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1、2014 年高考数学一轮复习考点热身训练2.3 函数的奇偶性与周期性1/6 2014 年高考一轮复习考点热身训练：2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()()y=-x3,x R ()y=sinx,x R()y=x,x R ()y=(12)x,x R 2.(2013 宿州模拟)已知 f(x)满足 f(x+4)=f(x)和 f(-x)=-f(x)，当 x(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=()()-2 ()2 ()-98 ()98 3.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(
2、x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(-a)=()()-b+4 ()-b+2 ()b-4 ()b+2 4.函数 y=lg(21x-1)的图象关于()()x 轴成轴对称图形()y 轴成轴对称图形()直线 y=x 成轴对称图形()原点成中心对称图形5.(2012 临沂模拟)若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a0,a 1)在 R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是()6.（2012莆田模拟）若f(x),g(x)分别是 R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=ex,则有（）()f(2)f(3)g(0)()g(0)f(3)f(2)()f(2)g(0)f(
3、3)()g(0)f(2)0,求实数m的取值范围.11.(2012 珠海模拟)已知函数 f(x)=a-12xb是偶函数，a 为实常数.(1)求 b 的值；(2)当 a=1 时，是否存在nm0,使得函数y=f(x)在区间 m,n上的函数值组成的集合也是m,n，若存在，求出m,n 的值，否则，说明理由.(3)若在函数 定义域内总存在区间m,n(m0，a1)为 R上的奇函数，f(0)=(k-1)-1=0,得 k=2,f(x)=ax-a-x.又 f(x)为 R上的减函数，0a1.故 g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的图象是由y=logax(0a1)的图象向左平移两个单位而得到，故选.6.
4、【解析】选.f(x)-g(x)=ex,又 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,xxxxeeeeg x,fx.22可知 f(x)是 R上的增函数，0f(2)f(3),g(0)=-10,g(0)f(2)0,得 f(m)-f(m-1),即 f(1-m)f(m).又 f(x)在 0,2 上单调递减且f(x)在-2,2 上为奇函数,f(x)在-2,2 上为减函数，21m22m2,1mm即1m32m2,1m2解得-1 mm0,y=f(x)在区间 m,n上是增函数.因 y=f(x)在区间 m,n上的函 数值组成的集合也是m,n.有11m2m,1
5、1n2n即方程 1-12x=x,也就是 2x2-2x+1=0 有两个不相等的正根.=4-80,此方程无解.故不存在正实数m,n 满足题意.(3)由(1)，可知 f(x)=a-12 x(=(-,0)(0,+).考察函数f(x)=a-12 x的图象，可知:f(x)在区间(0,+)上是增函数，f(x)在区间(-,0)上是减函数.2014 年高考数学一轮复习考点热身训练2.3 函数的奇偶性与周期性5/6 因 y=f(x)在区间 m,n上的函数值组成的集合也是m,n，故必有m、n 同号.当 0m2(此时，m、n(mn)取方程 2x2-2ax+1=0 的两根即可).当 mn0时，f(x)在区间 m,n上是
6、减函数，有1an2m,1am2n化简得(m-n)a=0,解得 a=0(此时，m、n(mn)的取值满足mn=12,且 mn2.【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x R且 e 为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)=ex-(1e)x,且 y=ex是增函数，y=-(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数.由于 f(x)的定义域为R，且 f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以 f(x)是奇函数.(2)由(1)知 f(x)是增
7、函数和奇函数,f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x R恒成立?f(x2-t2)f(t-x)对一切 xR恒成立?x2-t2t-x对一切 xR恒成立?t2+t x2+x 对一切 xR恒成立?(t+12)22min1(x)2?(t+12)20?t=-12.即存在实数t=-12,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立.【探究创新】【解析】(1)f(x)=x2(x-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)f(-1)，有m 2；x-1 时，恒有f(x+2)f(x)，故 m 2 即可.所以实数m的取值范围为2,+)；(2)由 f(x)为奇函数及x0 时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，2014 年高考数学一轮复习考点热身训练2.3 函数的奇偶性与周期性6/6 f(3a2)=a2=f(-a2)，由 f(-a2+4)f(-a2)=a2=f(3a2)，故-a2+4 3a2，从而 a21，又 a21 时，恒有f(x+4)f(x)，故 a21 即可所以实数 a 的取值范围为-1,1.