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1、.高中数学常用公式及常用结论1.包含关系ABBUACBAUCUR2集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集有12,na 2n2n2n2 个.n3.充要条件（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.pq（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件 .pq注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4.函数的单调性(1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减)(fy)(
2、f)(xf 0)(xf)(xf函数.5.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内 ,和函数 也是减函数; 如果函数xg )(g和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.)(ufy)( fy6奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数7.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函)xfyR)()(xbfaxf)(xf 2bax数 与 的图象关于直线 对称.)(axfyb28.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）
3、，则 的周期 T=a；)(f)(xf（2） ， ，或 ,则 的周期 T=2a；01x 1()(fafx)0)(xf9.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.(2) （ ，且 ）.mna,anNmna,nN110根式的性质（1） .（2）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .()nna,0|na11有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3) .(0,)rsrsaQ()(0,)rsrsQ()(,)rrbbrQ12.指数式与对数式的互化式 .logbaN1aN.负数和零没有对数， .1 的对数等于 0： ，.底的对数等于 1： ，1loga loga.积的对数： ，商的对数： ，NMNaaalogl)
4、(log NMNaaalogllog幂的对数： ；nbmnal13.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).loglma0101m0推论 ( ,且 , ,且 , , ).logmnabnnN15. ( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsa12nsa16.等差数列的通项公式 ；*11()()nd其前 n 项和公式为 .2nas1()2n21dnadn17.等比数列的通项公式 ；*1nqN其前 n 项的和公式为 或 .1(),nas1,nnqsa18.同角三角函数的基本关系式 ， =22sicotacosi19 正弦、余弦的诱导公式 21()in,sin(2sco20 和角与差角公式
5、;i()icossin;.tantan1t= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).sincosab2si)b()abtanb21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： i2i （ ， ） 2222cssncos1sin21coscs21cosi 2tatn122.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcos()yx(n 为偶数)(n 为奇数).；函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .2Ttan()yx,2kZT23.正弦定理 .2sinisibcRABC24.余弦定理; ; .22oaA2cosbaB22cosabC25.面
6、积定理 （2）.11sinsiinSa26.三角形内角和定理 在ABC 中，有 .()BCCA2()AB27.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.28.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律） ;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.30向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) .1()xy2(,)A1210xy31. a 与 b 的数量积(或内积) ab=|a|b|cos32.数量
7、积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积33.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1xy2(,)12(,)xy(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . ()(3)设 A ，B ,则 .12 21(,)ABOxy(4)设 a= ，则 a= .,R(,)(5)设 a= ,b= ，则 ab= .()xy(,)1)xy34.两向量的夹角公式 (a= ,b= ).221cos1)x2(,)y35.平面两点间的距离公式 =,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1()xy2(,)36.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b
8、 0，则2,xA|b b=a .121a b(a 0) ab=0 .2y37.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1A(x,)2B3C(xy).123123(,)xyG设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC, ,abc（1） 为 的外心 .（2） 为 的重心 .2OOAB0OABC（3） 为 的垂心 .BC38.常用不等式：.（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2ba（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)（3） .39 已知 都是正数，则有（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；yx, xypyxp2（2）
9、若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .s241s40.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 .aa或 .2xaxa41.斜率公式 （ 、 ）.12yk1(,)Py2(,)xy42.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11kxl1,Pk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).yb（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121(,)x2,xy12x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )xab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AByC43.两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ; .11:lykx22:lkxb112|,lk121
10、lk(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零,20yC ； ；11122|lAB21l( , , ).:0xyC:lx21直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .12l45.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).0|yCdAB0)Pxyl0AxByC46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()xaybr（2）圆的一般方程 ( 0).0DEF24EF47.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种 :0CByAx2)()(; ;交rd 交rd.其中 .2BACba48.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21;
11、 ;交交421rd 交交3d; ;交21 交1r.交交210rd49.圆的切线方程(1)已知圆 (2)已知圆 0xyDEF22xyr过圆上的 点的切线方程为 ;0(,)P050.椭圆 的参数方程是 .21)abcosinab51.椭圆 焦半径公式 ， .2(0xy )(21xePF)(22xcaePF52椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)P2(0)xyab201yab（2）点 在椭圆 的外部 .,xy212x53.双曲线 的焦半径公式 ， .21(0,)ab1|()|PFec22|()|aPFexc54.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .2yx
12、20xyabxb(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .ab02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴12yx 2byax00上）.55. 抛物线 的焦半径公式p抛物线 焦半径 .2(0)yx02pCFx过焦点弦长 .CD12156.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy（弦端点 A ，由方22212()|tan|tABkxxco),(),(21yxB程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 0),xFby0cbaABk57(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(
13、ab)=ab59 共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab 存在实数 使 a=b三点共线 .PAB、 、 |APBtA(1)OPtAB60.向量的直角坐标运算设 a ，b 则123(,)123(,)(1)ab ；(2) ab ；(3) a (R)；12,a123(,)ab123(,)a(4)ab ；361.设 A ，B ，则 = .1(,)xyz2(,)xyzABO2121(,)xyz.62空间的线线平行或垂直设 ， ，则 .1(,)axyzr2(,)bxyzrabr0r12120xyz63.夹角公式 设 a ，b ，则 cos a，b= .123,123, 322211abb6
14、4异面直线所成角 =cos|,|r22211| |xyzr（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）09oab,a,65.直线 与平面所成角AB( 为平面 的法向量).sin|marc66.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.lcos|mnarcos|mnar134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则 = .1(,)xyz2(,)xyz,ABd|AB222111()()()xyz67.球的半径是 R，则其体积 ,其表面积 34V24SR(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .a61a64a68 （
15、是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.13VSh柱 体 h13VSh锥 体 h69.分类计数原理（加法原理） .12nNm70.排列数公式 = = .( ， N *，且 )注:规定 .mnA)()n ！ )(mn1!071.组合数公式 = = = ( N *， ，且 ).C21！ ！ )n m72.组合数的两个性质(1) = ;(2) + = .注: 规定 .mnmnC110nC155.组合恒等式（1） ;（2） ;（3） ; （4）11m1n= ;nrC0n273.排列数与组合数的关系 .mnnA！74单条件排列以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.
16、（1） “在位”与“不在位”某（特）元必在某位有 种；某（特）元不在某位有 （补集思想） （着眼位置）1n 1mnA1mnA（着眼元素）种.11mnnA（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种.)(kkmn浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.注：此类问题常用捆绑法；k1插空：两组元素分别有 k、h 个（ ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有1.排列数有 种.khA1（3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？mn当 时，无解；当 时，有 种排法.1mnnmCA1（4）两组相同元素的
17、排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 .nmC75分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有.mnnmnmCCN)!(22（2）(平均分组无归属问题)将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有.nnn )!(!.2（3）(非平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分别得到)12mP=n+m， ， 件，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数共有12m12.!.211 mnpn npCN76.二项式定理 ;nrnrn bCabaCab 210)(二项展开式的通项公式
18、.rrnrbT1 )0(， 77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 (1).knknnPP78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1） ;（2） .,i 2179.数学期望 12nExPx 80.数学期望的性质（1） .（2）若 ,则 .()(abE()BpE81.方差 标准差 = .2211 nnDppxE D82.方差的性质(1) ；(2）若 ，则 .D(,)1)D83. 在 的导数 .)(xf,ba()dyffx00(limlixxyffx84. 函数 在点 处的导数的几何意义)(fy0函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是)(f)(,0fP)
19、(0f.00xf85.几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.(2) .(3) . 1()()nxQxcos)(sin(4) (5) ； (6) ; .xsin)(col allog eaxln)(86.导数的运算法则（1） .（2） .（3） .()uv()uv2()(0)uv87.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导数 ，则复合函x()xfyx()uyf数 在点 处有导数，且 ，或写作 .()yf uxy ()()fu89.复数的相等 .（ ）,abicdiacbd,acR90.复数 的模（或绝对值） = = .z|z|i2b.91.复数的四则
20、运算法(1) (2) ;()()()abicdiacbdi()()()abicdiacbdi(3) ;(4) .()abicd220ci的角度034560912035108736的弧度 6346sin2122210co31013tan03无 30无 015、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kmin1y当 时， xk；当may2时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数函 数性质.单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上是2,kk增函数；在 2上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴