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1、高中数学3.1.2 函数的极值（一）教案北师大选修2-2-1-/4 3.1.2 函数的极值一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；xx1)(lnexxaalog1)(log；xxee)(；aaaxxln)(2.法则 1 )()()()(xvxuxvxu法则 2 ()()()()()()u x v xu x v xu x v x,()()Cu xCu x法则 3 2(0)uu vuvvvv3.复合函数的导数：xuxuyy(理科)4.函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函
2、数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y)(1xf（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点高中数学3.1.2 函数的极值（一）教案北师大选修2-2-2-/4 f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf
3、是极大值；如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正”，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()fx(2)求方程/()fx=0 的根(3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值三、讲解范例：例 1 求y=31x34x+31的极值解：y=(31x34x+31)=x24=(x+2)(x2)令y=0，解得x
4、1=2，x2=2 当x变化时，y，y的变化情况如下表x,2-2(-2,2)2 2,y+0 0+y极大值(2)f极小值(2)f高中数学3.1.2 函数的极值（一）教案北师大选修2-2-3-/4 当x=2 时，y有极大值且y极大值=173当x=2时，y有极小值且y极小值=5 f(x)=13x3-4x+42-2xOy例 2 求y=(x21)3+1 的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0 解得x1=1，x2=0，x3=1 当x变化时，y，y的变化情况如下表x,1-1(-1,0)0(0,1)1 1,y0 0+0+y无极值极小值 0 无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=0
5、1-1f x =x2-13+1xOy求极值的具体步骤：第一，求导数/()fx.第二，令/()fx=0 求方程的根，第三，列表，检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、课堂练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7 令y=0，解得x=72.当x变化时，y，y的变化情况如下表.高中数学3.1.2 函数的极值（一）教案北
6、师大选修2-2-4-/4 x7,2727,2y0+y极小值254当x=72时，y有极小值，且y极小值=254(2)解：y=(x327x)=3x2 27=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表x,3-3(-3,3)3 3,y+0 0+y极大值 54 极小值-54 当x=3 时，y有极大值，且y极大值=54 当x=3 时，y有极小值，且y极小值=54 五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点