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1、精品教案可编辑2016-2017 学年高中数学第 3 章 导数应用 1.2 函数的极值课后演练提升北师大版选修 2-2 一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内有图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A 1 个B2 个C3 个D4 个解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此根据导函数的图像，应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1 个，所以函数只有1个极小值点答案：A2函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则mn为()A 0 B1C2 D4解析：y 3x23，令y 0，即 3(x1)(x1)
2、0，解得x11，x2 1.当x(，1)时，y 0；当x(1,1)时，y 0；当x(1，)时，y 0；函数在x 1 处取得极大值，mf(1)2，在x1 处取得极小值，nf(1)2，精品教案可编辑mn2(2)0，故选 A.答案：A3已知函数yax315x236x24 在x3 处有极值，则函数的递减区间为()A(，1)，(5，)B(1,5)C(2,3)D(，2)，(3，)解析：y 3ax230 x36当x3 时，y 27a90 360a2，y 6x230 x36令y 0 得 2x3.函数的递减区间是(2,3)答案：C4设a R，若函数yeax 3x，xR 有大于零的极值点，则()Aa 3 Ba 3C
3、a13Da13解析：yaeax3，令y 0 得xln 3aa，即为极值点由题意得ln 3aa0，所以a 3，故选 B.答案：B二、填空题5函数ycos 2x在(0，)内的极_ 值是 _ 解析：y 2sin 2x，令y 0，0 x，精品教案可编辑x2，又 0 x2时，y 0；2x时，y 0当x2时，y取极小值 1.答案：小16已知函数f(x)x3 3ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 _ 解析：f(x)3x26ax3(a2)yf(x)既有极大值又有极小值，36a236(a2)0.解得a2 或a 1.答案：a2 或a 1三、解答题7已知函数f(x)x3mx2m2x1(
4、m为常数，且m0)有极大值 9.(1)求m的值；(2)若斜率为 5 的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程解析：(1)f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0，则xm或x13m，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，m)mm，13m13m13m，f(x)00f(x)极大值极小值精品教案可编辑从而可知，当xm时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3m3m31 9，m2.(2)由(1)知，f(x)x32x24x1，依题意知f(x)3x2 4x4 5，x 1 或x13.又f(1)6，f136827，所以切线方程为y6 5(x1)，或y6827 5x13，即 5xy10，或
5、 135x27y23 0.8已知f(x)ax3bx2cx(a 0)在x1 处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1 时函数取得极大值还是极小值，并说明理由解析：(1)方法一：f(x)3ax22bxc，x1 是函数的极值点，x1 是方程 3ax22bxc0 的两根由根与系数的关系知2b3a0，c3a 1，又f(1)1，abc 1，由解得a12，b0，c32.方法二：由f(x)3ax22bxc，f(1)f(1)0，精品教案可编辑得 3a2bc0，3a2bc0，又f(1)1，abc 1，由解得a12，b0，c32.(2)由(1)知f(x)12x332x，f(x)32x
6、23232(x1)(x1)当x1 时，f(x)0，当 1x1 时，f(x)0.函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数因此当x 1 时，函数取得极大值f(1)1；当x1 时，函数取得极小值f(1)1.9设函数f(x)ax2bln x，其中ab 0.求证：(1)当ab0 时，函数f(x)没有极值点(2)当ab0 时，函数f(x)有且只有一个极值点并求极值证明：(1)因为f(x)ax2bln x，ab 0，所以f(x)的定义域为(0，)f(x)2axbx2ax2bx.当ab0 时，如果a0，b0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；如果a0，b0，f(x)0，f(x
7、)在(0，)上单调递减 所以当ab0 时，函数f(x)没有极值点(2)当ab0 时，精品教案可编辑f(x)2axb2axb2ax，令f(x)0，得x1b2a?(0，)(舍去)，x2b2a(0，)，当a0，b 0 时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x0，b2ab2ab2a，f(x)0f(x)极小值从上表可看出，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为fb2ab21ln b2a.当a0，b 0 时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x0，b2ab2ab2a，f(x)0f(x)极大值从上表可看出，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为fb2ab21ln b2a，综上所述，当ab0 时，若a0，b0 时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为b21ln b2a.精品教案可编辑若a0，b 0 时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为b21ln b2a.