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1、2020-2021学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4分）抛物线的顶点坐标是ABCD2（4分）在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为A9.8米B9.2米C8.2米D2.3米3（4分）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为ABCD4（4分）下列事件中是必然事件的有A抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上B三角形内心到三边距离相等C测量宁波某天的最低气温，结果为D某个数的绝对值大于05（4分），的大小关系是ABCD6（4分）如图，在中
2、，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD7（4分）已知中，点为边的中点，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，则半径的取值范围是ABCD8（4分）如图，在中，以的中点为圆心的圆弧分别与、相切于点、，则图中阴影部分的周长是ABCD9（4分）如图，在中，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，设，图中阴影部分面积，在整个运动过程中，函数值随的变化而变化的情况是A一直减小B一直增大C先减小后增大D先增大后减小10（4分）一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图2中、两种方式放置，设中的阴
3、影部分面积为；中的阴影部分面积为，当时，则矩形的两边之比为A2BCD二、填空题（每小题5分，共30分）11（5分）在中，则的值为12（5分）小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为13（5分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点、，量出半径，弦，则直尺的宽度14（5分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：012341052125，两点都在该函数的图象上，若，则的值为15（5分）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线
4、与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为16（5分）如图，正六边形中，分别是边和上的点，则线段长三、解答题（第17题6分，18题8分，第19，20，21，22题每题10分，第23题12分，第24题14分共80分）17（6分）计算：18（8分）在的方格中，的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图（1）在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形；（2）在图2中把线段分成三条相等的线段，点，都在线上只能用无刻度的直尺作直线；保留作图痕迹）19（10分）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线（1）求新抛物线的表达式；（2）如
5、图，将沿轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点与其对应点的距离20（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动（1）若，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度21（10分）在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午10分钟内进入校门口的累积人数变化情况，结果如表：时间（分钟）0246810累计人数（人03606408409601000（1）请用适当的函数描
6、述这10分钟内进入校门口人数的变化规律，写出与之间的函数解析式；（2）如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有6个测温组，每个测温组每分钟测温20人，设第分钟时的排队人数为，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？22（10分）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息（1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）；（2）图为的网格图，它可表示不同信息的总个数
7、为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园同出入证”，准备在证件的右下角采用的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共506人，则的最小值为23（12分）已知内接于，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记（1）如图1，若；直接写出的值为；当的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2若，求的长24（14分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形（1）已知，请直接写出一个的值，使四边形为幸福四边形；（2）如图1，中，、分别是边，上的点，求证：四边形为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过，三点作，与边交于另一点，与边交于点，且求证
8、：是的直径；连接，若，求的长和幸福四边形的周长2020-2021学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4分）抛物线的顶点坐标是ABCD【分析】根据抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决【解答】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为，故选：2（4分）在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为A9.8米B9.2米C8.2米D2.3米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的
9、两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可【解答】解：设树高为米，所以，解得：答：这棵树的高度为9.2米故选：3（4分）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为ABCD【分析】先利用切线的性质得，则可计算出，再利用等腰三角形的性质得到，然后根据圆周角定理得的度数【解答】解：是的切线，故选：4（4分）下列事件中是必然事件的有A抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上B三角形内心到三边距离相等C测量宁波某天的最低气温，结果为D某个数的绝对值大于0【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案【解答】解：、抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上，是随机事件；、三角形内心到三
10、边距离相等，是必然事件；、测量宁波某天的最低气温，结果为，是不可能事件；、某个数的绝对值大于0，是随机事件；故选：5（4分），的大小关系是ABCD【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知，又，正弦值随着角的增大而增大，故选：6（4分）如图，在中，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、阴影部分的三角形与原三角
11、形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：7（4分）已知中，点为边的中点，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，则半径的取值范围是ABCD【分析】点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内【解答】解：由，以点为圆心，长度为半径画圆，使得点，在内，点在外，得，故选：8（4分）如图，在中，以的中点为圆心的圆弧分别与、相切于点、，则图中阴影部分的周长是ABCD【分析】求出、的长，以及弧的长即可求出阴影部分的周长，根据切线的性质，平行线等分
12、线段定理可求出、，以及弧的半径和相应的圆心角度数，根据弧长公式求出弧的长度即可【解答】解：连接、，以的中点为圆心的圆弧分别与、相切于点、，且，又，四边形是正方形，又点是的中点，阴影部分的周长为，故选：9（4分）如图，在中，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，设，图中阴影部分面积，在整个运动过程中，函数值随的变化而变化的情况是A一直减小B一直增大C先减小后增大D先增大后减小【分析】设，边上的高为，想办法求出、，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【解答】解：在中，设，边上的高为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大故选：10（4分）
13、一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图2中、两种方式放置，设中的阴影部分面积为；中的阴影部分面积为，当时，则矩形的两边之比为A2BCD【分析】由面积关系可求，由相似三角形的性质可求解【解答】解：如图，由图1，可得，由图2，由图2，故选：二、填空题（每小题5分，共30分）11（5分）在中，则的值为【分析】根据正切的定义计算，得到答案【解答】解：在中，则，故答案为：12（5分）小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概
14、率的公式【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，故答案为：13（5分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点、，量出半径，弦，则直尺的宽度【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得出的长，再由勾股定理即可得出的长【解答】解：过点作，垂足为，过圆心，故答案为：14（5分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：012341052125，两点都在该函数的图象上，若，则的值为1【分析】根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线，由于，所以，是抛物线上的对称点，则，然后解方
15、程即可【解答】解：时，；时，抛物线的对称轴为直线，两点都在该函数的图象上，解得故答案为115（5分）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为8【分析】连接，取的中点，连接，过点作于首先证明点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的，设交于求出的长，当点与重合时，的面积最小【解答】解：连接，取的中点，连接，过点作于，如图所示：，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的，设交于，直线与轴、轴分别交于点、，即，当点与重合时，的面积最小，的面积最小值，故答案为816（5分）如图，正六边形中，分别是边和上的点，则线段长【分析】作，交
16、于点，交于点，可得四边形是平行四边形，根据六边形是正六边形，可得是等边三角形，然后证明，对应边成比例即可解决问题【解答】解：如图，作，交于点，交于点，四边形是平行四边形，六边形是正六边形，是等边三角形，故答案为：三、解答题（第17题6分，18题8分，第19，20，21，22题每题10分，第23题12分，第24题14分共80分）17（6分）计算：【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答【解答】解：18（8分）在的方格中，的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图（1）在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形；（2）在图2中把线段分成三条相等的线段，点，
17、都在线上只能用无刻度的直尺作直线；保留作图痕迹）【分析】（1）根据网格即可在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形；（2）根据网格，在图2中在线上找到点，即可【解答】解：（1）如图1，三角形即为所求；（2）如图2，点，即为所求19（10分）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线（1）求新抛物线的表达式；（2）如图，将沿轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点与其对应点的距离【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答；（2）把代入抛物线求得相应的的值，即可求得点的坐标，根据平移的性质，线段的长度即为所求【解答】解：（1）将抛物线向左平移
18、2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线的表达式是：，即；（2）由平移的性质知，点与点的纵坐标相等，所以将代入抛物线，得，则或（舍去）所以，根据平移的性质知：，即点与其对应点的距离为4个单位20（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动（1）若，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度【分析】（1）延长交直线于点，过点作直线于点，在中，利用三角形内角和定理、30度角所对的直角边等于
19、斜边的一半及勾股定理可求出和的长，进而可求出的长，由，可得出，再利用相似三角形的性质可求出的长；（2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得出，再结合（2）中的度数即可求出旋转的角度【解答】解：（1）延长交直线于点，过点作直线于点，如图3所示在中，即，若，点到直线的距离为（2）依题意画出图形，如图4所示在中，旋转的角度21（10分）在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午10分钟内进入校门口的累积人数变化情况，结果如表：时间（分钟）0246810累计人数（人03606408409601000（1）请用适当的函数描述这10分钟内进入校门口人
20、数的变化规律，写出与之间的函数解析式；（2）如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有6个测温组，每个测温组每分钟测温20人，设第分钟时的排队人数为，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？【分析】（1）由表格中的数据可知，可以用二次函数描述这10分钟内进入校门口人数的变化规律取三组数据求得函数解析式，再将其余数据代入解析式进行验证即可；（2）用10分钟内进入校门口的累积人数减去6个测温组每分钟测温的人数，得出关于的函数关系式，再将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）由表格中的数据可知，可以用二次函数描述这10分钟内进入校门口人数的变化规律当时，符合函数，设，把
21、，；，分别代入得：，解得，验证：将代入，得；将代入，得；将代入，得；与之间的函数解析式为；（2）由题意得：，当时，最大，最大值为160第4分钟时等候测温排队总人数最多，最多有160人22（10分）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息（1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）；（2）图为的网格图，它可表示不同信息的总个数为16；（3）某校需要给每位师生制作一张“校
22、园同出入证”，准备在证件的右下角采用的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共506人，则的最小值为【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案【解答】解：（1）画树状图如下：共有4种等可能结果，图可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图得：当时，由图得：当时，时，的最小值为3，故答案为：323（12分）已知内接于，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记（1）如图1，若；直接写出的值为；当的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2若，求的长【分
23、析】（1）由切线的性质得：，证明是等边三角形，得，根据三角形的内角和定理证明，可知是的直径，由圆周角，弧，弦的关系得，说明是含30度的直角三角形，可解答；根据阴影部分的面积代入可得结论；（2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，则，先证明，得，由已知得的长【解答】解：（1）如图1，连接，是的切线，是等边三角形，平分，是的直径，故答案为：；的半径为4，阴影部分的面积为：；故答案为：；（2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，则，与相切，平分，四边形内接于，在和中，24（14分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形（1）已知，请直接写出一个的值或或或（写一个即可），
24、使四边形为幸福四边形；（2）如图1，中，、分别是边，上的点，求证：四边形为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过，三点作，与边交于另一点，与边交于点，且求证：是的直径；连接，若，求的长和幸福四边形的周长【分析】（1）先根据四边形的内角和为表示的度数，根据幸福四边形的定义分8种情况列方程可得结论；（2）根据条件证明，由幸福四边形的定义可得结论；（3）根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质得：，由三角形的内角和定理可得，最后由圆周角定理可得结论；如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明，根据勾股定理和相似三角形的性质计算，的长，从而可得结论【解答】（1）解：，若，则，解得：（舍，若，则，解得：，若，则，解得：，若，则，解得：，若，则，无解，若，则，解得：，若，则，无解，若，则，解得：，综上，的值是或或或（写一个即可），故答案为：或或或（写一个即可）；（2）证明：如图1，设，则，在四边形中，四边形为幸福四边形；（3）证明：如图2，、四点都在上，即，是的直径；如图3，过作于，连接，是的直径，是等腰直角三角形，即，幸福四边形的周长声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/15 22:52:23；用户：朱志胜；邮箱：jdzx35；学号：39638726第31页（共31页）