《[VIP专享]极限和导数笔记本5181.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[VIP专享]极限和导数笔记本5181.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、三角函数一公式1.和差化积 4 个cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+coscossin(-)=sincos-sincos2.积化和差 4 个sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sinsin=-cos(+)-cos(-)/23.基本公式 8 个sin(2)=2sincoscos(2)=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 =sin/(1+cos)sin2+cos2=1sec=1/coscsc=1/sintan=
2、sin/coscot=cos/sintancot=1sincsc=1cossec=1二图像1 正弦函数2 余弦函数3 正切和余切正切和余切的性质由图象可得:y=tanx y=cotx 定义域 值域 R R 单调性 在上单增(kZ)在上单减(kZ)周期性 T=T=对称性 10 对称中心，奇函数(kZ)20 对称轴；无 10 对称中心，奇函数(kZ)20 对称轴；无 4.反三角函数 四种三角函数都是由 x 到 y 的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量 x 的范围，使之成为由 x 到 y 的对应.从方便的角度而言，这个 x 的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函
3、数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:1y=sinx,x的反函数记作 y=arcsinx,x-1,1，称为反正弦函数.y=cosx,x0,的反函数记作 y=arccosx,x-1,1，称为反余弦函数.y=tanx，x的反函数记作 y=arctanx,xR，称为反正切函数.y=cotx，x(0,)的反函数记作 y=arccotx,xR，称为反余切函数.2反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.注:（1）y=arcsinx,x-1,1图象的两个端点是（2）y=arccosx,x-1,1图象的两个端点是（1，0）和（-1，）.（3）y=arctan
4、x,xR 图象的两条渐近线是和.（4）y=arccotx,xR 图象的两条渐近线是 y=0 和 y=.5、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域-1,1-1,1 R R 值域 0,(0,)单调性 在-1，1上单增 在-1，1上单减 在 R 上单增 在 R 上单减 对称性 10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无 10对称中心非奇非偶 20对称轴；无 10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无 10对称中心非奇非偶 20对称轴；无 周期性 无 无 无 无 反三角公式1三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(
5、x)arccos(cosx)=x(x0,)arctan(tanx)=x(x)arccot(cotx)=x(x(0,)2反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x(x-1,1)cos(arccosx)=x(x-1,1)tan(arctanx)=x(xR)cot(arccotx)=x(xR)对数函数和指数函数一指数函数：定义：函数叫指数函数。yaaax01且定义域为R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数中的a必须。yaxaa01且因为若时，当a 0 yx 4时，函数值不存在。x 14，当，函数值不a 0yx 0 x 0存在。时，对一切x虽有意义，函数值恒为 1，但a 1yx 1的反函数不
6、存在，因为要求函数中的。yx 1yaxaa01且1、对三个指数函数的图象的认xxxyyy10，21，2识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有；ax 0（2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，时，；x 0y 1（3）在第一象限yyxx210，内的纵坐标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1，的图象正好相反；yx12（3）当时，a 1xaxaxx0101，则，则 当时，01axaxaxx0101，则，则（4）的图象自左yyxx210，到右逐渐上升，的图yx12象逐渐下降。（4）当时，是增函a 1yax数，当时，是减函数。01
7、ayax对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和yx 2相交于，当时，的图象在的图象的yx 10()01，x 0yx 10yx 2上方，当，刚好相反，故有及。x 01022210222与的图象关于y轴对称。yx 2yx12通过，三个函数图象，可以画出任yx 2yx 10yx12意一个函数（）的示意图，如的图象，yaxaa01且yx 3一定位于和两个图象的中间，且过点，从而yx 2yx 10()01，也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通yx13yx13过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。二对数函数：定义：如果，那么数b就叫做
8、以a为底aN aab()01且的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数bNa loglogaN式。）由于故中N必须大于 0。Nab 0logaN当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：（2）对数恒等式：由aNbNba()log()12将（2）代入（1）得aNaNlog运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。（3）对数的性质：负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于 1。（4）对数的运算法则：logloglogaaaMNMNMNR，logloglogaaaM
9、NMNMNR，logloganaNnNNRlogloganaNnNNR13、对数函数：定义：指数函数的反函数yaaax()01且yxa log叫做对数函数。x(,)01、对三个对数函数yxyxloglog212，的图象的认识。yx lg图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）时，。即x 1y 0；loga10（3），当yx log2yx lg时，图象在x轴上方，当x 1时，图象在x轴下方，00 x与上述情况刚好相反；yx log12（3）当时，若，则a 1x 1，若，则；y 001xy 0当时，若，则，01
10、ax 0y 0若时，则；01xy 0（4）从左向右yxyxloglg2，图象是上升，而从左yx log12向右图象是下降。（4）时，是增函a 1yxa log数；时，是减函数。01ayxa log4、对数换底公式：loglogloglog(.)logbaanegNNbL NNeNL NN其中 称为 的自然对数称为常数对数27182810由换底公式可得：L NNeNNnlglglg.lg043432303由换底公式推出一些常用的结论：（1）loglogloglogababbaba11或（2）loglogamanbmnb（3）loglogananbb（4）logamnamn三指数函数和对数函数的运
11、算法则1 对数的运算法则：logloglogaaaMNMNMNR，logloglogaaaMNMNMNR，logloganaNnNNRlogloganaNnNNR13.对数函数换底公式（1）loglogloglogababbaba11或（2）loglogamanbmnb（3）loglogananbb（4）logamnamn2 指数函数运算法则mnnmnmnmnmnmnmaaaaaaaaa)()(极限的四则运算法则定理 1：若，则存在，且BxgAxf)(lim,)(lim)()(limxgxf。BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim定理 2：若，则存在，且BxgAxf)(lim,
12、)(lim)()(limxgxf。BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim定理 3：若，则存在，且BxgAxf)(lim,)(lim)()(limxgxfABxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim定理 4：设，则。0)(lim,)(limBxgAxfBAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim推论 1：若存在，则（为常数）。)(limxf)(lim)(limxfcxcfc推论 2：若存在，则（为正整数）。)(limxfnnxfxf)(lim)(limn例子：。nnxxnxxxxx0limlim00推论 3：设为一多项式，当nnnnaxaxaxaxf1110)
13、(。)()(lim001101000 xfaxaxaxaxfnnnnxx例子：。baxbxabaxbaxxxxxxxxx00000limlimlim)(lim推论 4：设均为多项式，且，则)(),(xQxP0)(0 xQ。)()()()(lim000 xQxPxQxPxx1 若 且 ，则必存在（X-X0）这0)(0 xQ0)(xP)(),(xQxP个公因子，则提出公因子，进行运算。2 若 且 ，则。0)(0 xQ0)(xP0)()(lim0 xQxPxx3 若 且 ，则。0)(0 xQ0)(xP)()(lim0 xQxPxx推论 5:设为自然数，则nmba,0,000 。时当时当时当mnmnm
14、nbabxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6x定理 5，先变形：mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxbaxaxa1010110110limlim 时当时当时当mnbamnbamnba00000000000001000000两个重要的极限重要极限一:1sinlim0 xxx公式特征：（1）型极限，分子分母的极限都为 0。00 （2）分子是正弦函数，分子是趋于零的变量。（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。等价式：1sinlim0 xxx变型式：1 1)()(sin(lim0)(xfxfxf 2 1)(
15、sin()(lim0)(xfxfxf其它式：1tanlim0 xxx 1arcsinlim0 xxx 重要极限二：111limxxx 公式特征：（1）变量 X 其无穷大。（2）注意括号里的 1/X 和 X 是互为倒数关系。等价式：11lim10 xxx变型：1 1)(11lim)()(xfxfxf 2 1)(1lim)(10)(xfxfxf其它式：无穷小1 无穷小的定义：定义：如果x x0（或x ）时,函数f(x)的极限为零,那么把f(x)叫做当x x0（或x ）时的无穷小量，简称无穷小。2 注意部分：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数 f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。不要把绝
16、对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在 xx0（或 x）时，极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在 xx0（或x）时，极限是零。3.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。4 无穷小的定理:定理 1：设，则定理 2：设,且存在，则,lim=lim lim5 无穷小的比较 无穷小量阶的定义,设.lim()0,lim()0 xx(1)若,则
17、称是比高阶的无穷小量.()lim0()xx()x)x（(2).()lim,()()xxxx 若则是比（低阶的无穷小量(3)是同阶无穷小量.()lim(0),()()xc cxxx若则称与（(4),记为.()lim1,()()xxxx若则称与（是等价的无穷小量()()xx(5)()lim(0),0,()()kxc ckxxkx若则称是（的阶无穷小量6 无穷小的等价当 x0 时，三角函数sinxx ；arcsinxx tanxx ；arctanxx 1-cosx x2 ；secx-1x21212指数和对数函数 ；ln(+1)1 ；-1xlog(+1)ln ln 幂函数；（1+)11+1 ；121+
18、231+37 等价无穷小的总结若未定式中的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不改变原式的极限，但是不能滥用等价无穷小代换，对于代数和中各个无穷小不能分别代换。函数的连续性1函数的增量定义：在函数 y=f(x)中，当 x 由 x0（初值）变化到 x1（终值）时，终值与初值之差 x1-x0叫做自变量的增量（或改变量），记为 x=x1-x0.相应的，函数终值 f(x)与初值 f(x0)之差 y，叫做函数的增量。注意：增量 x 可正、可负；增量 y 可正、可负或为零。2函数 y=f(x)在 x0的连续性当 x0 时，y0。当 x0 时，y 不趋向于零
19、。定义：设函数 y=f(x)在点 x0及其近旁有定义，如果当自变量 x 在点 x0处的增量 x 趋近于零时，函数 y=f(x)相应的增量也趋近于零，那么就叫做函数 y=f(x)()(00 xfxxfy在点 x0连续。用极限表示，就是0lim0yx或0)()(000limxfxxfx定义 2：设函数 y=f(x)在点 x0及其左右近旁有定义，如果函数 y=f(x)当 x1x0时的极限存在，且等于它在 x0处的函数值 f(x0),即)()(0lim0 xfxfxx那么就称函数 f(x)在点 x0处连续。函数 f(x)在点 x0处连续必须满足三个条件：函数 f(x)在点 x0及其左右近旁有定义；存在
20、；)(lim0 xfxx)()(0lim0 xfxfxx例 5 试证函数，在 x0 处连续。0,1sin0,0)(xxxxxf证明：函数在 x0 及其左右近旁有定义)(xf f(0)=0 01sinlim0 xxx)0()(lim0fxfx函数在 x0 处连续。)(xf3函数 y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数在区间(a，b内有定义，如果左极限)(xf存在且等于，即，就说函数在)(limxfbx)(bf)(limxfbx)(bf)(xf点 b 左连续。设函数在区间a，b）内有定义，如果左极限)(xf存在且等于，即，就说函数在)(limxfax)(af)(limxfax)(af)(xf点
21、 a 右连续。定理：函数在点 x0处连续在点 x0处既左连续又右)(xf)(xf连续)()()(000 xfxfxf在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4复合函数的连续性设函数在点 处连续，函数在点 处连续，)(ufy 0u)(xu0 x且，则复合函数在点 处连续，即)(00 xu xfy0 x xxxxxfxfxflimlim000例 6 求xxax1loglim0解：原式xaxx101loglimaaeealn1lnlnlog可以推出：当时，0 xxa1logaxln152 函数的间断点 函数在
22、 点连续必须满足三个条件，如果这三个)(xf0 x条件有一个不满足，则称在 点不连续（或间断），并)(xf0 x称 点为的不连续点或者间断点。0 x)(xf间断点的分类：第一类间断点：，但，或 00 xfxf 000 xfxfxf者无意义。0 xf 00 xfxf不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。1.5.3 闭区间上连续函数的性质性质 1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。注意：若区间是开区间，定理不一定成立。若区间内有间断点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质 2 如果函数在上连续，且0，)(xfba,)(bfaf那么至少存在一点(a,b)
23、，使得。0f对于方程0，若满足性质 2 中的条件，则方程在)(xf(a,b)内至少存在一个实根，又称为函数的零点。)(xf例 7 证明方程在区间（0，1）内至少有一01423 xx个根。证明：设，在上是连续的，又因为)(xf1423 xx)(xf 1,010 20)0(f)1(f根据性质 2，至少存在一点（0，1），使 0f即 01423从而证得方程在区间（0，1）内至少有一个根。01423 xx判断命题是否正确：如果函数在上有定义，在(a,b)(xfba,内连续，且0，那么 在(a,b)内必有零点。)(bfaf)(xf解答：不正确。例如函数在（0，1）内连续，2e0，但在)(xf)0(f)1
24、(f)(xf（0，1）内无零点。闭区间上连续函数的基本性质定义 1 设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在，Dx 0使得对一切有Dx 0 ，)f(x)f(x ()()(00 xfxf则称 f 在 D 上有最大（最小值）值，并称为 f 在)(0 xfD 上的最大（最小值）值.,01()2,0exf xx定理 4.6(最大最小值定理)若函数在闭区间)(xf上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。,ba)(xf,ba推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则)(xf,ba在闭区间 上有界。)(xf,ba定理 4.7(介值性定理)若函数在闭区间上连)(xf,ba续，且，若 为介于之间的任何实数（)(
25、)(bfaf)()(bfaf与或）,则在开区间内至少存在)()(bfaf)()(afbf),(ba一点，使得.0 x)(0 xf 推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连)(xf,ba续，且异号，则至少存在一点使得.)(,)(bfaf),(0bax 0)(0 xf即在内至少有一个实根.)(xf),(baacf(b)f(a)x0b00 x应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若 在区间a,b上连续且不是常量函数,则值域也是一f)(If个区间；特别若 为区间a,b,在a,b上的最大值为,最IfM小值为，则；又若 为a,b上的增（减）连m,),(Mmbaff续函数且不为常数，则)(,)()()
26、,(),(afbfbfafbaf例 4 设 在a,b连续，满足f ,),(babaf（5）证明：存在，使得 ,0bax 00)(xxf（6）证 条件（5）意味着：对任何有，特别,0bax bxfa)(有 以及 .)(afa)(bfb 若或，则取，从而（6）式成立。现)(afa)(bfb bax 0或设与。令)(afa)(bfb，xxfxF)()(则，.有根的存在性定理，存0)()(aafaF0)()(bbfbF在，使得即.),(0bax 0)(0 xF00)(xxf 反函数的连续性定理 4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间)(xf严格递增（递减）且,ba连续，则其反函数在相应的定义域（)(1
27、yf)(),(bfaf）上递增（递)(),(afbf减）且连续。证明（只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。)(),(bfaf设，且)(),(0bfafy)(010yfx则，对任给的可在的两),(0bax 00 x侧各取异于的两点（），0 x21,xx201xxx使它们与的距离小于（参见右图）.0 x设，由函数的严)(,)(2211xfyxfy格递增性，必分别落在的两侧，即21,yy0y当 .令，201yyy),min(1002yyyy则当时，对应的的值必落在之间，从);(0yUy)(1yfx21,xx而.|0 xx应用单侧极限的定义，同样可证在区
28、间端点也)(1yfx是连续的。例 5 由于在区间上严格单调且连续，故反xysin2,2函数在区间-1，1上连续。xyarcsin同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数 在其定义域内是连续的。arcctgxarctgxx,arccosx1 x0 x2 a0y2yf(b)f(a)例 6 由于（为正整数）在严格上单调且nxy n),0连续，所以它的反函数在上连续。又若把nxy1),0（为正整数）看作由 与的复合，。综上nxy1 nnuy1xu1可知，（q 为非零整数）其定义域内是连续的。qxy1例 7 证明：有理幂函数在其定义区间上连续.xy 证明：设有理数，这里为整数。因为qp)0(,qp与均
29、在其定义区间上连续，所以复合函数 qxy1pxy 也是其定义区间上的连续函数。xxyqp1)(第八节 函数的连续性与间断点教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学过程：一、函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量 xfy 0 xx0 xxx的增量，而叫函数 的增量x 00 xfxxfyy定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果 xfy 0 x当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量0 xxx也趋于零，那么就称函数在点连 00 xfxxfy xf
30、y 0 x续它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域 xfy 0 x内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在 xf0 xx 点处的函数值，即，那么就称函数0 x 0 xf 00limxfxfxx在点连续 xfy 0 x下面给出左连续及右连续的概念如果存在且等于，即，0lim000 xfxfxx 0 xf 000 xfxf就说函数在点左连续如果存在且等 xf0 x 0lim000 xfxfxx于，即，就说函数在点右连续 0 xf 000 xfxf xf0 x在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点
31、连续是指右连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线二、函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，xf0 x如果函数有下列三种情形之一：xf1在没有定义；0 xx 2虽在有定义，但不存在；0 xx xfxx0lim3虽在有定义，且存在，但；0 xx xfxx0lim 00limxfxfxx则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续 xf0 x0 x xf点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，1x给出间断点的分类：在连续 在间1x1x断，极限为 21xyx11211 xyyx1121112xxy1111xxxy，yx1121111xxxxy，yx1121y 在 间断x1
32、11xy。，11lim11xxx 在间断，极限为 2 在间断，1x1x1x左1x极限为 2，右极限为 1在间断，极限不存在0 x0 x像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一0 xxy1sin类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称21 y1x作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函0 x数的间断点，但左极限及右极限都存在，xf00 xf00 xf那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的0 x xf任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称
33、为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点例 1确定 a、b 使0,1sin0,0,sin)(xbxxxaxxxxf在0 x处连续解：)(xf在0 x处连续)(lim0 xfx)(lim0 xfx)0(f因为bbxxxfxx1sinlim)(lim00；1sinlim)(lim00 xxxfxx；af)0(所以1 ba时，)(xf在0 x处连续例 2求下列函数的间断点并进行分类1、11)(2xxxf分析：函数在1x处没有定义，所以考察该点的极限解：因为 2)1(lim11lim121xxxxx，但)(xf在1x处没有定义所以 1x是第一类可去间断点2、.0,1
34、,0,1sin)(xxxxxf分析：0 x是分段函数的分段点，考察该点的极限解：因为 01sinlim0 xxx，而1)0(f所以 0 x是第一类可去间断点总结：只要改变或重新定义)(xf在0 x处的值，使它等于)(lim0 xfxx，就可使函数在可去间断点0 x处连续3、.0,1,0,1)(xxxxxf分析：0 x是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限解：因为 1)1(lim)(lim00 xxfxx；1)1(lim)(lim00 xxfxx所以 0 x是第一类跳跃间断点4、xxf1arctan)(分析：函数在0 x处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单
35、侧极限解：因为 21arctanlim)(lim00 xxfxx；21arctanlim)(lim00 xxfxx所以 0 x是第一类跳跃间断点5、xexf1)(解：因为 xxxexf100lim)(lim所以 0 x是第二类无穷间断点6、xxf1sin)(解：xxfxx1sinlim)(lim00 极限不存在所以 0 x是第二类振荡间断点7、求xxxfsin)(的间断点，并将其分类解：间断点：),2,1,0(kkx当0 x时，因1sinlim0 xxx，故0 x是可去间断点当),2,1(kkx时，因xxkxsinlim，故),2,1(kkx是无穷间断点小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断
36、点的分类1、求nnxxxf211lim)(分析：通过极限运算，得到一个关于 x 的函数，找出分段点，判断.1,01,11,011,1)(xxxxxxf解：因为00lim)(lim11xxxf；2)1(lim)(lim11xxfxx所以1x是第一类跳跃间断点因为0)1(lim)(lim11xxfxx；00lim)(lim11xxxf；0)1(f所以1x是连续点重点：分段函数函数在分界点 x0处间断的判定。难点：函数的间断点的判定。函数的间断点如果函数在点 处不连续，则称在点 处间断，点)(xf0 x)(xf0 x叫做的间断点。0 x)(xf函数在点 处连续，必须同时满足三个条件：0 x （1）在
37、点 及其附近有定义；0 x（2）极限存在；)(lim0 xfxx（3）。)()(lim00 xfxfxx如果上述三个条件中至少有一个条件不满足，则点 叫是函0 x数的间断点。)(xf如何寻找函数的间断点？一般来说，初等函数无意义的点是间断点；分段函数的分段点可能是间断点。例 2 讨论函数在点处的连续性。12)(2xxxxf1x解 因为函数在点没有定义，故此函数在12)(2xxxxf1x处不连续。所以，是函数的间断点。1x1x=3，如果补充定义：令，则所给函数在处)(lim1xfx3)1(f1x连续。所以称为该函数的可去间断点。1x例 3 讨论函数xxf1sin)(在点处的连续性。0 x解 因为
38、函数xxf1sin)(在点无定义；当0 x0 时，x图 1-17函数值在-1 与 1 之间振荡（图），所以点称为函数0 x的振荡间断点。xxf1sin)(例 4 判断函数在点处的连续性。00,1,1)(xxxxxf0 x解 显然函数00,1,1)(xxxxxf在点及其附近有定义，又0 x =)(lim0 xfx1)1(lim0 xx=。)(lim0 xfx1)1(lim0 xx所以，不存在。因函数)(lim0 xfx)(xfy 的图形在处产生跳跃现象，0 x我们称为函数跳跃间断点。0 x)(xf例 5 判断函数在点处的连续性。0,10,1sin)(xxxxxf0 x解 显然函数在点点及其附近有
39、定义，0,10,1sin)(xxxxxf0 x又=，,)(lim0 xfx01sinlim0 xxx1)0(f因为。所以函数在点处间断。)0()(lim0fxfx)(xf0 x但如果修改函数在处的定义：令，则在)(xf0 x0)0(f)(xf处连续。所以称为该函数的可去间断点。0 x0 x上面列举了一些间断点的例子。通常我们把间断点分成两类：如果 是函数的间断点，且左极限及右极限0 x)(xf)(lim0 xfxx都存在，那么 称为函数的第一类间断点。不是第)(lim0 xfxx0 x)(xf图 1-18一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。上面例 2、例 4、例 5 中间断点是第一类间断点，其中例 2 和例 5 是可去间断点；例 3 是第二类间断点。