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1、用心爱心专心1 惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试题(文科）本试卷共4 页，21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题（本大题共10 小题，每
2、小题5 分，满分 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1设集合1Px x，210Qxx，则下列结论正确的是（）APQ BPQR CPQ DQP2已知a为实数，如果1zaai为纯虚数，则实数a等于（）A0 B 1 C1 D 1 或 0 3已知向量,a b，则“/ab”是“0ab”的（）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要4若定义在R上的偶函数()(,0f x 在上单调递减，且(1)0f，则不等式()0f x的解集是（）A),1()1,(B)1,0()1,(C)1,0()0,1(D),1()0,1(5设等比数列na的公比,21q前n项和为nS，则44S
3、a=（）.A31 B15 C16 D32 6已知变量,x y满足0,3,0.xyxy则xy的最大值是（）A.6 B.5 C.4 D.3 7已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图1 所示，则在下列对应图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）正视图侧视图用心爱心专心2 A B C D8某流程图如图2 所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是()A.2()f xx B.1()f xxxC.()xxxxeef xee D.2()logfxx9直线20axya与圆229xy的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定10一组数据共有7 个整数，记得其中有2，2，2，4，5，1
4、0，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A11 B 3 C17 D9 二、填空题（本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分 20 分.）（一）必做题（第11 至 13 题为必做题，每道题目考生都必须作答。）11在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，,3,13Aac，则ABC的面积 S=_12已知椭圆222124xyaa的离心率为55，则a_.13记等差数列na的前n项的和为nS,利用倒序求和的方法得：2)(1nnaanS；类似地，记等比数列nb的前n项的积为nT，且0nb*(nN)，试类比等差数列求和的方法，
5、可将nT表示成首项1b，末项nb与项数n的一个关系式，即nT=_（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14 题的分。）14（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）在 极 坐 标 系 下，圆2的 圆 心 到 直 线sin2cos1的距离是15.(几何证明选讲选做题)如图3，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知4 2AD，圆O的半径4rAB，则圆心O到AC的距离为开始()f x输入函数否结束是?存在零点()f x输出函数()()?fxf x是否图 2 OB D A C 图 3 用心爱心专心3 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分.解答须写出文
6、字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12 分）已知函数()sin()(0,0)fxx的最小正周期为，且函数()f x的图象过点,12（1）求和的值；（2）设()()()4g xfxfx，求函数()g x的单调递增区间17（本小题满分12 分）一个盒子中装有4 张卡片，每张卡片上写有1 个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.（1）若一次从中随机抽取3 张卡片，求3 张卡片上数字之和大于或等于7 的概率；（2）若第一次随机抽1 张卡片，放回后再随机抽取1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 2 的概率18（本小题满分14 分）如图 4，在三棱柱111CBAABC中，
7、底面ABC是边长为2 的正三角形，侧棱长为3，且侧棱1AA面ABC，点D是BC的中点（1）求证：DCAD1；（2）求证：1A B/平面1ADC19（本小题满分14 分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线xy162的焦点P为其一个焦点，以双曲线191622yx的焦点Q为顶点。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点)0,1(),0,1(BA，且DC,分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求AMBM的取值范围。20（本小题满分14 分）已知函数32()(0,)f xaxbxcx axR为奇函数，且()f x在1x处取得极大值2.C B A ABCD 图 4 用心爱
8、心专心4（1）求函数()yf x的解析式；（2）记()()(1)lnfxg xkxx，求函数()yg x的单调区间。21（本小题满分14 分）当nppp,21均为正数时，称npppn21为nppp,21的“均倒数”已知数列na的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为121n（1）求数列na的通项公式；（2）设12nacnn*nN，试比较1nc与nc的大小；（3）设函数124)(2naxxxfn，是否存在最大的实数，使当x时，对于一切正整数n，都有0)(xf恒成立？惠州市 2012 届高三第二次调研考试文科数学参考答案与评分标准一.选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号1
9、2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C B B A B A D C C D 1【解析】210Qxx1|2x x，PQ，选 C.2【解析】1zaai为纯虚数，则1=0a，=1a，选 B.3【解析】“/ab”只要求两向量共线，而“0ab”要求反向共线且模相等，选B.4【解析】运用数形结合可得解集为),1()1,(，选 A.5【解析】4144443411111221152aqSqaaq，选 B.用心爱心专心5 6【解析】如图知xy的最大值是6，选 A.7【解析】图的正视图最底层应该是两个矩形组成，其它图形都满足要求，选D.8【解析】流程图的功能是实现输出存在零点的奇函数，选项中 A和 D为非奇
10、函数，B函数无零点，根据排除法选C.9【解析】直线20axya20a xy即直线恒过点2,0，点2,0在圆内，所以直线与圆相交，选C.10【解析】设没记清的数为x，若2x，则这列数为x，2，2，2，4，5，10，则平均数为257x，中位数为2，众数为 2，25222117xx，若24x，则这列数为2，2，2，x，4，5，10，则平均数为257x，中位数为x，众数为 2，252237xxx，若5x，则这列数为2，2，2，4，5，x，10，或 2，2，2，4，5，10，x，则平均数为257x，中位数为4，众数为2，25242177xx，所有可能值的和为11 3179，选 D.二.填空题（本大题每小
11、题5 分，共 20 分）注意：14 15 题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14 题的分。1132 12 5 13nnbb)(1 1455 15 2 311【解析】由正弦定理311sinsinsinsin26sin3acCCACC或56（舍），2ACABC为直角三角形，直角边为,a c，ABC面积为32.x y O y=3 y=x 用心爱心专心6 12【解析】椭圆的离心率为222541155beaaa.13【解析】12nnTbbb，11nnnTbbb，两式相乘得，21121nnnnTb bbbb b由等比中项性质得1nnnTbb14 【解 析】圆2转 化 为 直 角 坐 标 方 程
12、 为224xy，圆 心 为0,0，直 线sin2cos1转化得方程为21yx，距离为2215512.15【解析】作OEAC于E，则OE为所求。由切割线定理得2ADAB AC24248ACAC，42BCBE，由勾股定理可得2 3OE.三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本题满分12 分）解：（1）由图可知222T，2分又由()12f得，sin(2)12，得sin102，4分（2）由（1）知：()sin(2)cos22f xxx6 分因为()cos2cos(2)cos2sin 22g xxxxx2 sin(2)4x9 分所以，222242kxk
13、，即3 (Z)88kxkk.1 1 分故函数()g x的单调增区间为3,(Z)88kkk.12 分17（本题满分12 分）解：（1）设A表示事件“抽取3 张卡片上的数字之和大于或等于7”，OB D A C E 用心爱心专心7 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共 4 种2 分其中数字之和大于或等于7 的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共 3 种4 分所以()P A.6 分（2）设B表示事件“至少一次抽到2”，每次抽 1 张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1
14、）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共 16 个.8 分事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共 7 个.10 分所以所求事件的概率为()P B.12 分18(本小题满分14 分)（1）因为三棱柱111CBAABC是正三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以ADCC1，2 分又点D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以ADBC，因为1BCC CC，所以AD平面11BBCC，4 分又因为1DC平面11BBCC，所以DCAD17 分(2)连接CA1交1AC
15、于点E，再连接DE 9 分因为四边形11ACCA为矩形，所以E为CA1的中点，10 分又因为D为BC的中点，所以1/EDA B.12 分又1A B平面1ADC，ED平面1ADC，所以1/A B平面1ADC14 分C B A A1 B1 C1 D E 用心爱心专心8 19(本小题满分14 分)解：（1）抛物线xy162的焦点P为(4,0)，双曲线191622yx的焦点Q为(5,0)2 分可设椭圆的标准方程为22221xyab，由已知有0ab，且5a，4c 3分225169b，椭圆的标准方程为221259xy。5 分（2）设00(,)M xy，线段CD方程为153xy，即335yx(05)x 7
16、分点M是线段CD上，00335yx0(05)x0000(1,),(1,)AMxyBMxy，AMBM22001xy，10 分将00335yx0(05)x代入得AMBM22003315xxAMBM20034188255xx203445191253434x12 分005x，AMBM的最大值为24，AMBM的最小值为19134。AMBM的取值范围是191,2434。14 分20(本小题满分14 分)解：（1）由32()f xaxbxcx（a0）为奇函数，()()fxf x，代入得，0b1 分2()3fxaxc，且()fx在1x取得极大值2.(1)0,30,(1)2,2.facfac解得1a，3c，3(
17、)3f xxx 4 分（2）2()3(1)lng xxkx，定义域为(0,)212(1)()2(1)xkgxxkxx5 分用心爱心专心9 1当10k，即1k时，()20gxx，函数在(0,)上单调递减；7 分2当1k，10k，0 x，221()0 xkgxx函数在(0,)上单调递减；9 分3当1k，10k，令221()00 xkgxx，0 x，2210 xk，解得1122kkx，结合0 x，得102kx 11 分令221()00 xkg xx，解得12kx12 分1k时，函数的单调递增区间为10,2k，递减区间为1,2k，13分综上，当1k时，函数的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间，当1
18、k时，函数的单调递增区间为10,2k，递减区间为1,2k 14 分21（本小题满分14 分）解：（1）121(21)nnaaaann，121(1)(21)naaann，两式相减，得41(2)nann.又111211a，解得13411a，41()nannN.4 分（2）4132212121nnancnnn，11322323nnacnn，1332123nnccnn0，即1nncc.8分（3）由（2）知数列nc是单调递增数列,11c是其的最小项，即11ncc9 分假设存在最大实数,使当x时,对于一切正整数n，用心爱心专心10 都有2()4021naf xxxn恒成立，11 分则2421nnaxxcn()nN只需2141xxc，12 分即2410 xx解之得23x或23x于是，可取2314 分