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1、1/8 基于 Peclet 数判别法的一维对流扩散方程分类研究 摘要：采用 Peclet 数的绝对值大小来判别一维对流扩散方程为对流占优型或是扩散占优型方程，运用三种隐式差分格式中心隐式格式、对流 C-N 型格式和扩散 C-N 格式，对不同 Peclet数的算例进行离散和求解。然后，将计算区域中所有节点的解析解与数值解表示成矩阵形式，并求解出它们的矩阵 2 范数之后作比较，两者越接近则代表差分格式精度越高。通过比较得出了当方程 Peclet 数的绝对值小于等于 0.5 时，方程为扩散占优型方程。在离散方法选取方面，针对扩散项的离散可以采用更高精度的差分格式，如扩散 C-N 格式；当 Pecle
2、t 数的绝对值大于等于 20 时，方程为对流占优型方程。此时，针对对流项可以采用更高精度的差分格式，如对流 C-N 格式；当 Peclet 数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，无法用 Peclet 数判断方程类型,不过可以选择折衷的离散格式减小误差，如中心隐式格式。关键字：一维对流扩散方程 Peclet 数判别法 有限差分方法 数值模拟 MR(2010)主题分类号：39A14；65M06 中图分类号：O242.2 文献标识码：A 1.引言 一维对流扩散方程是描述流体流动和传热问题的一类线性化模型方程。土壤、大气等多孔介质中水、盐分、温度以及污染物质的对流扩散问题都会遇到此类方程。在一维对
3、流扩散方程的求解过程中，反映流体对流和扩散两种物理作用的分别是对流项和扩散项。所以，根据方程中对流项还是扩散项占主导作用，通常可将方程分为对流占优型和扩散占优型两类方程。然而，要想得到精确度较高的数值结果，这两种类型方程的离散方法不能采用相同的离散格式。因此，需要有一种判别方法来判断方程的类型，关于对流占优型和扩散占优型方程的判别方法一直是近年来研究的热点问题。这对研究不同类型的方程使用合适的差分格式进行离散具有实际的意义。由于 Peclet 数的绝对值表示了对流作用相对扩散作用的大小，即绝 大，扩散所起的作用就可以忽略。反之，当 Peclet 数为零时，方程就为纯扩散方程。本文选用一维定解非
4、稳态对流扩散方程为例，通过考察 Peclet 数的绝对值大小来对方程进行分类，方程一般形式如下：2(,),0122(1)(,0)()(,)(),(,)()12(,)uuuaf x t xxxttxxu xg xu x tt u xttuu x t 2/8 其中a和分别代表对流项系数和扩散项系数。假定求解区间长度为s，Peclet 数的绝对值计算公式为：.(2)asPe从公式（2）中可以看出，当计算区间长度给定，Peclet 数是由对流和扩散系数确定的1。下面介绍方程（1）的离散方法。2.离散方法 2.1 显式格式离散 对于上述方程（1），需要离散非稳态项（简称 U 项）、对流项（简称 C 项）
5、和扩散项（简称 D 项）。常见的离散方法有显式格式和隐式格式两种。显式格式有：中心显式格式、修正中心显式格式、迎风差分格式等。比如，以中心显式格式为例，即使用向前差分格式、一阶中心差分格式与二阶中心差分格式组合分别离散 U 项、C 项和 D 项。其离散形式如下：1111122(3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 其截断误差为2()oh。然而，由 von Neumann 判别条件判断此种格式将受到稳定性条件的限制，即：2221,2ah。相应其它显式格式同样有稳定性条件限制。所以，显示格式时间步长和空间步长h取值将受到限制。因此，若采用显式格式求解一维非稳态对流扩散方程问题，得
6、到的数值解精度将受到限制，甚至误差很大。所以，显式格式的离散效果欠佳，为了弥补它的缺陷，尝试采用无条件稳定的隐式格式离散（1）式。2.2 隐式格式离散 常见的隐式格式有三种：向后差分格式、一阶中心差分与二阶中心差分组合（简称中心隐式格式）；向后差分格式、C-N 型一阶中心差分与二阶中心差分组合（简称对流 C-N 型格式）；向后差分格式、一阶中心差分与 C-N 型二阶中心差分组合（简称扩散 C-N 型格式）。三种隐式格式的离散形式如下：1）中心隐式格式：111111111122()(4)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2）对流 C-N 型格式：3/8 111111111111
7、22()(5)44nnnnnnnnnjjjjjjjjjuuuuuuuuuahhh 3）扩散 C-N 型格式：1111111111112222()(6)222nnnnnnnnnnjjjjjjjjjjuuuuuuuuuuahhh 由 von Neumann 条件判断上述三种隐式格式均为无条件稳定的格式，即在网格系统较为粗糙时，也不会产生数值震荡现象。下面将给出上述三种差分格式的稳定性分析2。3.稳定性分析 将（4）（6）式分别按网格节点排列如下：11111(2)(2 4)(2)2(4)nnnnjjjja huua huu1111111(4)(48)(4)4(5)nnnnnnjjjjjja huua
8、 hua huua hu 1111111()(22)()(22)(6)nnnnnnjjjjjja huua huuuu其中网格比。假定2h(7)ikjhnnuvej其中cos()sin()ikhekhikh。把（7）式代入(4)(6)式并消去公因子ikjhe，容易求出上述四式的增长因子分别为：222(,)(8)(244cos()(2)Gkkha h2224(2(1)(,)(9)(244cos()(2)a hGkkha h 2224(1)4(1)cos()(,)(10)(244cos()(2)khGkkha h可以看出，(8)(10):式的值均小于等于 1。因此，满足 von Neumann 判
9、别条件。所以三种隐式格式均无条件稳定34。4.数值算例 为了通过 Peclet 数判别法讨论一维对流扩散方程的分类，运用上述（4）（6）式的三种离散格式进行了大量实例计算。本文列举其中部分数值算例如下。为了讨论的必要，所有4/8 算例的计算区间长度 s 均取 1m，模拟时间取 1s；时间步长取 0.1s，每个算例的空间步长分别取 0.2m，0.1m，0.05m 进行比较计算。按照方程（1），算例的条件依次如下：例 1 22(100)800(100 10)80010,0.1,01,0(,0),(0,)(1,)0(11)20(,)(),(,)04000.1xxtaxtu xeututu x tef
10、 x tt 例 2 21,0.05,01,0(,0)(1),(0,)(1,)0(12)(,)(1),(,)(312)ttaxtu xxx ututu x txx ef x txxe 例 3 90.099 0.0990.090.1,0.01,01,0(,0),(0,),(1,)(13)(,),(,)0 xttxtaxtu xeuteuteu x tef x t 例 4 255(0.010.25)0.1,0.01,01,0(,0)sin(),(0,)(1,)0(14)(,)sin(),(,)0 xx taxtu xex ututu x texf x t 例 5 1.7712434446770460
11、.091.771243444677046 0.091.7712434446770460.090.1,0.02,01,0(,0),(0,)(15)(1,)(,),(,)0 xttxtaxtu xeuteuteu x tef x t 例 6 5/8 1111111111,1,01,0(,0)1(1),(0,)(1,)0(16)(,)(1)(,)12(1)xxtxtaxtu xeexeututu x teexeef x teexee 例 7 1,1,01,0(,0)sin(),(0,)sin()(17)(1,)sin(1)(,)sin(),(,)0tttaxtu xx utetutetu x tex
12、tf x t 例 8 2221,1,01,0(,0),(0,)(1,)0(18)(,)(),(,)(1)ttaxtu xxx ututu x txx ef x txxe 例 9 1()1,1,01,0(,0),(0,),(1,)(19)(,),(,)xttx tx taxtu xe uteuteu x tef x te 例 10 20.250.25(0.0125 0.2)0.1,0.2,01,0(,0)sin(),(0,)(1,)0(20)(,)sin(),(,)0 xxtaxtu xx eututu x texf x t 例 11 20.220.22(0.0242 0.5)0.22,0.5,
13、01,0(,0)sin(),(0,)(1,)0(21)(,)sin(),(,)0 xxtaxtu xx eututu x texf x t 下表为以上 11 个算例5 10在使用三种格式离散和取不同空间步长的情况下，得到的解析解与数值解矩阵 2 范数之差的绝对值。这些数值能反映出各差分格式的数值解精度。当 2范数越小，代表数值解越接近于解析解，反之亦然11。6/8 表 1 三种格式在三种不同空间步长下的解析解与数值解矩阵 2 范数之差的绝对值 Tab.1 the absolute of difference of exact solution matrix and numerical solu
14、tion matrixs 2-norm under three different spacestep by three schemes h Peclet 数绝对值 中心隐式格式 对流 C-N 格式 扩散 C-N 格式 0.2 算例 1 100 5.715e-6 5.0108e-6 5.7789e-6 0.1 7.3631e-6 6.8768e-6 7.2649e-6 0.05 1.0115e-6 9.3392e-6 1.0084e-6 0.2 算例 2 20 0.012002 0.00051153 0.0059229 0.1 0.015879 0.0031784 0.0074252 0.05
15、 0.022052 0.0058942 0.010158 0.2 算例 3 10 60.552 93.587 91.824 0.1 110.07 117.73 106.86 0.05 60.552 76.316 48.411 0.2 算例 4 10 5.1283 5.1394 5.0108 0.1 2.4.41 2.353 2.1411 0.05 1.2856 1.1524 0.88665 0.2 算例 5 5 0.0022637 0.57092 0.001771 0.1 0.0011351 0.90959 0.0020185 0.05 0.0035621 1.3479 0.0049199 0
16、.2 算例 6 1 0.71437 0.99617 0.73997 0.1 1.007 1.4061 1.0457 0.05 1.4186 1.9831 1.4745 0.2 算例 7 1 0.013045 0.0091566 0.0053497 0.1 0.01829 0.012842 0.0064914 0.05 0.025631 0.018149 0.0085828 0.2 算例 8 1 0.0033683 0.0029494 0.031075 0.1 0.0046531 0.0039579 0.04415 0.05 0.0065412 0.0055206 0.062497 0.2 算例
17、 9 1 0.018874 0.0017841 0.04202 0.1 0.031024 0.0010974 0.067176 0.05 0.046277 0.00099537 0.099535 0.2 算例 10 0.5 0.14841 0.14782 0.037473 0.1 0.1694 0.16836 0.010001 0.05 0.22537 0.22382 0.00092494 0.2 算例 11 0.44 0.16976 0.16906 0.010148 0.1 0.21691 0.2157 0.0097485 0.05 0.29868 0.29689 0.022165 从上表中
18、可以发现，在相同的条件下，一方面，当方程 Peclet 数的绝对值为 20 或者以上时（算例 1 和算例 2），对于不同取值的空间步长，对流 C-N 格式的精确度较之另外两种格式都要高；另一方面，当方程 Peclet 数的绝对值为 0.5 或者以下时（算例 10 和算例 11），扩散C-N格式的精确度则在不同空间步长取值下较之另外两种格式要高；然而，当方程Peclet数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，对流 C-N 格式与扩散 C-N 格式精度参差不齐。从表中也7/8 可以看出，当方程的 Peclet 数绝对值为 1（算例 69）、5（算例 5）和 10（算例 34）时，对流 C-N 格
19、式与扩散 C-N 格式精度时高时低。不过中心差分格式的精度则介于对流 C-N 格式与扩散 C-N 格式之间（算例 4，69），甚至还出现了中心差分格式的精度高于另外两种格式（算例 3 和算例 5）。因此，对于方程 Peclet 数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，采用中心隐式格式这类离散方法，即不对扩散项和对流项使用较高的离散格式（比如 C-N 型格式），数值解的效果会更好一些。5.结论及拓展 针对一维非稳态对流扩散方程，通过上述 11 个算例的数值模拟，可以发现：Peclet 数的绝对值在大于或等于 20 时，可以判定方程为对流占优型方程，进而可以利用诸如对流 C-N型格式之类的对流占
20、优型格式；Peclet 数的绝对值小于或等于 0.5 时，方程为扩散占优型方程，方程的离散格式则可以使用诸如扩散 C-N 型格式之类的扩散占优型格式。而当 Pectlet数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，此时无法用 Peclet 数判别法判断方程的类型。此时在方程离散格式上，可以选取诸如中心隐式格式之类的差分格式，即不对扩散项和对流项采用更高精度的离散格式。本文在讨论利用 Peclet 数判别法判定一维对流扩散方程时，所使用的离散方法还不尽完善。有待于继续寻找更好的差分格式离散方程，从而有望缩小对流占优型和扩散占优型方程的界限。另外，Peclet 判别法从一维对流扩散方程能否推广到二维
21、、三维方程，将做进一步研究。参考文献 1 陶文铨.数值传热学(第二版)M.西安:西安交通大学出版社,2006:138-140.2 陆金甫,关治.偏微分方程数值解法(第二版)M.北京:清华大学出版社,2004:97-105.3 J.W.Thomas,Numerical Partial Differential Equations:Finite Difference MethodsM.New York:Springer-Velag,1995:117-125.4 曾晓艳,陈建业,孙乐林.对流扩散方程的一种新型差分格式J.数学杂志,2003,23(1):38-39.5 魏剑英,葛永斌,田振夫.一种求解
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25、 PECLET NUMBER Abstract:One-dimension convection-diffusion equations can be divided into convection-dominated equations and diffusion-dominated equations by the size of absolute value of Peclet number.Adopting three implicit difference schemes which are included centeral difference scheme,Crannk-Nic
26、olson scheme of diffusion and Crannk-Nicolson scheme of convection to scatter and sovle different Pcelet number of examples.Then,2-norm of exact solution matrix and numerical solution matrix can be sovled.If the smaller of their 2-norms of difference,the higher of schemes accuracy.As a result,When t
27、he size of absolute value of Peclet number is great than or equal to 20,the equation is belong to convection-dominated equation.A higher accuracys scheme can be taken to disperse the convection item of equation.For example,the Crannk-Nicolson scheme of convection.If its size is less than or equal to
28、 0.5,the equation is a diffusion-dominated equation.Instead,A higher accuracys scheme is adopted to disperse the diffusion item of equation.For instance，the Crannk-Nicolson scheme of diffusion.However,when the size of absolute value of Peclet number is between 0.5 and 20,the discriminant method of P
29、eclet number is not effect.This kind of equation can be scattered by a compromise scheme，such as centeral difference scheme.Keywords:One-Dimension Convection-Diffusion Equation;Discriminant Method of Peclet Number;Finite Difference Method;numerical simulation 2010 MR Subject Classication:39A14；65M06