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1、2021高中文科数学学问点函数一、函数的概念：1. 函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： (x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、对应关系、值域.2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要根据是：(1)分式的分母不等于零
2、； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1；(5) 指数为零，底不行以等于零；(6) 假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.三、值域的求法: 其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算而得函数的值域2.函数值域的常用方法：(1)视察法：通过对函数定义域、性质的视察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2)配方法：(二次或四次)
3、 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式及常数的和，型如：的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3)换元法：代数换元法通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4)别离常数法：对某些分式函数，可通过别离常数法，化成局部分式来求值域。 (5)判别式法：假设函数x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程ayx2+ byy=0，那么在ay0时，由于x、y为实数，故必需有2y4aycy0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。(6)最值法：对于闭区间上的连续函数(x),可求出
4、(x)在区间内的极值，并及边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。四、解析式的求法：1. 待定系数法：函数图象，确定函数解析式，或函数的类型且函数满意的方程时，常用待定系数法。2. 函数性质法：假如题目中给出函数的某些性质如奇偶性、周期性，那么可利用这些性质求出解析式。 3. 图象变换法：假设给出函数图象的改变过程，要求确定图象所对应的函数解析式，那么可用图象变换法。 4. 换元法：5. 配凑法：6. 赋值式法：五、函数图象：1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 (x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 (x),(x A
5、)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满意函数关系(x)，反过来，以满意(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 2.画法：1描点法：2图象变换法：常用变换方法有三种： 平移变换、伸缩变换、对称变换1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间2无穷区间3区间的数轴表示六、函数的单调性：1. 定义：设函数(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)D称为(x)的单调增区间.假如对于区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)D称为(x)的单调减区间.
6、留意：函数的单调性是函数的部分性质2. 图象的特点：假如函数(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3. 函数单调区间及单调性的断定方法：(1)定义法： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形通常是因式分解和配方； 定号即推断差f(x1)f(x2)的正负； 下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性(2)图象法(从图象上看升降)(3)导数法导数大于0，在对应区间递增；导数小于0，在区间递减4.函数单调性的常用结论：复合函数单调性(1)假设均为某区间上
7、的增减函数，那么在这个区间上也为增减函数；(2)假设为增减函数，那么为减增函数；(3)假设及的单调性一样，那么是增函数；假设及的单调性不同，那么是减函数；其规律：“同增异减(4)奇函数在对称区间上的单调性一样，偶函数在对称区间上的单调性相反；(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域及最值、解不等式、证不等式、作函数图象；(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性一样的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1. 定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)(x)，那么f(x)就叫做偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)=f(x
8、)，那么f(x)就叫做奇函数2. 具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称3. 推断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称；确定f(x)及f(x)的关系；作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是奇函数八、函数的周期性：1定义：一般地，对于函数，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。2函数周期性的性质：1对于非零常数A，假设函数满意，那
9、么函数必有一个周期为2A。2对于非零常数A，函数满意，那么函数的一个周期为2A。3对于非零常数A，函数满意，那么函数的一个周期为2A。九、二次函数：1. 一般式：2. 顶点式：3. 零点式：十、反比例函数：形如的函数十一、“对号函数：形如的函数1. 一般地，对于函数当时，函数在及上为增函数，在及上为减函数函数的值域是当时，函数在及上都是增函数，值域为十二、指数函数：1. 根式的概念：假如，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为随意实数
10、；当为偶数时，2. 根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， 3. 分数指数幂的概念：规定：1 ； 2； n个3正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义 留意口诀：底数取倒数，指数取相反数4. 分数指数幂的运算性质： 注上述性质对r、R均适用。5. 指数函数：函数名称0101指数函数定义函数且叫做指数函数图象 定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低十三、对数函数：1. 对数：定义：假如的b次幂等于N，就
11、是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数1以10为底的对数称常用对数，记作；2以无理数为底的对数称自然对数，记作根本性质：1真数N为正数负数和零无对数；2对数恒等式：，3对数式及指数式的互化：运算性质：假如，那么1加法：2减法：3数乘：4换底公式：； 2. 对数函数：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高十四、幂函数：1. 幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数2. 幂函数的图象3
12、. 幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：假如，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数假如，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴及轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当其中互质，和，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数图象特征：幂函
13、数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设，其图象在直线下方十五、反函数：1. 定义：一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A。假如对于A中的随意一个值，在D中总有惟一确定的值及它对应，使，这样得到关于的函数叫函数的反函数。记作。习惯上，把它改写为。2. 求反函数的根本步骤：1求值域：求原函数的值域2反解：视y为常量，从中解出唯一表达式，3对换：将及互换，得，并注明定义域。3. 反函数及原函数的关系：1的定义域、值域分别为的值域、定义域。2假设存在反函数，且为奇函数，那么也为奇函数。3假设为单调函数，那么同有一样的单调性。4和在同始终角坐标系中，图像关于对称。4. 存在反函数的条件是：函数为单调函数或一一对应十六、恒成立问题及存在性问题：