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1、专题3.3 函数的奇偶性与周期性1.理解函数的奇偶性，会用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养；2.会判断、应用简单函数的周期性，考察函数性质综合应用，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养.1函数的奇偶性1.奇偶性的概念奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇偶性的判断（1）定义法：判断定义域是否关于原点对称；若不对称，为非奇非偶函数；若对称，判断fx与fx的关系：fx=f
2、x或fx=fx；结论；（2）图象法：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称；（3）性质法：设fx,gx的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称；（2）若奇函数的定义域包含0，则fx=0； （3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；（4）奇函数：fx=fx；偶函数：fx=fx；（5）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反2函数的周期性1.周期性的概念（1）周期函数
3、：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.函数周期性常用结论对fx定义域内任一自变量x：（1）若fx+a=fx，则T=2aa0；（2）若fx+a=1fx，则T=2aa0；（3）若fx+a=1fx，则T=2aa0；（4）若fx+a=fxa，则T=2aa03.函数图象的对称性（1）若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对
4、称（2）若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称（3）若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称（4）对称性与周期性：周期为两对称轴（或两对称中心）的距离的2倍，为一对称轴和一对称中心距离的4倍.函数奇偶性的判断【方法储备】1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明fx=fx ( fx=fx)对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了或者结合图象、奇
5、偶性性质即可判断.3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式fx=fx或fx=fx成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性【精研题型】1.（多选）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递减的函数是A.y=x3 B.y=|x| C.y=-x2+1 D.y=2.写出一个最小正周期为2的偶函数fx = .3.（多选）已知函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是偶函数 D.|f(x)
6、g(x)|是偶函数【思维升华】4.已知函数f(x)为增函数，当x，yR时，恒有f(x+y)f(x)+f(y)（1）求证：f(x)是奇函数；（2）是否存在m，使f(2(log2x)2-4)+f(4m-2log2x)0对于任意x1，2恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由【特别提醒】1.若函数fx的图象是由函数fx的y轴右侧图象翻折到y轴左侧，函数fx是偶函数；2.二次函数fx=ax2+bx+ca0 为偶函数b0；3.三次函数fx=ax3+bx2+cx+da0为奇函数时b=d=0;4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合
7、；5.函数根据奇偶性可分奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数函数奇偶性的应用【方法储备】1.求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解2.求函数解析式：将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式3.求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果4.奇、偶函数图象对称性的应用：已
8、知y轴一侧的单调区间，得出另一侧的单调区间；奇函数若有最值，则最大值与最小值之和为0. 【精研题型】5.已知fx=ax2+bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么a+b的值是A. B. C. D.6.已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x0时，fx=x3x2，则当x0时，fx的解析式为 7.设函数fx是定义在R上的奇函数，且，则gf8A.1 B.2 C.1 D.28.已知偶函数fx和奇函数的定义域都是,且在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 【思维升华】9.函数fx=+()+1在区间-3,0)(0,3上的最大值和最小值分别为M、N,则M+N = .10.函数fx，gx分别是定义在R上的偶函
9、数、奇函数，且fx+2gx=ex，若关于x的方程f2xmgx=0在区间（0，2内有解，则实数m的最小值为A.4 B.4 C.8 D.8函数的周期性与应用【方法储备】1证明函数是周期函数：证明f(xT)f(x)(T0)，且周期为T，则kT(kZ且k0)也是函数的周期；2.求函数周期的方法：形如yAsin(x)，用公式T计算；递推法：若f(x+a)f(x)，则f(x+2a)f(x+a)+af(x+a)f(x)，所以周期T2a；换元法：若f(x+a)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t+2a)，所以周期T2a3.准确区分题干条件是得到周期性，还是得对称性.【精研题型】11.函数fx=2si
10、n2xcos2x+是A.周期为4的奇函数B.周期为4的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数12. 设定义在上的函数满足,若f1=2,则A.13 B. C. D.13.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x+5)=f(x)+5，若函数f(x1)的图象关于直线x=1对称，f(1)=2，则f(2021)= A.5B.-2C.1D.2【思维升华】14.已知偶函数f(x)满足，且在时，fx=log2x1，则f21= A.log27-2 B.1 C.log23-2 D.log27-115.(多选)对于函数fx=2sinxcosx，下列关于说法中正确的是A.图像关于直线对称 B.在上单
11、调递增C.最小正周期为 D.在(0，)上有两个极值点 函数性质的综合应用【方法储备】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，借助奇偶性可以只研究y轴一侧的单调性，通过对称得出另一侧的性质；解fa+fb0类型的不等式，一般函数为奇函数，即可转化为fafb，借助单调性比较大小；（2）周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自
12、变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解【精研题型】16.定义在R上的函数fx满足fx=fx，fx2=fx+2，且x1,0时，fx=2x+15，则flog220= 17.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则A.B.C.D.18.已知函数fx+3为奇函数,且对任意不相等的实数a,b,都有成立,则不等式f3x+1+fx+60的解集为A. B. C. D.19.已知函数fx是定义在12b，b上的偶函数，且在0，b上为单调函数，则方程fx218=f2x98的解集为A.1 B.12,52 C. 1,12 D. 1,12,52【思维升华】20.设函数fx=sinx+exexx+1,则满足fx+f32x2的x取值范围是A.（3，+） B.（1，+） C.（-，3） D.（-，1）21.（多选）已知fx为偶函数，当x1，x2(，0时，恒成立，若对任意的xR，都有f(2ax)f(2x2+1)，则a的可能取值为A. B.-1 C.1 D.22. 设fx是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是23.（多选）已知定义域为的函数对任意的实数满足，并且当时，则下列选项中正确的是A.函数是奇函数 B.函数在上单调递增C.函数是以2为周期的周期函数 D.