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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 4.5 简单的三角恒等变换1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。2会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。3能运用上述公式进行简单的恒等变换。知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()cos cos sinsin C()cos()coscos sinsinS()sin()sincos cossinS()sin()sin cos cossinT()tan()tan tan 1tan tan；变形：tan tan tan(
2、)(1tan tan )T()tan()tan tan 1tan tan；变形：tan tan tan()(1tan tan )知识点二二倍角公式S2sin 2 2sin_ cos_；变形：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2C2cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；变形：cos2 1cos 22，sin2 1cos 22T2tan 2 2tan 1tan2考点一三角函数式的化简求值【典例 1】（江西省临川第一中学2019 届模拟）2cos2 12tan4sin24_。【解析】原式cos 22tan4cos24cos 22sin4cos4
3、cos 2sin2 2cos 2cos 2 1.【答案】1【方法技巧】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号2三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立3三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式(2)二看“名”，看函
4、数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等【变式 1】(2019 辽宁抚顺一中模拟)化简：2cos4x2cos2x122tan4x sin24x_。【解析】原式12（4cos4x4cos2x1）2sin4xcos4x cos24 x2cos2x 124sin4x cos4xcos22x2sin22xcos22x2cos2x12cos2x.【答案】12cos2x考点二三角函数的给值求值(角)【典例 2】【2019 年高考江苏卷】已知ta
5、n23tan4，则sin 24的值是。【答案】210【解析】由tan1tantantan2tan1tan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得tan2，或1tan3.sin2sin 2coscos2sin4442222222sincoscossinsin2cos2=22sincos2222tan1tan=2tan1，当tan2时，上式22222 122=22110；当1tan3时，上式=22112()1()2233=1210()13.综上，2sin 2.410【方法技巧】1给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3)
6、将已知条件代入所求式子，化简求值2给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2，选正弦函数较好(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角【变式 2】（山东省潍坊市2019 届高三二模）若4tan3，则cos 22（）A2425B725C725D2425【答案】A【解析】因为4tan3，所以22242sincos2tan243cos 2sin22162sincos1tan2519，故选 A。
7、考点三三角恒等变换的综合问题【典例 3】【2019 年高考天津卷】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知2bca，3 sin4 sincBaC（1）求cosB的值；（2）求sin26B的值【答案】（1）14；（2）3 5716.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba又因为2bca，得到43ba，23ca由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa（2）由（1）可得215sin1cos4BB，从而15sin 22sincos8
8、BBB，227cos2cossin8BBB，故153713 57sin 2sin2coscos2sin666828216BBB【举一反三】(2018 江苏卷)已知 ，为锐角，tan 43，cos()55.(1)求 cos2的值；(2)求 tan()的值【解析】(1)因为 tan 43，tan sin cos，所以 sin 43cos .因为 sin2 cos2 1，所以 cos2 925，所以 cos 2 2cos2 1725.(2)因为 ，为锐角，所以 (0，)又因为 cos()55，所以 sin()1cos2（）255，因此 tan()2.因为 tan 43，所以 tan 2 2tan 1
9、tan2247.因此 tan()tan2()tan 2 tan（）1tan 2 tan（）211【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成yAsin(x )t 或 yAcos(x )t 的形式；(2)利用公式T2(0)求周期；(3)根据自变量的范围确定x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x )t 或 yAcos(x )t 的单调区间【变式 3】(2018 山东卷)设 f(x)2 3sin(x)
10、sin x(sin xcos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数yg(x)的图象，求g6的值【解析】(1)f(x)2 3sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1sin 2x3cos 2x3 12sin 2x331.由 2k 22 x32 k 2(kZ)，得 k 12 x k 512(kZ)，所以 f(x)的单调递增区间是k 12，k 512(k Z)(2)由(1)知 f(x)2sin 2x331，把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，得到 y2sin x331 的图象，再把所得到的图象向左平移3个单位，得到 y 2sin x31 的图象，即g(x)2sin x31.所以 g62sin 63 13.