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1、2019-2020 学年河南省南阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12 小题）.1某校有高一学生450 人，高二学生480 人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15 人，则n为（）A15B16C30D312sin75cos45 sin15sin45（）A0BCD13从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”4已知向量（cos，sin），（
2、2，1），且，则的值是（）A3B 3CD5已知平面向量，是非零向量，|2，（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A 1B1C 2D26已知函数f（x）Atan（x+），y f（x）的部分图象如图，则（）A2+BCD27将函数y sin（2x+）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能值为（）ABCD8阅读算法框图，如果输出的函数值在区间1，8上，则输入的实数x 的取值范围是（）A0，2）B2，7C2，4D0，79若 sin+sin+sin 0，cos+cos+cos 0，则 cos（）的值为（）A 1B1CD10某同学用“随机模拟方法”计算曲线ylnx 与直线 x
3、e，y0 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10 个在区间 1，e上的均匀随机数xi和 10 个区间 0，1上的均匀随机数，其数据如表的前两行x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）ABCD11已知函数f（x）sinx（0）满足对任意xR，f（x）f（x+），则函数f（x）在0，2 上的零点个数不可能为（）A5B9C21D2312已
4、知函数f（x）|sinx|+|cosx|，则下面结论不正确的是（）Af（x）为偶函数B f（x）的最小正周期为Cf（x）的最大值为2Df（x）在，上单调递增二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知，则14 已知 ABC 的三边长AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则的最大值为15函数 y3sinx 4cosx 在 x处取得最大值，则sin 16若不等式sinx tan x+|tan x+sinx|k0 在 x，恒成立，则k 的取值范围是三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知，且向量与不共线（1）若与的
5、夹角为45，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k 的取值范围18某同学用“五点法”画函数f（x）Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0220（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数yf（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求g（x）的单调递减区间19某种产品的广告费支出x 与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五
6、组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过 5的概率20已知 f（x）2sinxcosx+（cos2xsin2x）（1）求函数 yf（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若 x 0，求 yf（x）的值域21某科研课题组通过一款手机APP 软件，调查了某市1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（
7、2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于 20 公里20 公里到 40 公里不小于 40 公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？22在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足（1）求|的值；（2）已知 A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x 0，f（x）?（2m+）|，若 f（x）的最小值为g（m），求 g（m）的最大值参考答案一、选择题（本
8、大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1某校有高一学生450 人，高二学生480 人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15 人，则n为（）A15B16C30D31【分析】根据分层抽样为随机抽样，可知即可求出n解：依题意可知，所以 n31，故选：D2sin75cos45 sin15sin45（）A0BCD1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果解：sin75 cos45 sin15 sin45 cos15 cos45 sin15 s
9、in45 cos（15+45），故选：B3从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在 A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在 B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在 C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生
10、，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在 D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误故选：C4已知向量（cos，sin），（2，1），且，则的值是（）A3B 3CD【分析】由已知求得tan，然后展开两角差的正切求解解：由（cos，sin），（2，1），且，得 2cos sin 0，即 tan 2故选：C5已知平面向量，是非零向量，|2，（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A 1B1C 2D2【分析】先根据向量垂直，得到 2，再根据投影的定义即可求出解：平面向量是非零向量，?（）0，即+20，即 2，向量在向量方向上的投影为 1，故选：A6已知函数f（x）Atan（x+
11、），y f（x）的部分图象如图，则（）A2+BCD2【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后求出，根据（，0）求出 的值，图象经过（0.1）确定 A 的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可解：由题意可知T2（），所以 2，函数的解析式为：f（x）Atan（2x+），因为函数过（，0），可得：0Atan（+），又|，所以解得：，又图象经过（0，1），可得：1Atan，所以：A1，所以：f（x）tan（2x+），则 f（）tan（+）tan故选：B7将函数y sin（2x+）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能值为（）ABCD【分析】首先利用三角函数关系式的恒
12、等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果解：将函数y sin（2x+）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到f（x）sin（2x+）由于 f（x）sin（2x+）为偶函数，所以 k，整理得（k Z），当 k 1 时，故选：B8阅读算法框图，如果输出的函数值在区间1，8上，则输入的实数x 的取值范围是（）A0，2）B2，7C2，4D0，7【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来解：根据题意，得当 x（2，2）时，f（x）2x，12x8，0 x3；当 x?（2，2）时，f（x）x+1，1x+1 8，0 x7，x 的取值范围是0，7故选：D9若 sin+sin+sin
13、0，cos+cos+cos 0，则 cos（）的值为（）A 1B1CD【分析】由题意可得（sin+sin）2（sin）2，（cos+cos）2（cos）2，两式相加得：2+2（cos cos+sin sin）1，再利用两角差的余弦公式即可算出结果解：sin+sin+sin 0，cos+cos+cos 0，（sin+sin）2（sin）2，（cos+cos）2（cos）2，两式相加得：2+2（cos cos+sin sin）1，cos（），故选：C10某同学用“随机模拟方法”计算曲线ylnx 与直线 xe，y0 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10 个在区间 1，e上的均匀随机数x
14、i和 10 个区间 0，1上的均匀随机数，其数据如表的前两行x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）ABCD【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可解：由表可知，向矩形区域（x，y）|1?x?e，0?y?1内随机抛掷10 个点，其中有 6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.
15、5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为矩形区域的面积为e1，曲边三角形面积的近似值为故选：D11已知函数f（x）sinx（0）满足对任意x R，f（x）f（x+），则函数f（x）在0，2 上的零点个数不可能为（）A5B9C21D23【分析】计算f（x）在 0，2 上的周期个数，根据周期个数得出零点个数解：f（x）的最小正周期为T，对任意x R，f（x）f（x+），?k，k N，故 f（x）在 0，2 上有偶数2k 个周期，f（x）在 0，2 上的零点个数为4k+1 个，故选：D12已知函数f（x）|sinx|+|cosx|，则下面结论不正确的是（）Af（x）为偶函数B f
16、（x）的最小正周期为Cf（x）的最大值为2Df（x）在，上单调递增【分析】由偶函数的定义判断选项A，由最小正周期的定义判断选项B，再将f（x）化简，利用正弦函数的图象求出f（x）的最值与单调性解：对于A，f（x）定义域为R，f（x）|sin（x）|+|cos（x）|sinx|+|cosx|f（x），即 f（x）为偶函数，选项正确；对于 B，f（x+）|sin（x+）|+|cos（x+）|cosx|+|sinx|f（x），即f（x）的最小正周期为，选项正确；对于 C，f（x）|sinx|+|cosx|，则当 sin2x 1 时，f（x）的最大值为，选项错误；对于 D，x，时，2x ，f（x）|s
17、inx|+|cosx|，令 2xt，则 y|sint|在 ，上单调递增，再由复合函数的单调性可得，f（x）在，上单调递增，选项正确；故选：C二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知，则【分析】由已知利用二倍角公式即可计算得解解：，故答案为：14 已知 ABC 的三边长AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则的最大值为9【分析】先建立直角坐标系，把几个向量的坐标计算出来，再根据向量减法的坐标公式，以及向量的数量积坐标公式计算即可【解答】解；ABC 的三边长 AC3，BC 4，AB5，ABC 为直角三角形，且C 为直角，以 CB 为 x 轴，CA 为 y 轴
18、，建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，3），B（4，0），设 P（x，y）则（x，y）.（4，3），（4，0），（x，y）?（0，3）3y0y 3，03y9故答案为915函数 y3sinx 4cosx 在 x处取得最大值，则sin【分析】利用辅助角公式可得y3sinx4cosx5sin（x）（其中 tan），结合题意可得 2k+（k Z），从而可求得答案解：y3sinx 4cosx（sinxcosx）5sin（x）（其中 tan ），依题意，2k+（k Z），故 2k+（k Z），则 sin cos，故答案为：16 若不等式sinxtan x+|tan x+sinx|k0 在 x，恒成立，
19、则 k 的取值范围是2，+）【分析】由x 的范围判断tanx+sin x 的符号，去掉绝对值，将k 分离，构造新函数并判断函数的单调性，求出最值代入即可解：x，cosx 1，sinx 0，tan x 1，0，tan x+sinx+sinx0，不等式sinxtanx+|tan x+sin x|k0 可化简为：2tanx k0，即 k 2tanx，则 k（2tanx）max，x，又 y 2tanx 在，单调递减，k2，故答案为：2，+）三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知，且向量与不共线（1）若与的夹角为45，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求
20、实数k 的取值范围【分 析】（1）由与的 夹 角 为45，可 得cos45 展 开，代入即可得出（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）?（）0，且不能反向共线，即可得出解：（1）与的夹角为45，cos452+11+（2）向量与的夹角为钝角，（）?（）0，且不能反向共线，k2 10，解得 1k1，k0实数 k 的取值范围是（1，1）（k0）18某同学用“五点法”画函数f（x）Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0220（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数 yf（x）的图象向左平移个单位后，再将得
21、到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求g（x）的单调递减区间【分析】（1）根据最值求得A，由周期求得，五点法做函数yAsin（x+）的图象求得 的值，可得函数的解析式（2）根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论解：（1）补充表格：由于最大值为2，最小值为 2，故 A 2，2再根据五点法作图可得2?+，故f（x）2sin（2x）x+02xAsin（x+）020 20（2）将函数 yf（x）的图象向左平移个单位后，可得y2sin2（x+）2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得
22、到函数yg（x）2sin（x+）的图象令 2k+x+2k+，求得 4k+x4k+，故 g（x）的单调递减区间为4k+，4k+，k Z19某种产品的广告费支出x 与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过 5的概率【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）分别求出x2，4，5，6，8 时的，列出表格，再由古典概型概率公式求解解：（1）5，50，6.5，因此，所求回归直线方程为：6.5x+17.5；（2）x245
23、68y304060507030.543.55056.569.5基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共 10 个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：（30，40），（30，70），（40，70）共 3个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5 的概率为20已知 f（x）2sinxcosx+（cos2xsin2x）（1）求函数 yf（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若 x 0，求 yf（x）的值域【分析】（1）将 f（x）化简，利用整体法求出f（
24、x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可解：（1）f（x）2sinxcosx+（cos2xsin2x）令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当 x 0，时，因为 ysinx 在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以 f（x）1，221某科研课题组通过一款手机APP 软件，调查了某市1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（km/周）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）50，55）人数10012013018022015060
25、3010（1）补全该市1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于 20 公里20 公里到 40 公里不小于 40 公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【分析】（1）由频数分布表能补全该市1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图（2）由频率分布直方图能求出样本的中位数（3）分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此
26、能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱解：（1）补全该市1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）50.35，25，30）的频率为0.03650.18，设样本的中位数为x，则 0.35+（x25）0.0360.5，解得 x29.2样本的中位数约为29.2（3）依题意知休闲跑者共有：（50.02+5 0.024）1000220 人，核心跑者共有：（50.026+50.036+50.044+5 0.030）1000680 人，精英跑者共有：1000220680100 人，估计该市每位跑步爱好者购
27、买装备，平均需要花费：（2202500+6804000+1004500）3720（元）22在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足（1）求|的值；（2）已知 A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x 0，f（x）?（2m+）|，若 f（x）的最小值为g（m），求 g（m）的最大值【分析】（1）由已知得：，所以进行向量运算可得，继而可得结果；（2）f（x）1+（cosxm）2+1 m2，对 m 进行讨论，求得不同情况下的最小值，写成关于m 的函数式g（m），继而可以求得结果解：（1）由已知得：，；（2）f（x）1+（cosxm）2+1 m2，x，cosx 0，1，当 m0 时，当 cosx0 时，f（x）取得最小值g（m）1；当 0m1 时，当 cosxm 时，f（x）取得最小值g（m）1m2；当 m1 时，当 cosx1 时，f（x）取得最小值g（m）22m，综上所述，g（m），g（m）的最大值为1