 1 2，CD BC 。求证： ADC B 180。图九21CBAD作业：如图，在 ABC中 ABC,ACB 的外角平分线交P.求证 :AP 是 BAC的角平分线作业：如图, B=C=90 ,AM 平分 DAB,DM 平分ADC 求证 : 点 M为 BC的中点连接法（构造全等三角形）作业： 已知：如图所示，AB AD ，BCDC ，E、F 分别是DC 、BC的中点，求证： AEAF。DBEACABCDNEBMAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4

11、页，共 10 页 - - - - - - - - - - 1、如图，直线 AD与 BC相交于点 O，且 AC=BD ，AD=BC 求证： CO=DO AODCB2、已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点 F 是 CD的中点，AFCD 求证： B=EAFDCBE3、如图 11-30 ，已知 AB AE ， BE，BC ED ，点 F是 CD的中点 . 求证： AF CD.FEDCBA4、在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.5、如图所示， BD=DC,DE BC,交 BAC的平分线于E，EM AB,EN AC,求证： BM=CN6、如

12、图，在ABD和 ACD中， AB=AC ， B=C求证：ABD ACD ADCB全等+角平分线性质1、如图 21，AD平分 BAC ， DE AB于 E，DFAC于 F，且 DB=DC ，求证： EB=FC2、已知：如图所示，BD为 ABC的平分线， AB=BC ，点 P在 BD上， PM AD于 M ，?PN CD于 N ，判断 PM与 PN的关系PDACBMN全等 +等腰性质1、 如图，在 ABE中，AB AE,ADAC,BAD EAC, BC 、DE交于点 O.ACNEMBDDBCAFEDECBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

13、纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 求证： (1) ABC AED ； (2) OB OE .2、. 已知：如图， B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC ，BE CF， B C求证： OA OD 两次全等作业： AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD的延长线上的一点。求证：BF=CFFDCBA1、 如图，D、 E、 F、 B在一条直线上AB=CD, B=D， BF=DE.求证：（ 1）AE=CF; （2）AE CF（3） AFE= CEF2、如图： A、E、F、B四点在一条直线上，AC CE ，BDDF，AE=B

14、F ，AC=BD 。求证： ACF BDEABCEFD3、如图， 在四边形ABCD中，E是AC上的一点， 1=2，3=4，求证 : 5=6654321EDCBA4、已知如图，E、F 在 BD上，且 AB CD ，BFDE ，AE CF求证： AC与 BD互相平分由 BFDF ，得 BE DF ABE CDF ， B D再证 AOB COD ，得 OA OC ， OB OD即 AC 、BD互相平分5、如图， 在四边形ABCD 中，AD BC ，ABC=90 DE AC于点 F，交 BC于点 G，交 AB的延长线于点E，且 AE=AC.求证： BG=FG直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰

15、RtABC中，C 90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于GAFCBDEGADFECBOCEBDAABEOFDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 求证：BDCG1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过 A，B两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程解：全等三角形为：ACD CBE 证明如下：由题意知

16、 CAD+ ACD=90 ，ACD+ BCE=90 ， CAD= BCE 在 ACD与 CBE中，ADC= CEB=90 CAD= BCE AC=BC ， ACD CBE （AAS ）2、如图， ABC 90，AB BC ，D 为 AC上一点，分别过 A、C作 BD的垂线，垂足分别为E、F求证： EF CFAE证 ABE BCF ，得 BE CF，AE BF ，EFBE BFCFAE3、在ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1) 当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；BEADDE；(2) 当直线MN绕点C旋转到图2 的位置时，

17、（ 1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明； 若不成立， 说明理由 .4、如图： BE AC ，CF AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（ 1）AM=AN ；（ 2）AM AN 。FBCAMNE1234作平行线1、已知 ABC ，AB=AC ，E、F 分别为 AB和 AC延长线上的点，且 BE=CF ，EF交 BC于 G 求证： EG=GF AFCGBE2、如图，在ABC中， AB=AC ，BD平分 ABC ，DE BD于 D，交 BC于点 E求证： CD=21BE证明：过点D作 DF AB交 BC于点 F BD平分 ABC ， 1=2 DF AB ， 1=3， 4=ABC 2=3，

18、DF=BF DE BD ， 2+DEF=90 o ， 3+5=90o DEF= 5 DF=EF AB=AC ， ABC= C 4=C，CD=DF CD=EF=BF ，即 CD=21BE 15432EFBDCAABCFDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 延长角平分线的垂线段1、如图，在 ABC中，AD平分 BAC ，CE AD于 E求证： ACE= B+ECD AFDCBE分析：注意到AD平分 BAC ，CE AD ，于是可延长C

19、E交AB于点 F，即可构造全等三角形证明：延长CE交 AB于点 FAD平分 BAC ， FAE= CAE CE AD ， FEA= CEA=90 o 在 FEA和 CEA中，FAE= CAE ，AE=AE ，FEA= CEA FEA CEA ACE= AFE AFE= B+ECD ， ACE= B+ECD 2、如图， ABC 中， BAC=90 度，AB=AC ，BD 是ABC的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线CE交 BA的延长线于F求证： BD=2CE FEDCBA3、如图： BAC=90 ， CE BE ，AB=AC ，BD是 ABC的平分线，求证：BD=2ECBCA

20、ED4、已知，如图34， ABC中， ABC=90 o ，AB=BC ，AE是 A的平分线， CD AE于 D求证： CD=21AECEBAD面积法例 1 如图 1，在 ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证 AB=AC.分析：根据已知可知AD是 BAC的平分线，可通过点D作 BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明 .证明：过点 D作 DE AB，DFAC ，垂足分别为E、F.因为 DA为 BAC的平分线，所以DE=DF.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页

21、，共 10 页 - - - - - - - - - - 又因为 AD平分 BC，所以 BD=CD ，所以 SABD=SACD，又 SABD=21AB DE ， SACD=21AC DF，所以 AB DE=AC DF，所以 AB=AC.2、如图所示 ,已知 D是等腰 ABC底边 BC上的一点 ,它到两腰 AB 、AC的距离分别为DE 、DF,CM AB,垂足为 M,请你探索一下线段DE 、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明 .EDCBAMF3、己知， ABC中， AB=AC ，CD AB ，垂足为D，P是 BC上任一点， PE AB ，PF AC垂足分别为E、F，求证： PE+PF=CD

22、. PE P F=CD.旋转型1、 如图，正方形 ABCD 的边长为 1， G为 CD边上一动点（点G与 C、D不重合），以 CG为一边向正方形ABCD 外作正方形 GCEF ，连接 DE交 BG的延长线于H。求证：BCG DCE BH DE2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC （1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明： DC BE 3、（1）如图 7，点 O是线段 AD的中点，分别以AO和 DO为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD ，

23、连结 AC和 BD，相交于点 E，连结 BC 求 AEB的大小；（2）如图 8，OAB固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O旋转 （ OAB和 OCD 不能重叠），求 AEB的大小 .4、如图， AEAB ，AD AC， AB=AE ，B= E ，求证：（ 1）BD=CE ；（ 2）BD CE 图 1图 2DCEABCBOD图 7AEFEDCABGPFEDCABGPDAHBAODCE图 8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - -

24、- - - - NMEFACBA证明：（ 1）AE AB ，AD AC BAE= CAD BAD= CAE 而 AB=AE ， B=E，ABD AEC BD=CE （2）由 ABD AEC知 B=E而 AGB= EGF ， EFG= EAB=90 ， BD CE5、如图所示，已知AE AB ，AFAC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（ 2）EC BF6、 正方形 ABCD中，E为 BC上的一点， F为 CD上的一点，BE+DF=EF ，求 EAF的度数 .FEDCBA7、D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。当M

25、DN绕点 D转动时，求证DE=DF 。若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。8、如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB于点 M ， 交 AC于点 N，连接 MN ，求AMN的周长。NMDCBA9 、 五边 形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDECEDBAABDEFC10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC= AED=90 ，求五边形ABCDE 的面积AEBMCF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -