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1、1/8 第一讲 找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.开篇小练习：1、有一列数，观察规律，并填写后面的数，5，2，1，4，_，_，_。2、有一组数为：11 11 111,23 45 67 找规律得到第11 个数是 _,第 n 个数是_ 3、小凡在计算时发现，1111=121，111111=12321，11111111=1234321，他从中发现了一个规律。你
2、能根据他所发现的规律很快地写出 111111111111111111=_吗?答案是_。4、四个同学研究一列数：1，3，5，7，9，11，13，照此规律，他们得出第 n 个数分别如下，你认为正确的是 （）A.2n1 B.12n C.(1)(21)nn D.1(1)(2 1)nn 5、如图，是用积木摆放一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图形中共有 块积木 6、观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，y，则 2x-y=_ 7、观察下列各式：1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256,，请你根据上述规律，猜想108的末位数字是_.8、观察下
3、列各式：3211 3323332333321231236123410 猜想：33331 2 310 _ L 2/8 典型例题：一、数字排列规律题 1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 _ _ 2、请填出下面横线上的数字。1 1 2 3 5 8 _ 21 3、有一串数，它的排列规律是 1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聪明的你猜猜第100 个数是什么？4、有一串数字 3 6 10 15 21 _ 第 6 个是什么数？5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第 2005 个数是（）.A1 B2 C3 D4 6、1
4、00 个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100 个数的前两个数依次为 1，0，那么这 100 个数中“0”的个数为 _个 7、一组按规律排列的数：41，93，167，2513，3621，请你推断第 9 个数是 8、已知下列等式：1312；132332；13233362；13233343102；由此规律知，第个等式是 9、观察下列各式；、12+1=12；、22+2=23；、32+3=34；请把你猜想到的规律用自然数 n 表示出来 。10、观察下面的几个算式：、1+2+1=4；、1+2+3+2+1=9；、1+2+3+4+3+2+1=16；、1+2+3+4+
5、5+4+3+2+1=25，根据你所发现的规律，请你直接写出第 n 个式子 11、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第 2005 个数是（）A1 B 2 C3 D4 12、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第 10 个数为_。第 1 行 1 第 2 行 2 3 第 3 行 4 5 6 第 4 行 7 8 9 10 第 5 行 11 12 13 14 15 3/8 图 1 图 2 图 3 21 题图 13、已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成如上
6、所示的形式：按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边数第 5 个数等于 14、观察下列各算式：1+3=4=2 的平方，1+3+5=9=3 的平方，1+3+5+7=16=4 的平方 按此规律（1）试猜想：1+3+5+7+2005+2007 的值？（2）推广：1+3+5+7+9+（2n-1)+（2n+1)的和是多少？二、几何图形变化规律题 1、观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：从第 1 个球起到第 2005 个球止，共有实心球 个 2、如图，在图 1 中，互不重叠的三角形共有 4 个，在图 2 中，互不重叠的三角形共有 7 个，在图 3 中，互不重叠的三角形共有 10 个，则在第n
7、个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n的代数式表示）。3、（2005年宁夏回族自治区）“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植.按此规律第六个图案中应种植乙种植物 _ 株.图 1 图 2 （第四题）4、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）（1）当n=5 时，共向外作出了 个小等边三角形（2）当n=k时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k的式子表示）n=3 n=4 n=5 4/8 5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第 n 个图案需要用白色棋子
8、枚（用含有 n 的代数式表示）6、观察下面图形我们可以发现：第 1 个图中有 1 个正方形，第 2 个图中共有 5 个正方形，第 3个图中共有 14 个正方形，按照这种规律下去的第 5 个图形共有_个正方形。7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子 观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 块石子 8、观察数表，根据其中的规律，在数表中的 内填入适当的数。1 1 -1 1 -2 1 1 -3 3 1 1 -4 6 -4 1 1 -5 -10 5 -1 1 -6 -20 15 -6 1 5/8 三、根据已知等式探究规律 1、已知下列等式：1312；132332；13233362；13233
9、343102；由此规律知，第个等式是 2、观察下面的几个算式：1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+99+100+99+3+2+1=_ 3、已知下列等式：13=12 13+23=32 1+23+33=62 13+23+33+43=102 由此规律可知，第个等式是 4、观察下列等式：21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；用你发现的规律确定 22007的个位数学数字是 分析：观察计算结果的末位数字，依次按 2，4，8，6
10、 循环出现。而 20074=5013，故 22007的个位数字与 23的个位数字相同，所以 2 的个位数字是 8 19.研究下列等式，你会发现什么规律？13+1=4=22 24+1=9=32 35+1=16=42 46+1=25=52 设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.6/8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 1819 20 21 22 2324 25 26 27 28dcba5、探索规律 可写成 ,可写成 可写成,可写成 （1）把这个规律用含有n的式子写出来；（2）计算 952 6、，若符合前面式子的规律，则。10102babaab 四、与数阵有关
11、的问题 1、（下图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4 个数 则：（1）、a、c 的关系是：_ _；（2）、当 abcd32 时，a_ _ 2、上面给出的是 2004 年 3 月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A69 B54 C27 D40 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 7/8 3、将连续的自然数 1 至 36 按下图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任
12、意圈出其中的 9 个数，设圈出的 9 个数的中心的数为 a，用含有 a 的代数式表示这 9 个数的和为 。4、上图的数阵是由全体奇数排成（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；（3）这九个数之和能等于 2006 吗？，1017 呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。五、与视图、展开图有关的问题 1、如图是几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（）2、下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几
13、何体中，小正方体的个数是（）A、7 B、6 C、5 D、4 3、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如上图，是一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面，“前”为后面，则“祝”表示正方体的 面 图 中 有 规 律1 2 2 1 A D B C 图(12)锦似程前你祝 8/8 4、下图可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是 （A）、7 （B）、8 （C）、9 （D）、10 5、如图，1P是一块半径为 1 的半圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,nP PPLL，记纸板nP的面积为nS，试计算求出2S ；3S ；并猜想得到1nnS S 2n。1 2 3 6 4 5