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1、1/8 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 ABAABBUUABC BC A UAC B UC ABR 2 集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2个.3.充要条件 （1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4.函数的单调性(1)设2121,xxbaxx那么 1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()
2、0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.5.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy 和)(xgu 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy 是增函数.6奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 7.对于函数)(x
3、fy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.8.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2），)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0)f x,则)(xf的周期 T=2a；9.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.10根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.11有理指数幂的运算性质(1)(
4、0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.12.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.负数和零没有对数，.1 的对数等于 0：01loga，.底的对数等于 1：1logaa，.积的对数：NMMNaaaloglog)(log，商的对数：NMNMaaalogloglog，2/8 幂的对数：MnManaloglog；bmnbanamloglog 13.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n
5、,且1m,1n,0N).15.11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).16.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n.17.等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q.18.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin 19 正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 20 和
6、角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos 2222cos2cossin2cos1 1 2sin （21 cos2cos2，21 cos2sin2）22tantan21 tan 22.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.2
7、3.正弦定理 (n 为偶数)(n 为奇数)3/8 2sinsinsinabcRABC.24.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.25.面积定理111sinsinsin222SabCbcAcaB（2）.26.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.27.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.28.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（
8、a+b）c=a c+bc.30向量平行的坐标表示 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 a b(b0)12210 x yx y.31.a与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 32.数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 33.平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a
9、=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y.34.两向量的夹角公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).35.平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).36.向量的平行与垂直 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y.ab(a0)ab=012120 x xy y.37.三角形的重心坐标公式 ABC三 个 顶 点 的 坐 标
10、 分 别 为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则 ABC 的 重 心 的 坐 标 是123123(,)33xxxyyyG.设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA.38.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）bababa.39 已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；4/8
11、（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.40.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或xa.41.斜率公式 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.42.直线的五种方程 （1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxBy
12、C(其中 A、B 不同时为 0).43.两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkk bb;12121llk k.(2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.45.点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).46.圆的四种方程（1）圆的标准
13、方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).47.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.48.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.49.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF(2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为
14、200 x xy yr;50.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.5/8 51.椭圆22221(0)xyabab焦半径公式 )(21caxePF，)(22xcaePF.52椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.53.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21|()|aPFe xc，22|()|aPFexc.54.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：2222
15、0 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.55.抛物线pxy22的焦半径公式 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或 2222211212(1)()|1tan|1tABkxxxxyyco（弦端点 A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，
16、k为直线的斜率）.57(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0)，ab存在实数使 a=b PAB、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB.60.向量的直角坐标运算 设a123(,)a a a，b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa(R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b；61.设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则ABOBOA=2121
17、21(,)xx yy zz.62空间的线线平行或垂直 设111(,)ax y z，222(,)bxy z，则ab0a b1212120 x xy yz z.63.夹角公式 设a123(,)a a a，b123(,)b b b，则 cosa，b=1 1223 3222222123123aba ba baaabbb.64异面直线所成角cos|cos,|a b=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyz（其中（090）为异面直线a b,所成角，,a b分别表示异面直线a b,的方向向量）65.直线AB与平面所成角 6/8 sin|AB marcAB m(m为平面
18、的法向量).66.二面角l 的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量）.134.空间两点间的距离公式 若 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz.67.球的半径是 R，则 其体积343VR,其表面积24SR (3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.6813VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.69.分类计数原理（加法原理）12nNmmm.70.排列数公式 m
19、nA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)注:规定1!0.71.组合数公式 mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn).72.组合数的两个性质(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.注:规定10nC.155.组合恒等式（1）11mmnnnmCCm;（2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm;（4）nrrnC0=n2;73.排列数与组合数的关系mmnnAm C！.74单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有11mnA种；某（特）元不在某
20、位有11mnmnAA（补集思想）1111mnnAA（着眼位置）11111mnmmnAAA（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkAA种.浮动紧贴：n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有kkknknAA11种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有 k、h 个（1 hk），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhAA1种.（3）两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1 mn时，无解；当1 mn时，有nmnnnmCAA11种排法.（4）两组相同元素的排列
21、：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmC.75分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22.（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN)!(!)!(!.22.7/8（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，mn件，且1n，2n，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!.!
22、.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm.76.二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，.77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()(1).kkn knnP kC PP 78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)iPi;（2）121PP.79.数学期望1 122nnEx Px Px P 80.数学期望的性质（1）()()E abaEb.（2）若(,)B n p,则Enp.81.方差2221122nnDxEpxEpxEp标准差=D.82.方差的性
23、质(1)2D aba D；(2）若(,)B n p，则(1)Dnpp.83.)(xf在),(ba的导数()dydffxydxdx00()()limlimxxyf xxf xxx .84.函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy 在点0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy.85.几种常见函数的导数(1)0C（C 为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln；axaxln1)(log(6)xxee)(;aaaxxln)(.
24、86.导数的运算法则（1）()uvuv.（2）()uvu vuv.（3）2()(0)uuvuvvvv.87.复合函数的求导法则 设函数()ux在点x处有导数()xux，函数)(ufy 在点x处的对应点 U 处有导数()uyfu，则复合函数()yfx在点x处有导数，且xuxyyu，或写作()()()xfxfux.89.复数的相等,abicdiac bd.（,a b c dR）90.复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab.91.复数的四则运算法(1)()()()()abicdiacbd i(2)()()()()abicdiacbd i;(3)()()()()abi cdiacbdbc
25、ad i;(4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd.的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 6 4 3 2 32 43 65 23 2 sin 0 21 22 23 1 23 22 21 0 1 0 cos 1 23 22 21 0 21 22 23 1 0 1 tan 0 33 1 3 无 3 1 33 0 无 0 8/8 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 函 数 性 质