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1、广东省六校2020 届高三第二次联考试题数学（理）本试卷共4 页，22 小题，满分150 分.考试用时120 分钟.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|230,|21xPx xxQx，则PQ()A.|1x x B.|1x x C.|03xx D.|10 xx2.“00mn且”是“0mn”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分不必要条件3.已知0.230.3log 0.3,log0.2,0.3abc，则()A.abc B.acb C.bca D.cab4.中国古建筑借助榫卯
2、将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()5.函数33()cos|xxf xxx在,的图像大致为A.B.C.D.6.已知非零向量a,b满足1,2ab且(2()ab)ab，则a与b的夹角为A.6 B.4 C.3 D.27.已知函数()sin()cos()(0,)2f xxx的最小正周期为，且()()fxf x，则A.()f x在0,2单调递增 B.()f x在3,44单调递增 C.()f x在0,2单调递减 D.()f x在3,44单调递减8.记等差数列na的前
3、n项和为nS，若已知391,9aS，则A.310nan B.2nan C.21722nSnn D.28nSnn9.关于函数f(x)tan|x|+|tanx|有下述四个结论：f(x)是偶函数;f(x)在区间,02上单调递减;f(x)是周期函数;f(x)图象关于0,2对称其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.10.2019年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 错误!未找到引用源。点的轨道运行
4、，错误!未找到引用源。点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为错误!未找到引用源。1M，月球质量为 错误!未找到引用源。，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程121223()()MMMRrRrrR.设=rR。由于的值很小，因此在近似计算中345323+331（），则r的近似值为（）A2313MRMB212MRMC21MRMD2313MRM11.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，点,D E分别是,PB BC 的中点，17,13,22,2,3AEADPEDEPDPA，则球O的表面积为（）A.24 B.25 C.41 D.5012.已知
5、函数aexexfx)(与xxxg1ln)(的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是),.),1.1,.(,.(eDCBeA二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13.已知正方形ABCD的边长为1，点 E 是AB边上的动点，则CBDE的值为 _，14.已知ABC的内角 ABC，的对边分别为a，b，c，若()()abc abcac，则tanB_.15.数列na满足*111()(,1)2nnnnaaaanNn，1811,128aa，则2a_。16.已知不等式222xxekxe 恒成立，则k的取值范围是 _。三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.
6、（10 分）已知向量(2cos,3cos),(cos,2sin),xxxxxabR,设函数()f xa b.()求()f x 的最小正周期.()求()f x 在 0,2上的最大值和最小值.18.(12分）已知数列na的前n项和为nS，且22 (*)nnSanN.(1)求数列na的通项公式(2)记21lognnnba a，数列nb的前n项和为nT，求证：121111nTTT19.（12 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与 BD 交于点O，5,8ABAC，点,E F分别在,ADCD 上，53AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF沿 EF 折到D EF的位置，5D O.（I）证明：D H平面
7、ABCD；（II）求二面角ABDO的余弦值.20.（12 分）ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知sinsin()2ACabBC.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且2c，求ABC面积的取值范围。21.(12 分）两县城A和B相距30km，现计划在两县城外位于线段AB上选择一点C建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和.记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所
8、选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；且当垃圾处理厂C与城A距离为10km时对城A和城B的总影响度为 0.029.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论中函数的单调性，并判断在线段AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由22.(12 分）已知函数xaxxxxf2ln)2()(1)若0a，求)(xf的最小值；(2)若f x在),0(上单调递增，求a的取值范围；(3)若1a，1212()(),f xf xxx且求证：122xx2020 届广
9、东六校高三第二次联考试题理科数学本试卷共5 页，22 小题，满分150 分.考试用时120 分钟.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.C 10.A 11.C 12.B 7.解：()2sin()4f xx，所以2，又()()fxf x知f(x)为奇函数，()2sin24kf xx，选 D 10.答案：A 解答：12112122322222()(1)()(1)MMMMMMRrRrrRRRR所以有23211222133(1)(1)(1)MMM化简可得34533221121333(1)3MMMMM，可得2313M
10、rRM。11.由条件知22222,3,4,(2)344441PAPB PBPC PCPAPAPBPCRSR球面12.解：函数aexexfx)(与xxxg1ln)(的图象上存在关于x轴对称的点即方程01lnxxaexex有解，)(1lnxhxxexeaxa的取值范围是)0()(xxhy的值域 M 22111()(1)1()0;01()0;1()0;xxh xeeeexxxxxh xxh xxh x所以1)1()(maxhxh显然)(xh图象连续且当)(,xhx所以a的取值范围1,解法 2：（特殊解法）afxfxfxxfxeexfx)1()(;0)(,1;0)(,10)(min函数aexexfx)
11、(与xxxg1ln)(的图象上存在关于x 轴对称的点即函数aexexfx)(与xxxgxm1ln)()(的图象上存在公共点max22111()()()(1)1xm xg xm xgxxx如图示当且仅当maxmin)()(xmxf即1a时满足条件。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13.答 1 14.答3 15.答12 16.答20,3e解析：13解：根据平面向量的数量积公式DADECBDEcos|DADE，由图可知，|cos|DADE，因此1|2DACBDE，14.()()abcabcac，acbcaacbca22222)(2221cos0120222acbacBBBac
12、ac，则 tan3B.15.解1nnnbaa，则11,2nnbb178187762111121112812baaaaaaaa12121122baaa16.已知不等式222xxekxe 恒成立，则k的取值范围是_。解：直线l:22ykxe是斜率为k且过点2(0,2)e的直线，22(),()(12)xxf xxefxex易知1,()0,()2xfxf x时单调递减；1,()0,()2xfxf x时单调递增.12min11()()222f xfee，当11(,0,(),02xf xe所以0k时，20000,20()xkxef x不符合条件所以0k时，2222()kxeef x符合条件0k时，若220
13、,()22xf xekxe则，所以只需再考虑0 x的情况：法一：如图示设00kk时直线l与()yf x 相切，则当且仅当00kk 时符合条件设直线l与()yf x 相切于点02000,0 xxx ex，则00222000000(12),2xxkexx eyk xe0002222220000(12)2xxxx eexxeexe 所以22001,30,3xkeke注2222()(0),()(22)0,()xxg xx exgxexxg x 在(0,+)递增，且2(1)ge.法二：0 x时：222222232min224(),()2(),()40(0),()0,(1)001,()0;1,()0;()
14、(1)3.xxxeeef xefxeg xgxexxxxfxfxfxxfxf xfe在单调递增；22220,3xexekkex时203ke四、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:()(2cos,3cos),(cos,2sin),xxxxxabR,()f xa b2coscos3cos2sinxxxx .1分3sin 2cos21xx .3分312sin 2cos2122xx .4分2sin(2)16x.5分所以22T,所以()f x最小正周期为.6分()70,(2),2666xx当时，=，.7分71sin(2)sin(),(),16622xff.9分()2si
15、n(2)12sin10,36f xx所以()f x在0,2上的最大值和最小值分别为3,0.10分18 解：(1)由22 (*)nnSanN得1122 (2),nnSan.1分111122 2aSaa .2分1122nnnnnaSSaa.3分1122(2)nnnnaaana .4分数列na是首项12a且公比2q的等比数列.5分112nnnaa q.6分 (2)1212loglog2221nnnnnba an,12nnbb.7分数列nb是等差数列，11()(2)2nnTn bbn n .8分11111(2)22nTn nnn.10分121111111111111111111112322423522
16、121122111111 (*)2212nTTTnnnnnnnNnn .12分19.（I）由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AECFADCD，故/ACEF.因此EFHD，从而EFD H.2分由5AB,8,4ACAO，得223DOBOABAO.由/EFAC得13OHAEDOAD.所以1OH，2D HDH.于是22222215D HOHD O，故D HOH.4分又D HEF，而OHEFH，所以D HABCD平面.5分ABCDDEHOzxyF（II）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0H，4,1,0A，0,4,0B，4,1,0C，0,0,2
17、D，(4,3,0)BA，0,4,2BD.7 分设111,mx y z是平面ABD的法向量，则00m BAm BD，即1111430420 xyyz，所以可以取3,4,8m.9分因菱形ABCD中有BOOC，又由（1）知,D HOCOCBD O平面所以4,0,0nOC是平面BOD的法向量，.10分设二面角ABDO为，由于为锐角，于是cos343 89cos,89894m nm nm n.因此二面角ABDO的余弦值是3 8989.12分20.解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin()2ACABBC.2分又因为ABC中180ABC可得sincos22ACB，sin()sinBCA所以si
18、ncossinsin2BABA，.4分因为ABC中sinA0，故cos2sincos222BBB .5分因为cos02B，故1sin22B，因此B=60.6分（2）由题设及（1）知ABC的面积13sin22ABCSacBa.7分由正弦定理得sinsincAaC .8 分2sin 12031.sintanCCC.9分由于ABC为锐角三角形，故 0A90，0C90，由（1）知A+C=180B120，所以30C90，.10分故3tan,3C .11分所以14a，从而32 32ABCS因此，ABC面积的取值范围是32,23.12分21.据题意，kmACx，30kmBCx，0,300030 xxx.1分
19、且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为22.7x，对城B的影响度为230kx，因此总影响度222.7(030)30kyxxx .3分又因为当垃圾处理厂C与城A距离为10km时对城A和城B的总影响度为0.029.所以222.70.0290.81020kk所以222.70.8(030)30yxxx.5分(2)因为3333332.70.827(30)8220.2(30)(30)xxyxxxx.8 分由0y解得333 30(2)3 30218xxxxx由0y解得333 30(2)3 30218xxxxx由0y解得333 30(2)3 30218xxxxx所以y，y 随x的变化情况如下表：x018，18
20、1830，y0 y极小值由表可知，函数在0 18，内单调递减，在1830，内单调递增，.10分18172xyy最小值，此时18x，.11分故在线段AB上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离18kmx .12分22.解：(1)函数)(xf的定义域为),0(，)(xfaxxx22ln，.1分若0a，记)()(xfxg，则02ln)(xxxxg0221)(22xxxxxxg.2分0)(,2;0)(,20 xgxxgx)(xg的单调减区间为2,0，单调增区间为,2.12ln)2()(mingxg)(xf的最小值为12ln .3 分（2）fx在),0(上单调递增
21、当且仅当()0 0fxx恒成立，.4分即2()ln20 (0)fxxaxxx恒成立，(1)2201faa .5分(I)若0a，由（1）知012ln)(2ln22ln)(0,0 xgxxaxxxxfax)(xf在定义域上单调递增，满足条件 .6分(II)若01a，aaaaeeaef111221)(令11ta，)21()(22222)(2tttttettettetteettm2221222021,12201,110()0ttttttttteeetetteteetetteem t在递减在递减所以取,11at有111122()()01aaaefem taea，不合题意 .8分综上所述，若fx在),0(
22、上单调递增，则a的取值范围是,0 .9分(2)法二：)0(2ln2)0(022ln)(2xxxxaxaxxxxf.4分记)0(2ln)(2xxxxxh，则)0(4ln4ln1)(332xxxxxxxxxh.5分记)0(4ln)(xxxxxt,则)0(ln)1(ln1)(xxxxt0)(,1;0)(,10 xtxxtx0)(,0)(03)1()(maxxhxttxt)(xh在),0(上单调递减 .6 分2lnln2ln1lim()limlim0limlim0 xxxxxxxxh xxxxxx(根据洛比塔法则).7分002aa.8分(无单调性证明扣2 分）（3）若1a，2()(2)lnf xxxx
23、x，2()ln2 (0),(1)0fxxxxfx2221222()(),()2(0),()0()(0,)xxg xfxgxxgxfxxxx在上单调递减01()(1)0,()(0,1)1()(1)0,()(1,)xfxffxxfxff x当时在上单调递增；当时在上单调递减.121212()(),01f xf xxxxx.9分令()()(2)(01)d xf xfxx，则2222()()(2)ln2 +ln(2)2(2)(2)44ln(2)4ln4(),(2)(0,1(2)14401()0,()(0,1)()(1)0,()0()(0,1)dxfxfxxxxxxxxxtl ttxxxxtttltl tl tltttdxd x其中令当时在在递减，在上单调递增 .11分111121112211201()(1)0()(2)()()(2)21,1,()(1,)22.xd xdf xfxf xf xfxxxf xxxxx又在上单调递减.12分