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1、湖南省五市十校 2020 届高三上学期第二次联考 数学（理）试题 一、单选题 1设集合|01xMxx，|02Nxx，则MN（）A|01xx B|02xx C1|0 xx D|02xx【答案】C【解析】首先确定集合M中的元素，然后求交集【详解】由01xx得(1)010 x xx，解得01x，即|01Mxx，|01 M Nxx 故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础在解分式不等式时要注意分母不为 0 2设为第三象限角，3sin5 ，则sin2（）A725 B725 C2425 D2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos，再由正弦的二倍角公式变形后求值【详解】设为第三象
2、限角，3sin5 ，2234cos1 sin1()55 ，3424sin22sincos2()()5525 故选：D【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负 3某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（）A43 B3 C2 D83【答案】B【解析】由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算【详解】由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）由三视图知1r，321411112333V 故选：B【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体都是球和圆锥的体积公式解题关
3、键是由三视图还原出几何体 4以下说法错误的是（）A命题“若2320 xx 则 x=1”的逆否命题为“若x1,则2320 xx”B“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件 C若pq为假命题,则pq、均为假命题 D若命题 p:x R,使得210 xx 则p x R,则210 xx 【答案】C【解析】若pq为假命题,则只需pq、至少有一个为假命题即可.5若复数221aii（aR）是纯虚数，则复数22ai在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】化简复数221aii，由它是纯虚数，求得a，从而确定22ai对应的点的坐标【详解】221aii2()(1)
4、1(1)(1)(1)aiiaa iii 是纯虚数，则1010aa，1a，2222aii ，对应点为(2,2)，在第二象限 故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义本题属于基础题 6湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：设球半径为，则,解得：所以球面上的点到冰面的最大距离为 故选 B.【考点】空间几何体的结构特征.7设函数()3sin(2)cos(2)f xxx(|)2，且其图像关于直线0 x 对称，则（）A()yf x的最小正周期为，且在(0,)2上
5、为增函数 B()yf x的最小正周期为2，且在(0,)4上为增函数 C()yf x的最小正周期为，且在(0,)2上为减函数 D()yf x的最小正周期为2，且在(0,)4上为减函数【答案】C【解析】试题分析：()3sin(2)cos(2)f xxx2sin(2)6x，函数图像关于直线0 x 对称，函数()f x为偶函数，3，()2cos 2f xx，22T，02x，02x，函数()f x在(0,)2上为减函数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8定义在R上的偶函数 f x满足 2f xf x，且当 0,1x时，f xx，则函数 2lo
6、gyf xx的零点个数为()A2 B3 C4 D6【答案】A【解析】函数 2logyf xx的零点个数即为函数 yf（x）与函数2logyx图象的交点个数，由题意，作出函数图象观察即可得出零点个数【详解】解：由题意，函数 f（x）的周期为 2，且关于 y 轴对称，函数 2logyf xx的零点个数即为函数 yf（x）与函数2logyx图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象观察可知，共有两个交点 故选：A【点睛】本题考查函数零点个数判断，解决这类题的方法一般是转化为两个简单函数，通过数形结合，观察两函数图象的交点个数，进而得到零点个数，属于基础题 9设x，y满足约束条件0431
7、2xy xxy，则2241xyx的取值范围是（）A4,12 B4,11 C2,6 D 1,5【答案】A【解析】作出可行域，22412211xyyxx，利用11yx的几何意义求解【详解】作出可行域，如图OAB内部（含边界），22412211xyyxx，11yx表示(1,1)P与可行域内点(,)M x y连线的斜率，(0,4)B，1 451 0PBk ，由图中知11,51yx，1224,121yx 故选：A【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式11yx的几何意义 10若函数 21212axxxfxxx 在R上单调递减，则实数a
8、的取值范围是（）A,1 B1,4 C1,2 D1,2 【答案】D【解析】分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系【详解】由题意012242 12 1aaa ，解得12a 故选：D【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）11ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b，2c，O为ABC的外心，则AO BC（）A132 B52 C52 D6【答案】B【解析】取BC的中点D，可得0OD CB，这样AO BCAD BC，然后都用,AC AB表示后运算即可【详解】取BC的中
9、点D，连接,OD AD，O是ABC外心，ODBC，0OD CB，()AO BCADDOBCAD BCDO BC1()()2AD BCACABACAB2222115()(32)222ACAB 故选：B 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC的中点D，把AO BC转化为AD BC，再选取,AC AB为基底，用基底进行运算 12已知函数 2ln xxtf xx，tR，若存在1,22x，使得 0f xxfx，则实数t的取值范围是（）A,2 B3,2 C9,4 D,3【答案】C【解析】先构造函数 g xxf x,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数t的取值范围.【详解】令
10、2lng xxfxxxt，则存在1,22x，使得 0g xf xxfx,即11120,22xttxxx的最大值，因为11y22xx在12,22上单调递减，在2,22上单调递增，所以11y22xx最大值为11922224,因此94t，选 C.【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()fxf x构造()()xf xg xe，()()0fxf x构造()()xg xe f x，()()xfxf x构造()()f xg xx，()()0 xfxf x构造()()g xxf x等 二、填空题 13已知等差数列 na，nb的前n项和分别为nS，nT，
11、若212nnSnTn，则88ab_.【答案】3117【解析】利用等差数列的性质21(21)nnSna可把项的比转化为前n项和的比【详解】数列 na，nb都是等差数列，88158815152 15 1311515217aaSbbT 故答案为：3117【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列 na中，2(,*)mnp m n pN2mnpaaa 由此有12121(21)()(21)2nnnnaaSna 14观察分析下表中的数据：多面体 面数（F）顶点数（V)棱数（E)三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中，EVF，所满足的等式是_.【答案】2FVE【解析
12、】试题分析：三棱锥：5,6,9FVE,得56 92FVE ；五棱锥：6,6,10FVE,得66 102FVE；立 方 体：6,8,12FVE,得68 122FVE；所以归纳猜想一般凸多面体中，EVF，所满足的等式是：2FVE，故答案为2FVE【考点】归纳推理.15已知函数x4f(x)=x+,g(x)=2+ax，若121,1,2,3,2xx使得 12f xg x，则实数a的取值范围是_【答案】(,1 【解析】满足题意时应有：f（x）在11,12x的最小值不小于 g（x）在 x22，3的最小值，由对勾函数的性质可知函数4f(x)=x+x 在区间1,12上单调递减，f（x）在 11,12x的最小值为
13、 f（1）=5，当 x22，3时，g（x）=2x+a 为增函数，g（x）在 x22，3的最小值为 g（2）=a+4，据此可得：5a+4，解得：a1，实数 a 的取值范围是（，1，故结果为：,1。点睛：这是典型的双变元问题，首先将问题转化为在所给定义域上 f（x）的最小值不小于 g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目 16 以双曲线2222:1xyCab0,0ab的右焦点,0F c为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若23ABc，则双曲线C的离心率
14、为_【答案】3 55【解析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可【详解】解：双曲线的一个焦点为 F（c，0），双曲线的一条渐近线为 ybax，即 bxay0，焦点到渐近线的距离 d22bcbcbcab，|AF|BF|a，|AD|2222AFDFab，则|AB|2|AD|22223abc，平方得 4（a2b2）49c2，即 a2c2+a219c2，则 2a2109c2，则 c295a2，则 c3 55a，即离心率 e3 55，故答案为：3 55 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键 三、解答题 17在ABC中
15、，角 A，B,C 的对边分别是 a,b,c,已知11,2,cos4abC（1）求ABC的周长（5 分）（2）求值：cos()AC的值（5 分）【答案】（1）5（2）11cos()16AC【解析】(1)先根据余弦定理求出 c，进而可求出三角形周长。（2）根据两角差的余弦公式，需要求出角 A、C 的正余弦。在第（1）问的基础上，可以进一步求出角 A 的余弦，然后再借助同角的三角函数关系式求出 A、C 的正弦。问题得解。解：（1）c=2,周长为 5（2）15sin4C，157sin,cos88AA11cos()16AC 18已知数列 na的各项均为正数，其前n项和为nS，且11224nnaS，nN.
16、(1)求数列 na的通项公式；(2)设1()2nnnba，求数列 nb前n项和为nT.【答案】（1）nan （2）122()2nnTn【解析】(1)由11224nnaS，可得212nnnSaa，采用相邻两式作差的方式，可知 na是等差数列，从而得到数列 na的通项公式；(2)易得：11()()22nnnnban，利用错位相减法求和即可.【详解】解：(1）依题知212nnnSaa，211112aaa，又0na 11a 211112nnnSaa 由-得221112nnnnnaaaaa 2211nnnnaaaa，则11nnaa na是等差数列，1(1)1nann .(2)11()()22nnnnba
17、n，23111112()3()()2222nnTn ，2341111111()2()3()()22222nnTn 两式相减得23411111111()()()()()2222222nnnTn，11()112()22()12212nnnnTnn.【点睛】本题考查了利用递推关系求通项公式，错位相减法求和，等差数列通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题.19如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADDCBC，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE 平面ABCD，1CF.(1)证明：BC 平面ACFE；(2)设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求cos的取值范围.
18、【答案】（1）证明见解析 （2）7 1cos,72【解析】(1)先证明BCAC，结合面面垂直性质定理即可得到BC 平面ACFE；(2)建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB与平面FCB的法向量，表示cos，求函数的值域即可.【详解】解：（1）证明：在梯形ABCD中，因为/ABCD，1ADDCCB，60ABC 所以2AB，所以2222cos603ACABBCAB BC，所以222ABACBC，所以BCAC.因为平面ACFE 平面ABCD，平面ACFE 平面ABCDAC，因为BC 平面ABCD，所以BC 平面ACFE.（2）由（1）可建立分别以直
19、线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令03FM，则0,0,0C，3,0,0A，0,1,0B，,0,1M.3,1,0AB ，,1,1BM.设1,nx y z为平面MAB的一个法向量，由1100n ABn BM得300 xyxyz，取1x，则11,3,3n，21,0,0n 是平面FCB的一个法向量 1212cosn nnn 211 331 2134 03，当0时，cos有最小值77，当3时，cos有最大值12 7 1cos,72.【点睛】本题考查线面垂直的证明，二面角的度量，考查推理能力、计算能力以及空间想象能力，属于中档题.20如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于
20、 点，与椭圆 分别交于与不同四点，直线的斜率满足已知当 与 轴重合时，.（）求椭圆 的方程；（）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由【答案】（）；（），和.【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.试题解析：当与轴重合时，,即,所以垂直于轴，得，,得,椭圆的方程为.焦点坐标分别为,当直线或斜率不存在时，点坐标为或;当直线斜率存在时，设斜率分别为,设由,得：,所以:，,则：.同理：,因为,所以,即,由题意知,所以，设
21、，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.【考点】圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，得,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.21已知函数 ln30f xxaxa.(1)讨论函数 f x的零点个数；(2)若1,2a，函数 232()2xg xxmfx在区间,3a有最值，求实数m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）32
22、1932m 【解析】(1)求出 1fxax，分析函数的单调性，进而明确函数的极值，数形结合即可得到函数 f x的零点个数；(2)由 g x在,3a上有最值，可知 g x在,3a上不单调，从而可得结果.【详解】解（1）0 x，1fxax，若0a，0fx，f x在0,上单调递增，且 330f eae，0 x 时，f x，此时，f x存在唯一零点；若0a，10axfxx，1xa 所以1(0,)xa，f x单调递增，1(,)xa，f x单调递减，max1()ln4fxfaa，当ln40a，即4ae时，f x无零点；当ln40a，即4ae时，f x有一个零点；当ln40a，即40ae时，f x有两个零点
23、；综上：0a 或4ae时，f x有一个零点；40ae时，f x有两个零点；4ae时，f x无零点.(2)232()2xg xxmfx，2321g xxma x.g x在,3a上有最值，g x在,3a上不单调，而 010g ，300gga 恒成立.又 1,2a，由 105gamaa192m，3230326603gmam，故321932m.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力 22在平面直角坐标系中.已知曲线3cos:2sinxCy(为参数)，
24、.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cossin)6l.(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标.【答案】（1）l的直角坐标方程:260 xy,曲线C的普通方程:22134xy （2）3(,1)2P，2 5maxd【解析】（1）利用三种方程的互化方法，求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）设3cos,2sinP，求出圆心到直线 l 的距离，即可在曲线 C 上求一点 P，使点 P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值【详解】解：（1）l的直角坐标方程为260 xy 曲线C
25、的普通方程为22134xy（2）设3cos,2sinP，则4sin()635d 当sin()13 时，d最大，3(,1)2P，2 5maxd，【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 23已知函数 2f xxxa，0a.（1）当1a 时，求不等式 4f x的解集；（2）若 4f x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）2|23xx；（2）4a 【解析】（1）按绝对值定义去绝对值符号后再解不等式；（2）按绝对值定义去绝对值符号后得分段函数，求得其最小值，由最小值4可解得a的范围.【详解】（1）当1x 时，解得12x 当01x时，解得01x 当0 x 时，解得203x 不等式的解集为2|23xx（2）当xa时，32f xxa；当0 xa时，2f xxa ；当0 x 时，32f xxa；所以 f x的最小值为a，4a.【点睛】本题考查含绝对值不等式的问题，含绝对值不等式可按绝对值定义去掉绝对值符号，化为分段函数，再分类求解不等式恒成立问题可转化为求函数的最值