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1、第 1 页 2013 高中文科数学知识点（函数）一、函数的概念：1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
2、求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1；(5)指数为零，底不可以等于零；(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.三、值域的求法:1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；第 2 页(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的
3、常用方法：(1)观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2)配方法：(二次或四次)转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常 转 化 为 含 有 自 变 量 的 平 方 式 与 常 数 的 和，型 如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3)换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4)分离常数法：对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。(5)判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
4、a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0 时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。(6)最值法：对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值 f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数 y 的值域。四、解析式的求法：1.待定系数法：已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足第 3 页 的方程时，常用待定系数法。2.函数性质法：如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。3.图象变换法：若给出函
5、数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。4.换元法：5.配凑法：6.赋值（式）法：五、函数图象：1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上.2.画法：（1）描点法：（2）图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换 3.区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区
6、间的数轴表示 六、函数的单调性：第 4 页 1.定义：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质 2.图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有
7、(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法：(1)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）(2)图象法(从图象上看升降)(3)导数法（导数大于 0，在对应区间递增；导数小于 0，在区间递减）4.函数单调性的常用结论：（复合函数单调性）(1)若(),()f xg x均为某区间上的增（减）函数，则()()f xg x在这个区间上也为增（减
8、）函数；(2)若()f x为增（减）函数，则()f x为减（增）函数；(3)若()f x与()g x的单调性相同，则()yf g x是增函数；若()f x与()g x第 5 页 的单调性不同，则()yf g x是减函数；其规律：“同增异减”(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1.定义：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫
9、做偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 2.具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 3.判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数 八、函数的周期性：1定义：一般地，对于函数()f x，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有(T
10、)()f xf x，那么函数()f x就叫做周期第 6 页 函数，非零常数 T 叫做函数的周期。2函数周期性的性质：（1）对于非零常数 A，若函数()yf x满足(A)()f xf x，则函数()yf x必有一个周期为 2A。（2）对于非零常数 A，函数()yf x满足1(A)()f xf x，则函数()yf x的一个周期为 2A。（3）对于非零常数 A，函数()yf x满足1()()f xf x，则函数()yf x的一个周期为 2A。九、二次函数：1.一般式：0,)(2acbxaxxf 2.顶点式：0,)()(2anmxaxf 3.零点式：0),)()(21axxxxaxf 十、反比例函数：
11、形如0,kxky的函数 十一、“对号”函数：形如0,baxbaxy的函数 1.一般地，对于函数0,baxbaxy（）当0,0ba时，函数在),(ab及),(ab上为增函数，在)0,(ab及),0(ab上 为 减 函 数 函 数 的 值 域 是),22,(abab （）当0,0ba时，函数在)0,(及),0(上都是增函数，值域为),(十二、指数函数：1.根式的概念：如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n第 7 页 是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根
12、 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a 2.根式的性质：当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)|(0)nnaaaaaa 3.分数指数幂的概念：规定：1）)(Nnaaaann；2）)0(10aa；n 个 3）)(1Qpaapp 正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 4.分数指数幂的运算性质：()(0,0,)rrraba b abr
13、R（注）上述性质对 r、sR 均适用。5.指数函数：函 数 名称 指数函数 定义 函数(0 xyaa且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a xay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 第 8 页 定义域 R 值域(0,)过定点 图象过定点(0,1)，即当0 x 时，1y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax a变化 对图象 的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 十三、对数函数：1.对数：定义：如果)1,0(aaa且的b
14、次幂等于 N，就是Nab，那么数b称以a为底 N 的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N 称真数 1）以 10 为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln 基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；第 9 页 2）对数恒等式：log 10a，log1aa，NaNalog，logbaab 3）对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN 运算性质：如果0,1,0,0aaMN，那么 1）加法：logloglog()aaaMNMN 2）减法：logloglogaaaMMNN 3）数乘：
15、loglog()naanMMnR 4）换底公式：)0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma；2.对数函数：函数名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定 义域(0,)值域 R 过 定点 图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y xyO(1,0)1x logayxxyO(1,0)1x logayx第 10 页 奇 偶性 非奇非偶 单 调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx
16、 a变化 对 图象 的 影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 十四、幂函数：1.幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数 如第 11 页 果0，则幂函数的图象在(0
17、,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中,p q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数 图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方 十五、反函数：1.定义：一般地，对于函数y)(xf，设它的定义域为 D，值域为 A。如果对于 A 中的任意一个值y，在 D 中总有惟一确定的
18、x值与它对应，使()yf x，这样得到x关于y的函数叫函数y)(xf的反函数。记作x)(1yf。习惯上，把它改写为y)(1xf)(Ax。2.求反函数的基本步骤：（1）求值域：求原函数的值域（2）反解：视 y 为常量，从 yf x中解出唯一表达式 1xfy，（3）对换：将x与y互换，得 1yfx，并注明定义域。3.反函数 1yfx与原函数 yf x的关系：（1）1yfx的定义域、值域分别为 yf x的值域、定义域。（2）若 yf x存在反函数，且 yf x为奇函数，则 1yfx也为奇函数。（3）若 yf x为单调函数，则 1yfx同 yf x有相同的单调性。（4）yf x和 1yfx在同一直角坐标系中，图像关于yx对称。第 12 页 4.存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）十六、恒成立问题与存在性问题：