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1、湖南省五市十校2020 届高三上学期第二次联考试题数学（理）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 Mx|01xx，Nx|0 x2，则 MNA.x|0 x1 B.x|0 x2 C.x|0 x1 D.x|0 x2 2.设 为第三象限角，3sin5，则 sin2 A.725B.725C.2425D.24253.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为A.43B.3C.2 D.834.以下说法错误的是A.命题“若x23x20，则 x 1”的逆否命题为“若x 1，则 x23x20”B.“x1”是“x23x20”的
2、充分不必要条件C.若 pq 为假命题，则p、q 均为假命题D.若命题 p：xR，x2x1 xf(x)，则实数b 的取值范围是A.(，2)B.(，32)C.(，94)D.(，3)二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20 分。13.知等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若212nnnSnT，则88ab。14.观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，F，V，E 所满足的等式为。15.已知函数4()f xxx，()2xg xa，若11,12x，22,3x，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是。16.以双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点F(c，
3、0)为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A，B 两点，若AB23c，则双曲线C 的离心率为。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60 分。17.(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a1，b2，cosC14。(1)ABC 求的周长；(2)求 cos(AC)的值。18.(12 分)已知数列 an的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，且11224nnaS，nN*。(1)求数列 an的通项公式；(2)设1()2nnnba，求数列
4、 bn的前 n 项和为 Tn。19.(12 分)如图，在梯形ABCD 中，AB/CD，AD DCCB1，ABC 60，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE平面 ABCD，CF1。(1)证明：BC平面 ACFE；(2)设点 M 在线段 EF 上运动，平面MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为，求 cos的取值范围。20.(12 分)如图，分别过椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2：相交于点P，与椭圆 E分别交于 A、B 和 C、D 四点，直线OA、OB、OC、OD 的斜率 k1，k2，k3，k4满足 k1k2k3k4。已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|
5、23，|CD|4 33。(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|PN|为定值？若存在，求出点M、N 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。21.(12 分)已知函数f(x)lnxax3(a0)。(1)讨论函数f(x)的零点个数；(2)若a1，2，函数 g(x)x322xm2f(x)在区间(a，3)有最值，求实数m 的取值范围。(二)选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系中，已知曲线C：3cos2sinxy(为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
6、系，直线l：(2cos sin)6。(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)在曲线 C 上取一点P，使点 P 到直线 l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数f(x)|x|2|xa|，a0。(1)当 a1 时，求不等式f(x)4 的解集；(2)若 f(x)4 恒成立，求实数a 的取值范围。高三理科数学参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCBCACADBC二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）13.3117
7、14.F+V E=2 15.(,116.3 55三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17、解：（1）2222cos4cababC2c故ABC的周长为5.6 分（2）1cos4C且C为ABC的内角15sin4C由正弦定理sinsinacAC得15sin8A7cos8A11cos()coscossinsin16ACACAC 12 分18、解：(1）依题知21()2nnnSaa21111()2aaa，又0na11a21111(aa),n22nnnS由-得22111()2nnnnnaaaaa22111,0nnnnnaaaaan且a,则11nnaana是等差数列，1(1)1nann6 分(2)11
8、()()22nnnnban，2311112()3()222nTnn1（）2，23411111()2()3()2222nTnn+11（）2，两式相减得123111111()()()-()22222nnTnn1（）2，11()112()2(2)()12212nnnnTnn.12 分19解：（1）证明：在梯形ABCD中，因为0/,1,60ABCD ADDCCBABC，所以2AB，所以22202cos603ACABBCAB BC，所以222ABACBC，所以BCAC3 分因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，因为BC平面ABCD，所以BC平面ACFE5 分（2）由（1）可建立分别
9、以直线,CA CB CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令03FM，则0,0,0,3,0,0,0,1,0,M,0,1CAB，3,1,0,1,1ABBM，设1,nx y z为平面MAB的一个法向量，由1100n ABn BM得300 xyxyz，取1x，则11,3,3n，7 分21,0,0n是平面FCB的一个法向量 8 分12221211cos133134n nnn 10 分03，当0时，cos有最小值77，当3时，cos有最大值1271cos,7212 分20.解：(1)当 l1与 x 轴重合时，k1k2k3k40，即 k3 k4，l2垂直于 x 轴，得|AB|2a2 3，|CD
10、|2b2a433，得 a3，b2，椭圆E 的方程为x23y221.-4分(2)焦点 F1，F2坐标分别为(1，0)，(1，0)，当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为(1，0)或(1，0)，-5分当直线 l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x23y22 1，ym1（x1），得(23m21)x26m21x3m216 0，x1x26m2123m21，x1x23m21623m21，k1k2y1x1y2x2m1x1 1x1x21x2 m12x1x2x1x2m122m21m2124m1m212，-7 分同理 k3k44m2m222，-8分k1k
11、2k3k4，4m1m2124m2m22 2，即(m1m22)(m2m1)0，由题意知 m1m2，m1m220-9分设 P(x，y)，则yx 1yx120，即y22x21(x 1)，-10 分又当直线l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为(1，0)或(1，0)也满足此方程，点 P(x，y)在椭圆y22x21 上，存在点 M(0，1)和点 N(0，1)，使得|PM|PN|为定值，定值为2 2.-12 分21、解（1）10,(),xfxax1 分()0,()0+fxf x若a0,f(x)=x11(0,),(),(,),()xf xxfxaamax1()()ln4fxfaa-4ln40,aea当即时，
12、f(x)无零点；-4当-lna-4=0,即a=e 时，f(x)有一个零点；-4当-lna-40,即0ae 时，f(x)有两个零点。5 分-4综上：ae-40ae 时，f(x)有两个零点。时，f(x)无零点。6 分（2）22(),(2)12mxxa xxxxma x3g()=g()=3()(,3)()(,3)g xag xa在上有最值，在上不单调，8 分(3)0(0)=10,()0ggg a而恒成立。10 分又1191,2,()05,2ag amama由32(3)032660,3gmam3219.32m故12 分22、解：（1）l的直角坐标方程为260 xy 曲线C的普通方程为22134xy5 分(2)设|4sin()6|3(3cos,2sin),5Pd则sin()13d当时，最大max3(,1),2 52Pd 10 分23、解：(1)1x当时，解得 1x21,1xx当0时 解得 000 xx2当时,解得-3-x2不等式的解集为x|235分(2)当xa时，f(x)=3x-2a;当0 xa时，f(x)=-x+2a;当0 x时，f(x)=-3x+2a;所以f(x)的最小值为a，a410 分