2023届高考数学专项练习圆锥曲线经典解题大招含解析.pdf-淘文阁

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1、第第一一讲讲定义与焦点三角形定义与焦点三角形椭圆和双曲线的定义 222210 xyabab222210 xyabab0,椭圆：122PFPFa双曲线：122PFPFa性质性质 1在椭圆中，以焦点半径1PF为直径的圆与以长轴为直径的圆内切性质性质 1在双曲线中，以焦点半径1PF为直径的圆与以实轴为直径的圆相切F1PF2 yxPO yxF1F2yxF2OF1PPyxF2OF1yxF2OPF12023届高考数学专项练习圆锥曲线经典解题大招含解析性质性质 2在双曲线中，以12,A A为双曲线的左、右顶点，则12PFF在边（2PF）或1PF上的内切圆，与12A A所在的直线切于2A（或1A）性质性质

2、 2在椭圆中，以12,A A为椭圆的左、右顶点，则12PFF在边（2PF）或1PF上的旁切圆，与12A A所在的直线切于2A（或1A）PA2A1yxF2OF1PF2yxOF1性质性质 3若P为双曲线222210,0 xyabab右（或左）支上除顶点外的任意一点，12PFF，21PF F，则tancot22caca（或tancot22caca）性质性质 3若P为椭圆222210 xyabab上异于长轴端点的任意一点，12PFF，21PF F，则tantan22acca yxF2OF1PPyxF2OF1【例 1】已知椭圆22143xy，已知P在椭圆上，点Q为12FPF的内心，求动点Q的轨迹方程解

3、：【方法一】如下图所示，设,0Q x yy，12PFF，21PF F，记直线1QF的斜率为1QFk,直线2QF的斜率为2QFk，根据【性质 3】有 tantan22acca，又因为 1tan2+1QFykx，2tan21QFykx ，所以 1113yyacxxac，化简得 22310 xyy，即动点Q的轨迹方程 yxF2OF1P【方法二】如下图所示设,0Q x yy，00,P x y，连接PQ交x轴于点N，根据角平分线定理得 1122NFPFNFPF，由椭圆焦半径公式得 100200112,2,22PFaexx PFaexx 所以有 0120122122xNFNFx，故点N的坐标为0,04x

4、，根据角平分线定理得 1212121222,2PFPFPFPFaNFNFNFNFc 又因为11PFPQQNFN，故2PQQN，因此2PQQN，那么 002,3,xx yy 又因为P点在椭圆上，所以有 22231043xyy，化简得 22310 xyy，即动点Q的轨迹方程性质性质 4若P为椭圆222210 xyabab上任意一点，12,F F为左右焦点，A为椭圆内一定点，则21222aAFPAPFaAF 当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立性质性质 4若P为双曲线222210,0 xyabab上任意一点，12,F F为左、右焦点，A为双曲线内与1F同侧一定点，则212AFaPAPF，当

5、且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在x轴同侧时等号成立 AyxF2OF1PPAyxF2OF1【例 2】已知A（2,3），F是椭圆2211612xy的右焦点，点M在椭圆上移动，求MA MF的最小值解：【方法一】设椭圆2211612xy的左焦点为F，则由【性质 4】可得 MA 283MFaMF，即MA MF的最小值的最小值为83.【方法二】如下图所示由椭圆的第一定义可知|28MAMFMAaMFMAMF，根据三角形三边的关系可得 33AFMAMFAFMAMF-，故 MA 83MF，即MA MF的最小值的最小值为83.【例 3】设P是双曲线2213xy的右支上的一个动点，F是双曲线的右焦

6、点，已知A点的坐标是（3,1），求PAPF的最小值解：【方法一】设双曲线2213xy的左焦点为F，则由【性质 4】可得 2262 3PAPFAFa，即PAPF的最小值为262 3.【方法二】如下图所示由双曲线的第一定义有 22 3PAPFPAPFaPAPF，根据三角形三边的关系可得 26PAPFAF，故 262 3PAPF，即PAPF的最小值为262 3.性质性质 5设：P为椭圆上任意一点，12FPF，12PFF，21PF F，求证：（1）21221cosbPF PF；（2）1 21221sin2122tan2PF FppPF PFScycyb；（3）sinsinsincea；（4）若21

7、2PF PFm，则1 222PF FSb mb yxF2OF1P性质性质 5设：P为双曲线上任意一点，12FPF，12PFF，21PF F，求证：（1）21221cosbPF PF；（2）1 21221sin2122cot2PF FppPF PFScycyb；（3）sinsinsincea；（4）若212PF PFm，则1 222PF FSb mb PyxF2OF1【例 4】（2013 辽宁高三模拟）已知P为椭圆2214xy上一点，12,F F分别是椭圆的两个焦点若12FPF的面积为 1，则12PF PF等于_ 解：【方法一】设12FPF，因为12FPF的面积为 1，由【性质 5】可得 2ta

8、ntan1222b，因此 1212cos0PF PFPFPF.【方法二】如下图所示，设12FPF，在12PFF中，由余弦定理可得 222222121212121212121212242cos222PFPFPFPFFFPFPFFFbPFPFPFPFPFPFPFPF，所以 212221cos1cosbPFPF，因为12FPF的面积为 1，所以有 121sinsin121cosPFPF，所以 sincos112sin cos1sin202 ，因此 1212cos0PF PFPFPF.【例 5】（2005 北京海淀模拟）P是双曲线221916xy上一点，12,F F是两个焦点，若1232PFPF，求1

9、2FPF的大小解：【方法一】设12FPF，由【性质 5】得 212232321cos1cosbPF PF，解得cos02，即122FPF.【方法二】如下图所示，设12FPF，在12PFF中，由余弦定理可得 222222121212121212121212224cos222PFPFPFPFFFPFPFFFPFPFbPFPFPFPFPFPF，所以 2122321cos1cosbPFPF，因为1232PFPF，因此 32=32cos01 cos2，即122FPF.【例 6】（2003 上海）P是椭圆22194xy上的一点，12,F F是左、右焦点，若1290FPF，求12:PFPF.解：【方法一】

10、设122FPF，由【性质 5】得 2122881cos1cosbPFPF，由椭圆第一定义得 1226PFPFa，所以 212121221369282PFPFPFPFPFPFPFPF，解得12:2PFPF 或121:2PFPF.【方法二】如下图所示设12FPF，在12PFF中，由余弦定理可得 222222121212121212121212242cos222PFPFPFPFFFPFPFFFbPFPFPFPFPFPFPFPF，所以 212281cos1cosbPFPF，由椭圆第一定义得 1226PFPFa，所以 212121221369282PFPFPFPFPFPFPFPF，解得12:2PFPF

11、或121:2PFPF.第第二二讲讲焦半径焦半径性质性质 6椭圆222210 xyabab的焦半径公式（1200,0,0,FcF cM x y）：10MFaex，20MFaex（左右，上下）性质性质 6双曲线222210,0 xyabab的焦半径公式：10MFaex，20MFaex（左右，长正短负）（上下，长正短负）【例 1】在椭圆222210 xyabab中，12,F F分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上任意一点，求椭圆焦半径的取值范围；求12MF MF的取值范围解：【方法一】设00,M x y，由【性质 6】可得 100cMFaexaxa，由椭圆的性质知0axa ，所以 1,MFac

12、ac，即椭圆焦半径的取值范围为,ac ac.由【性质 6】可得 2222212000,MF MFaexaexae xb a，即12MF MF的取值范围为22,ba.【方法二】设00,M x y，因为点M为椭圆上任意一点，所以 2200221xyab，由两点之间距离公式可得 2222222220100000002212xcccMFxcyxcbxcxaxaxaaaaa 由椭圆的性质知0axa ，所以0cacxaaca，故 1,MFac ac，即椭圆焦半径的取值范围为,ac ac.同理可得 2222212000,MF MFaexaexae xb a，即12MF MF的取值范围为22,ba.【例 2】

13、（2010 江西）点00,A x y在双曲线221432xy右支上，若点A到右焦点的距离等于02x，则0 x _ 解：【方法一】设双曲线221432xy的右焦点为F，由【性质 6】可得 0023AFaexx，根据双曲线的性质可得02x，结合题意可得 00322AFxx，解得02x.【方法二】设双曲线221432xy的右焦点为F，则 2222220000000066321912432324xAFxyxxxxx,根据双曲线的性质可得02x，结合题意可得 00322AFxx，解得02x.性质性质 7在椭圆222210 xyabab中1200,0,0,FcF cM x y 则12121MFMFedd

14、性质性质 7在双曲线222210 xybaab中，1200,0,0,FcF cM x y 则12121MFMFedd 【例 3】（2009 全国 1 理文）已知椭圆C：2212xy的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB，则AF（）A2 B2 C3 D3 解：如下图所示过B作BM垂直于右准线l，右准线与x轴交于点N，易求得椭圆的离心率为22e，由椭圆的第二定义得=BFBMe，在RtAMB中，1222BMBFABe ABe，所以AMB为等腰直角三角形，则ANF也为等腰直角三角形，21bFNc，则 2AF，故选 A.这里还有一种处理方法是先求出根据三角形相似求出BM，再

15、结合椭圆第二定义求出BF，进而根据题意3FAFB可以求得AF.性质性质 8在椭圆222210 xyabab中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离性质性质 8在双曲线222210 xybaab中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交性质性质 9在椭圆222210 xyabab中，过左焦点F的直线与椭圆交于,A B的，直线倾斜角为，21cosbaAFe，21cosbaBFe.若F为右焦点，则21cosbaAFe，21cosbaBFe 性质性质 9在双曲线222210 xybaab中，过左焦点直线与椭圆交于,A B的，直线倾斜角为，则21cosbaAFe，21cosbaBFe.若过右焦点，

16、则21cosbaAFe，21cosbaBFe.【例 4】（2012 江苏）已知椭圆方程为2212xy，设,A B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，若1262AFBF，求直线1AF的斜率解：【方法一】设1AFO，由【性质 9】可得 2111cos2cosbaAFe，2211cos2cosbaBFe，因为1262AFBF，所以 11622cos2cos，解得6cos3，所以2tan2，即直线1AF的斜率为22.【方法二】因为直线1AF与直线2BF平行，不妨设直线1AF与直线2BF的方程分别为1,1xmy xmy ，设112212,0,0A x yB x yyy，由 221

17、22111111221021xymymyxmy ，解得 212222mmym，或212222mmym（舍），所以 222112211102mm mAFmym，同理有 22222112mm mBFm，又因为1262AFBF，所以 222222222112112162222mm mmm mm mmmm，解得22m，注意到0m，所以2m.故直线1AF的斜率为122m.性质性质 10在圆锥曲线中（双曲线需同一支），设过焦点F且不平行于坐标轴的弦为AB，则114AFBFL（L为通径长）性质性质 11在圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线交焦点所在轴于点R，则2FReAB 性质性

18、质 12在圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，若ABl的倾斜角为，且0AFFB，则1cos1e 【例 5】（2010 全国 2 理文）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（0k）的直线与C相交于A，B两点，若3AFFB，则k _.解：【方法一】设直线AB的倾斜角为，由【性质 12】得 13 13cos133312e，因为0k，故cos0，所以3cos3，根据同角三角函数关系可得tan2，即 2k.【方法二】如下图所示设l为椭圆的右准线，过,A B作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作1BEAA于E，根据椭圆的第二定义有 1

19、1|,AFBFAABBee，由3AFFB知，113AABB，所以 1|22|3cos|4|3BFBBAEeBAEABABBF，根据同角三角函数关系可得tan2BAE，即 2k.【方法三】如下图所示设直线AB的倾斜角为，因为0k，可知B在x轴上方，由【性质 9】可得 22|,|coscosbbBFAFacac，因为3AFFB，于是有 223coscosbbacac，化简得 12cosca，又因为32cea，所以有 133costan22cos23k.【方法四】因为32e，所以222241,33ac bc，故椭圆的方程为 222214133xycc，设直线AB的方程为myxc，与椭圆联立得 22

20、222221413126033xymymcycccmyxc，由韦达定义得 21212226,312312mccyyy ymm，因为3AFFB，所以123yy，因此 22222262,3312312mccyymm，联立解得212m，所以2212km，又因为0k，所以2k.这里我们还有另外一种处理方法：这里我们还有另外一种处理方法：因为因为3AFFB，所以，所以123yy，因此，因此 22212122122126431223312mcyyyymcy yyym，解得解得212m，所以，所以2212km，又因为，又因为0k，所以，所以2k.【例 6】（2010 全国 1 理文）已知F是椭圆C的一个焦点

21、，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD，则C的离心率为多少？解：【方法一】设直线BD的倾斜角为，由【性质 12】得 1cos1e，设椭圆方程为222210 xyabab，由椭圆的对称性不妨设F是椭圆C的左焦点，如下图所示根据几何关系可得 cosOFceOBa，结合可得 212 111213e，解得33e（负值舍去）.【方法二】设椭圆方程为222210 xyabab，由椭圆的对称性不妨设,0F c，0,Bb，,D x y，则,BFcb，,FDxc y，因为 2BFFD 所以 32()222cxcxcbyby ，于是3,22bDc，又因为D点在椭圆上，所以 2222914

23、】非常相似，这里只写一种做法设直线AB的倾斜角为，由【性质 12】得 14 13cos14 15eee，因为直线AB的斜率为3，所以有 1tan3cos2，代入式解得65e.故选 A.第第三三讲讲切线的光学性质切线的光学性质性质性质 13若000,P x y在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆切线方程是00221xxyyab 性质性质 13若000,P x y在双曲线222210,0 xyabab上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab 性质性质 14若000,P x y在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为,A B,则切点弦AB的直线方程是002

24、21xxyyab P0F1OF2xyBAyxF2OF1P0性质性质 14若000,P x y在双曲线222210,0 xyabab外，则过0P作双曲线的两条切线切点为,A B，则切点线AB的直线方程是00221xxyyab 【例 1】已知椭圆22:194xyC和直线:40l xy，点P在直线l上，过点P作椭圆C的两切线,PA PB，,A B为切点求证：当点P在直线l上运动时，直线AB恒过一定点解：【方法一】设P点坐标为,4t t，由【性质 14】得直线AB的方程为 4194tytx，整理得 493610txyy，令94904101xyxyy ，故直线AB过定点9,04.【方法二】设00,P

25、x y，切点1122,A x yB x y，根据椭圆的切线方程【性质 13】可得 11:194PAx xy yL，又因为点P在直线PA上，所以 1010194x xy y 同理可得 2020194x xy y 结合知点1122,A x yB x y都在直线00194x xy y上，故直线AB的方程为 00194x xy y，又0040 xy，所以004yx，代入直线AB的方程得 0(49)36(1)0 xxyy，令94904101xyxyy ，故直线AB过定点9,04.【例 2】（2014 广东）已知椭圆方程为22194xy，若动点00,P x y为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直

26、，求点P的轨迹方程解：【方法一】当两条切线互相垂直于坐标轴时，可知点3,2P ，当两直线斜率都存在时，设两切点分别为1122,A x yB x y，由【性质 14】得直线AB的方程为 00194x xyy，联立直线AB和椭圆22194xy可得 002222000022194947281 40194x xy yyxxx xyxy，由韦达定义可得 20012122222000081 472,9494yxxxx xyxyx，所以 010200121222000007244411299994x xx xxyyyxxyyyyx，2020102120120122220000016 94416118199

27、98194xx xx xyyxxxx x xyyyyx，因为PAPB，所以0PA PB，即 101020201020102022120120120120,0PA PBxxyyxxyyxxxxyyyyx xxxxxy yyyyy 将12121212,x x xxy yyy代入上式化简得 22220000131049yxxy，又因为动点00,P x y为椭圆外一点，所以 2200+194xy，故 220013xy，因为点3,2 在圆220013xy上，所以点P的轨迹方程为2213xy.【方法二】设两条切线为12,l l，当12,l l相互垂直于坐标轴时，可知点3,2P ，当切线所在直线的斜率都存在

28、时，设过点00,P x y的切线为00yk xxy，由 002222200009418940194yk xxykxk ykxxykxxy，因为0，所以 222000018494940k ykxkykx，整理得 22200009240 xkx y ky，因为直线12,l l垂直，所以121k k ，即 2020419yx，化简得 22000133xyx，因为点3,2 在圆220013xy上，所以点P的轨迹方程为2213xy.这里我们还可以把这个过程写得更加通俗易懂一些整理得 22200009240 xkx y ky，同理可得 2220000119240 xx ykyk，可以看出k与1k是关于x

29、的方程22200009240 xxx y xy的两个根，于是 2020419ykkx.性质性质 15椭圆中，点P处的切线PT平分12PFF在点P处的外角 PF1OF2xy性质性质 15双曲线中，点P处的切线PT平分12PFF在点P处的内角性质性质 16从椭圆的一个焦点向椭圆的切线作垂线，垂足的轨迹是一个圆性质性质 16从双曲线的一个焦点向双曲线的的切线作垂线，垂足的轨迹是一个圆 PF1OF2xy性质性质 17过椭圆C外一点P向椭圆作切线，12,T T是切点，12,F F是椭圆的两个焦点，求证：1122FPTF PT 性质性质 17过双曲线C外一点P向双曲线作切线，12,T T是切点，12,

30、F F是椭圆的两个焦点，求证：1122FPTF PT 性质性质 18设F是椭圆的一个焦点，P是椭圆C外一点，PA和PB是椭圆的两条切线，,A B是切点求证：FP是AFB的角平分线 T2T1PF1OF2xyBAPF1OF2xy性质性质 18设F是双曲线的一个焦点，P是双曲线C外一点，PA和PB是双曲线的两条切线，,A B是切点求证：FP是AFB的角平分线性质性质 19经过椭圆222210 xyabab 的长轴的两端点1A和2A的切线，与椭圆上任一点的切线相交于1P和2P，则21122PAP Ab 性质性质 19 经过双曲线2222100 xyabab,的实轴的两端点1A和2A的切线，与双曲线上

31、任一点的切线相交于1P和2P，则212PAPAb P2P1PA2A1F1OF2xy第第四四讲讲点差法和直径点差法和直径性质性质 20AB是椭圆222210 xyabab 的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka 性质性质 20AB是双曲线222210,0 xyabab的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka 性质性质 21若000,P x y在椭圆22221xyab内，则被0P所平分的中点弦的方程是2200002222x xyyxyabab MBOyxAP0BOyxA性质性质 21若000,P x y在双曲线222210,0 xyabab内，则被0P所平分的中点弦的方程是22000

32、02222x xyyxyabab 性质性质 22 若000,P x y在椭圆22221xyab内，则过0P的弦中点的轨迹方程是22002222x xyyxyabab 性质性质 22若000,P x y在双曲线222210,0 xyabab内，则过0P的弦中点的轨迹方程是22002222x xyyxyabab P0BOyxA【例 1】（2003 全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为7,0F，直线1yx与其相交于,M N两点，MN中点的横坐标为23，则双曲线的方程为_ 解：【方法一】设MN中点为G，则G点的坐标为25,33G，由【性质 20】可知 2222505312

33、203OGABbbkkaa，又因为 2227,ccab，联立解得 222,5,ab，故双曲线的方程为 22125xy.【方法二】设所求双曲线方程为22221xyab，且7c，则227ab.由MN中点的横坐标为23知，中点坐标为25,33.设1122,M x yN x y，则有 2211221xyab和2222221xyab，两式作差化简得 22121212120yybxxayyxx，又因为 12121212245102,2,13333AByyxxyykxx ，所以 2225ba，由求得 222,5,ab，故双曲线的方程为 22125xy.【方法三】设所求双曲线方程为22221xyab，将直线1

34、yx代入双曲线22221xyab中整理得 222222220baxa xaa b，由韦达定理得 212222axxab，则 21222223xxaab，又227ab，解得 222,5,ab，故双曲线的方程为 22125xy.【例 2】（2013 全国 1）已知椭圆222210 xyabab 的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于,A B两点若AB的中点坐标为1,1，则E的方程为_ 解：本题跟【例 1】非常相似，这里只写一种解法咯设AB中点为G，则1,1G，由【性质 20】可知 222201101103 12OGABbbkkaa ,又因为 2223,ccab,联立解得 2218,9ab，故E

35、的方程为 221189xy.性质性质 23 椭圆22221xyab上存在两点关于直线0:l yk xx对称的充要条件是22220222abxab k.性质性质 23双曲线222210,0 xyabab上存在两点关于直线0:l yk xx对称的充要条件是22220222abxab k.【例 3】（2015 浙江理 19）已知椭圆2212xy上两个不同的点,A B关于直线12ymx对称，求m的范围解：【方法一】当0m 时显然不满足题意，当0m 时，1122ymxym xm，根据【性质 23】可得 22222202222211221abxab kmm ，解得m的范围为66,33.【方法二】设AB

36、中点为M，直线l的斜率为ABk，11,A x y，22,B x y，00,M x y，由【性质 20】或由点差法结论可得 2020112OMABybkkam x ，又因为点M在12ymx上，所以 0012ymx，由 000011112,212ym xMmymx，因为点M在椭圆内，于是 2221111112224mm ，解得m的范围为66,33.【例 4】（2011 江苏）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22142xy，过坐标原点的直线交椭圆于,P A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，联结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k 求证：对任意0k，都有PA

37、PB 解：【方法一】设1122,B x yP x y，则222,0AxyC x，所以22112222112222221424242142xyxyxyxy，于是1212121212yyyyxxxx，记直线,AB BP AC的斜率分别为,ABBPACkkk，则 12ABBPkk，【这里也可以直接根据椭圆的第三定义直接得到12ABBPkk.】又因为 2222,2ABACyykkkxx，所以12ABkk，于是 1122BPk k，即1BPk k，所以PA PB.【方法二】将直线PA的方程ykx代入22142xy中，解得 2212xk，记2212k，则(,),(,)PkAk，于是(,0)C，故直线AB的

38、斜率为02kk，直线AB的方程为()2kyx，代入椭圆方程，消y整理得 ABCOP2222222320kxk xk（*），由于为方程（*）的一个根，由韦达定理可得方程（*）的另一个根为 22322kxk，因此232232,22kkBkk，于是直线PB的斜率为 3212212322kkkkkkk，因此11k k ，所以PA PB.【方法三】设点1122,P x yB x y，则 12121110,0,0 xxxx AxyC x，记直线,PB AB的斜率分别为12,k k.因为点C在直线AB上，所以 112111022yykkxxx ，从而 2222222211212121112222222212

39、12121212222441212110 xyxyyyyyyyk kk kxxxxxxxxxx ，因此11k k ，所以PA PB.【例 5】（2016 菏泽高三 3 月模拟）已知椭圆2214xy，过原点的直线与椭圆C交于,A B两点（,A B不是椭圆顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴y轴分别交于,M N两点设直线,BD AM的斜率分别为12,k k，证明存在常数使得12kk，并求出的值解：设111 122,0,A x yx yD x y，则 11,Bxy，那么直线AB的斜率 11yABx，又ABAD，故直线AD的斜率 11xky.设直线AD的方程为 ykxm，由题意知0,0

40、km，联立2214ykxmxy，消y得 222148440kxmkxm，由韦达定理可得 1212122282,21414kmmxxyyk xxmkk，由题意得 1211211211,44yyyxxkxxkx ，【这里可以直线根据椭圆的第三定义得到21214bkka 】所以直线BD的方程为 11114yyyxxx，令0y 得13xx，即13,0Mx，于是 1212ykx，所以1212kk，即12，因此存在常数12 使得结论成立.NMDABOyx【题 1】已知双曲线2222:1xyCab，直线l与双曲线交于点,A B，与渐近线交于点,C D，证明ACBD 解：【方法一】设AB的中点为M，CD的中点

41、为N，直线AB的方程为xmyn，根据【性质 20】可得 22ABOMbkka，所以2222OMABbmbkaka.又双曲线的渐近线方程为22220 xyab，将直线AB的方程代入得 222222220b maymnb yb n，设1122,C x yD x y，由韦达定理可得 2122222mnbyyab m，2121222222axxm yynab m，则212212ONyymbkxxa，因为OMONkk，所以,M N重合，因此 ACBD.【方法二】设直线AB的方程为xmyn，代入双曲线方程22221xyab得 22222222220b maymnb yb na b，设1122,A x yB

42、 x y，由韦达定理可得 2122222mnbyyab m，又双曲线的渐近线方程为22220 xyab，将直线AB的方程代入得 222222220b maymnb yb n，DACBOyx设3344,C x yD x y，由韦达定理可得 3422222mnbyyab m，所以AB的中点和CD的中点重合，于是 ACBD.在椭圆222210 xyabab 中，过原点且斜率之积为22ba的两条弦互称为共轭直径性质性质 24在椭圆22221xyab中，,AB CD为一对共轭直径，证明：22ABCD为定值性质性质 25 椭圆22221xyab内接平行四边形面积最大为2ab，此时平行四边形对角线为一对

43、共轭直径【例 6】（2014 全国 1）已知椭圆的方程为22:14xCy，点0,2A，设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，求OPQ的面积最大值解：【方法一】设直线l的方程为2ykx，O到PQ的距离为d，则 221dk，将直线l的方程代入椭圆C消去y得 221416120kxkx，设1122,P x yQ x y，由韦达定理得 21224 4314kxxak，则 2221224431114kkPQkxxk，于是 22222244312411|431414|221OPQSkkkkkQkPd，设243uk，则 244144OPQuSuuu，当且仅当2u，即72k 时不等式取等号.故OPQ的面

44、积最大值为 1.【方法二】设1122,P x yQ x y，则 22221212122121211112222 44OPQxxxxSx yx yyyyy，当且仅当122xy且212xy 时等号成立，代入221114xy，得22121yy，又,A P Q三点共线，则 22111212222222yyyyyxxy，即 221212122120yyyyyy，解得1212yy，所以 22212121221122117222yyyykyyyyxxyy ，即当72k 时，OPQ的面积最大值为 1.【方法三】设(cos,sin),(cos,sin)P abQ ab，则 12211111|sincossinc

45、os|sin()|2222OPQSx yx yababab，当()2kkZ时，即22OPOQbkka 时，max112OPQSab.【例 7】（2011 山东理）已知动直线l与椭圆22:132xyC交于1122,P x yQ x y两不同点，且OPQ的面积62OPQS，其中O为坐标原点（1）证明：2212xx和2212yy均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（3）椭圆C上是否存在三点,D E G，使得62ODEODGOEGSSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由解：（1）【方法一】当直线l斜率不存在时，PQ两点关于x轴对称，所以 2121,xx yy，因

46、为11,P x y在椭圆上，因此 2211132xy，又因为62OPQS，所以 1162xy，由得116,12xy，此时 222212123,2xxyy.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，由题意知0m，将其代入椭圆22:132xyC中消y得 222236320kxkmxm，其中22223612 2320k mkm，即 2232km，（*）由韦达定理得 2121222326,2323mkmxxx xkk，所以 22222121222 6 32|14123kmPQkxxx xkk，因为点O到直线l的距离为 2|1mdk，所以 22222222112 6 32|6|32|1222323

47、1OPQkmmmkmSPQ dkkkk，又62OPQS，整理得 22322km，且符合（*）式，此时 22222121212223262232323mkmxxxxx xkk ，2222221212122223342333yyxxxx，综上所述，222212123,2xxyy，结论成立.【方法二】设1122,(3cos,2sin),(3cos,2sin)P x yQ xy.直线22:yOQ yxx，即 220y xx y，点11,P x y到直线OQ的距离为 21212222y xx ydyx，又2222|OQxy，所以 122111|22OPQSOQ dx yx y，所以 12211166|3

50、1525422xxyyOMPQxxyyxxx xyyy yxxx xyyy yx xy yx xy yx xy y 当120 xy或210 xy时，21212x xy y的最小值是0，且“”成立.（3）【方法一】椭圆C上不存在三点,D E G，使得62ODEODGOEGSSS.证明：假设存在1122(,),D u v E x yG x y满足62ODEODGOEGSSS.由（1）得 222222222222121212123,3,3;2,2,2uxuxxxvyvyyy，解得 22222212123;12uxxvyy，因此12,u x x只能从62中选取，12,v y y只能从1中选取.因此,D

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