《2023届高考数学专项练习圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（解析版）.pdf（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究【秒杀总结】【秒杀总结】1.直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.2.定比点差法3.非对称韦达与对称韦达4.先猜后证5.硬解坐标【典型例题】【典型例题】例1.例1.(2023(2023江西赣州江西赣州 一模一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别
2、为F1，F2，点P在椭圆C上，满足 PF1+PF2=4，且PF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)点M-1,1，点A，B在椭圆C上，点N在直线l：x-2y+4=0，满足NA=AM，NB=BM，试问+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.2023届高考数学专项练习例例2.2.(20232023 河北邯郸河北邯郸 高三统考期末高三统考期末)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦距为 2 且过点M2,62.(1)求椭圆C的方程；(2)过点T 8,0作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；
3、若不是，请说明理由.例例3.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1-c,0,F2(c,0)，点A x1,y1为双曲线 E右支上异于其顶点的动点，过点 A作圆C：x2+y2=a2的一条切线AM，切点为M，且|AM|2+3=c2a2x21-a2(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线AF1与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为D(a,0)，直线 AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由例例4.4.(2023202
4、3 山西山西 统考一模统考一模)双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右顶点分别为 A，B，焦点到渐近线的距离为3，且过点 4,3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于M，N两点，且kAM=-2kBN，证明直线l过定点.例例5.5.(20232023 天津滨海新天津滨海新 高三大港一中校考阶段练习高三大港一中校考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A,B，右焦点为F，且 AF=3，以F为圆心，OF为半径的圆F经过点B.(1)求C的方程；(2)过点A且斜率为k k0的直线l交椭圆C于P，()设点P在第一象限，且直线l与y=-x交于H
5、.若OH PH=4 25sinHAO，求k的值；()连接PF交圆F于点T，射线AP上存在一点Q，且QT BT 为定值，已知点Q在定直线上，求Q所在定直线方程.例例6.6.(20232023 辽宁辽宁 辽宁实验中学校考模拟预测辽宁实验中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，左顶点为A，上顶点为B，且 AB=7，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为-3(1)求C的方程；(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且QM=FP，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由例例7.7.(20232
6、023 河南郑州河南郑州 高三校联考期末高三校联考期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，过右焦点且与x轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点，且|MN|=3 2(1)求椭圆C的方程(2)若过点(0,2)的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点R的坐标为 x0,3 2，且QRx轴，探究：直线PR是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由例例8.8.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C的右顶点为A，直线l:
7、y=kx+m与双曲线C相交于M,N两点(M,N不是左右顶点)，且AM AN=0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.【过关测试】【过关测试】1.(20232023 云南昆明云南昆明 昆明一中校考模拟预测昆明一中校考模拟预测)已知一动点C与定点F 1,0的距离与C到定直线l：x=4的距离之比为常数12.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点P 4,t，记直线PM，PF，PN的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1+k3k2为定值.2.(20232023 江苏南京江苏南京 高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末高三南京
8、师范大学附属中学江宁分校校联考期末)已知圆F1:x2+y2+2x-15=0和定点F2(1,0),P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交 PF1于点M，设动点M的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)设A(-2,0),B(2,0)，过F2的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值3.(20232023 春春 广东汕头广东汕头 高三统考开学考试高三统考开学考试)设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点分别为 A,B，上顶点为D，点P是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为F3,0，且经过点3,12.(1
9、)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点.4.(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高三雅礼中学校考阶段练习高三雅礼中学校考阶段练习)如图，椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆 C1右焦点到右顶点的距离为 3-2 2，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B(1)求椭圆C1的方程；(2)若直线EA,EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P，M求证：直线PM经过定点5.(20232023 黑龙江哈尔滨黑
10、龙江哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)已知A，B分别为双曲线E:x2a2-y2b2=1 a,b0的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为34，焦距为2 7(1)求双曲线E的方程；(2)P为直线x=4上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D证明：直线CD过定点6.(20232023春春 安徽安徽 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O 为坐标原点，FPOF+FPOP=3e(e 为椭圆的离心率)，OPQ 的面积为3(1)求E的方程；(
11、2)设四边形ABCD是椭圆E的内接四边形，直线AB与CD的倾斜角互补，且交于点 3,0，求证：直线AC与BD交于定点7.(20232023 江苏扬州江苏扬州 高三校联考期末高三校联考期末)设椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F1-3,0，右顶点为A22,0(1)求椭圆E的方程；(2)过点T 1,0作两条斜率分别为k1，k2的动直线l1，l2分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线段AB、CD中点，若 k1+1k2+1=2，试判断直线MN是否经过定点，并说明理由8.(20232023春春 江西江西 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a0
12、,b0)，离心率e=32，P为椭圆上一点，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，若PF1F2的周长为4 2+2 6，(1)求椭圆E的方程；(2)若P(2,1)，M，N为椭圆上不同的两点，且kPMkPN=-14，证明椭圆上存在定点Q使得四边形PMQN为平行四边形9.(20232023 贵州铜仁贵州铜仁 高三统考期末高三统考期末)平面内定点F(1,0)，定直线l:x=4，P为平面内一动点，作PQl，垂足为Q，且|PQ|=2|PF|(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点R，试判断|FR|AB|是否为定值10.(20232023
13、 春春 江苏常州江苏常州 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知点 P 2,-1在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)上，C的长轴长为4 2，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求 QA|2+QB|2的值.11.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F1-17,0、F217,0，点M满足MF1-MF2=2，记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P，P,Q两点，且 TA TB=TP
14、 TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和，并求出该定值12.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为(7,0)，渐近线方程为y=32x(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DGEF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值13.(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高三长郡中学校考阶段练习高三长郡中学校考阶段练习)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，双曲线C上一点P 3,1关于原点的对称点为Q
15、，满足FPFQ=6.(1)求C的方程；(2)直线l与坐标轴不垂直，且不过点P及点Q，设l与C交于A、B两点，点B关于原点的对称点为D，若PAPD，证明：直线l的斜率为定值.14.(20232023 山西长治山西长治 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，其右焦点为F，焦距为4，直线l过点F，且当直线l的倾斜角为56时，恰好与双曲线C有一个交点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l交双曲线C于A,B两点，交y轴于M点，且满足MA=1AF,MB=2BF 1,2R R，判断1+2是否为常数，并给出理由.15.(20232023春春 广东广州广
16、东广州 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F 2,0，直线y=x-1与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为-12(1)求双曲线的方程；(2)设A1，A2为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由16.(20232023 浙江浙江 高三校联考期末高三校联考期末)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F，斜率为 k(k 0)的直线过点P-p2,0，交C于A，B两点，且当k=12时，AF+BF=16(1)求C的方程；(2)设C在A，B
17、处的切线交于点Q，证明AFBF=|AQ|2|BQ|217.(20232023 重庆重庆 高三统考学业考试高三统考学业考试)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.(1)若MF=2FN，求直线l的斜率；(2)若PM=MF,PN=NF，证明：+为定值.18.(20232023 江苏南通江苏南通 高三统考期末高三统考期末)已知抛物线C:y2=2px p0经过点 1,2.(1)求抛物线C的方程；(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，为非零的常数.从
18、下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：P点坐标为 2,2；k1+k2=2；直线AB经过点-2,0.19.(20232023 湖北武汉湖北武汉 高三统考期末高三统考期末)如图，在平面直角坐标系，已知 F1，F2分别：x2a2+y2b2=1 ab0的左，右焦点.设点D 1,0为线段OF2的中点.(1)若D为长轴AB的三等分点，求椭圆方程；(2)直线MN(不与x轴重合)过点F1且与椭圆C交于M，N两点，延长MD，ND与椭圆C交于P，Q两点，设直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，请将k2k1表示成关于a的函数，即 f a=k2k1，求f a的值域.20.(20232023 江苏江苏 高三统
19、考期末高三统考期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a1b0)的左右焦点分别为 F1,F2，过点F2作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点，且当M为C的上顶点时，MNF1的周长为8，面积为8 37(1)求C的方程；(2)若A是C的右顶点，设直线l,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2，求证：k1k1+1k2为定值.圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究【秒杀总结】【秒杀总结】1.直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达
20、定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.2.定比点差法3.非对称韦达与对称韦达4.先猜后证5.硬解坐标【典型例题】【典型例题】例例1.1.(20232023 江西赣州江西赣州 一模一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足 PF1+PF2=4，且PF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)点M-1,1，点A，B在椭圆C上，点N在直线l：x-2y+4=0，满足NA=AM，NB=BM，试问+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)
21、解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，因为 PF1+PF2=4，可得2a=4，即a=2，又由PF1F2面积的最大值为2，可得122cb=2，即bc=2，因为b2c2=b2(4-b2)=-b4+4b2=4，即b4-4b2+4=0，解得b2=2，所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)解：由NA=AM，NB=BM，可得点A,B,M,N四点共线，如图所示，设过点M-1,1的直线方程为y-1=k(x+1)，即y=kx+k+1，联立方程组y=kx+k+1x24+y22=1，整理得(2k2+1)x2+4(k2+k)x+(2k2+4k-2)=0，设A(
22、x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-4(k2+k)2k2+1,x1x2=2k2+4k-22k2+1，联立方程组y=kx+k+1x-2y+4=0，可得x=2k-21-2k，即xN=2k-21-2k，因为NA=AM，NB=BM，可得=x1-xN-1-x1,=x2-xN-1-x2，所以+=x1-xN-1-x1+x2-xN-1-x2=(xN-1)(x1+x2)-2x1x2+2xN(x1+1)(x2+1)则(xN-1)(x1+x2)-2x1x2+2xN=2k-21-2k-1-4(k2+k)2k2+1-22k2+4k-22k2+1+22k-21-2k=-4(k2+k)(4k-3)-(4k2+8
23、k-4)(1-2k)+4(k-1)(2k2+1)(1-2k)(2k2+1)=-16k3-4k2+12k+8k3+12k2-16k+4+8k3-8k2+4k-41-2k2k2+1=0，所以+为定值0.例例2.2.(20232023 河北邯郸河北邯郸 高三统考期末高三统考期末)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦距为 2 且过点M2,62.(1)求椭圆C的方程；(2)过点T 8,0作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1
24、,F2，由焦距为2可得F1-1,0,F21,0，a2=b2+1由椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M2,62可得2a2+32b2=1，由可得a2=4,b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)设A x1,y1，B x2,y2，显然直线l的斜率存在直线l的方程为y=k x-8，联立方程组y=k x-83x2+4y2=12,消去y得 4k2+3x2-64k2x+256k2-12=0，由0，得-510k0,b0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1-c,0,F2(c,0)，点A x1,y1为双曲线 E右支上异于其顶点的动点，过点 A作圆C：x2+y2=a2的一条切线AM，切点为M
25、，且|AM|2+3=c2a2x21-a2(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线AF1与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为D(a,0)，直线 AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由【解析】(1)双曲线的离心率为e=ca=2，b=3a，因为双曲线上点A x1,y1切圆C：x2+y2=a2于M，且|AM|2+3=c2a2x21-a2，则 AC2=AM2+a2=c2a2x21-3，即x21+y21=e2x21-3=4x21-3，即x21-y213=1，x21a2-y21b2=1x21a2-y213a2=1x211-y
26、213=a2a2=1，故双曲线E的标准方程为x2-y23=1.(2)弦PQ过定点，理由如下：由(1)得a=1,b=3,c=2，则D(1,0)，F1-2,0,F2(2,0).则直线AF1为y=k x+2,k=y1x1+2，联立x2-y23=1y=k x+2 得 k2-3x2+4k2x+4k2+3=0，则xB+x1=-4k2k2-3，xB=-4k2k2-3-x1=-x1+4k2+3x1k2-3，yB=k-x1+4k2+3x1k2-3+2=k-x1+2k2+3 x1-2k2-3，DB=-x1+4k2+3x1k2-3-1,k-x1+2k2+3 x1-2k2-3=-x1+5k2+3 x1+1k2-3,k
27、-x1+2k2+3 x1-2k2-3，DA=x1-1,y1，由x21-y213=1得y21=3 x21-1，DB DA=x1-1-x1+5k2+3 x1+1+ky1-x1+2k2+3 x1-2k2-3=-x1+5x1-1k2+3 x21-1-y21k2+3y21x1+2x1-2k2-3=-x1+5x1-1k2+3 x21-1-3 x21-1k2+9 x21-1x1-2x1+2k2-3=-4 x1+2x1-1k2+3 x21-1+9 x21-1x1-2x1+2k2-3=x1-1-4 x1+22k2+3 x1+1x1+2+9 x1+1x1-2k2-3x1+2=3 x1-1-4 x21-1+x1+1
28、x1+2+3 x1+1x1-2k2-3x1+2=3 x1-10k2-3x1+2=0.DBDA，DQDP，QP为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心 0,0例例4.4.(20232023 山西山西 统考一模统考一模)双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右顶点分别为 A，B，焦点到渐近线的距离为3，且过点 4,3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于M，N两点，且kAM=-2kBN，证明直线l过定点.【解析】(1)由双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0可得渐近线为y=bax，不妨取渐近线y=bax即bx-ay=0由焦点到渐近线的距离为3 可得d=bca2+b2=3，
29、即b=3,由题意得42a2-32b2=1b=3，得a=2，从而双曲线C的方程为x24-y23=1.(2)设直线BN的斜率为k，则直线AM的斜率为-2k，由题意可知：直线BN的方程为y=k(x-2)，直线AM的方程为y=-2k(x+2)，联立直线BN与双曲线方程x24-y23=1y=k x-2 得 3-4k2x2+16k2x-16k2-12=0，于是2xN=16k2+124k2-3，从而xN=8k2+64k2-3，从而yN=12k4k2-3，联立直线AM与双曲线方程x24-y23=1y=-2k x+2 得 3-16k2x2-64k2x-64k2-12=0，于是-2xM=64k2+1216k2-3
30、，从而xM=-32k2-616k2-3，从而yM=24k16k2-3，于是kMN=yM-yNxM-xN=24k16k2-3-12k4k2-3-32k2-616k2-3-8k2+64k2-3=24k3+9k64k4-9=3k8k2-3，从而MN:y-12k4k2-3=3k8k2-3x-8k2+64k2-3，化简得y=3k8k2-3x+6，从而l过定点-6,0.例例5.5.(20232023 天津滨海新天津滨海新 高三大港一中校考阶段练习高三大港一中校考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A,B，右焦点为F，且 AF=3，以F为圆心，OF为半径的圆F经过点B.(1
31、)求C的方程；(2)过点A且斜率为k k0的直线l交椭圆C于P，()设点P在第一象限，且直线l与y=-x交于H.若OH PH=4 25sinHAO，求k的值；()连接PF交圆F于点T，射线AP上存在一点Q，且QT BT 为定值，已知点Q在定直线上，求Q所在定直线方程.【解析】(1)以F为圆心，OF为半径的圆F经过点B，BF=OF=c，即 OB=a=2c，AF=a+c=3c=3，c=1，a=2，b2=a2-c2=3，椭圆C的方程为：x24+y23=1.(2)()由(1)得：A-2,0，可设l:y=k x+2，P xP,yPxP0,yP0，由y=k x+2y=-x 得：x=-2kk+1y=2kk+
32、1，即H-2kk+1,2kk+1；由y=k x+2x24+y23=1 得：3+4k2x2+16k2x+16k2-12=0，=48 3+4k2-4k2=1140，-2xP=16k2-123+4k2，xP=6-8k23+4k2，yP=k6-8k23+4k2+2=12k3+4k2，P6-8k23+4k2,12k3+4k2；在HAO中，由正弦定理得：OH sinHAO=AH sinHOA，HOA=4，OH sinHAO=2 AH，则由OH PH=4 25sinHAO得：OH sinHAO=4 25PH，AH=45PH，AH=49AP，即AH=49AP，AH=2k+1,2kk+1，AP=123+4k2,
33、12k3+4k2，2k+1=163 3+4k22kk+1=16k3 3+4k2，解得：k=12或k=16.()由题意知：圆F方程为：x-12+y2=1；F 1,0，B 2,0；不妨令P位于第一象限，可设AP:y=k x+2，由()知：P6-8k23+4k2,12k3+4k2，若直线PF斜率存在，则kPF=4k1-4k2，直线PF:x=1-4k24ky+1，由x=1-4k24ky+1x-12+y2=1 得：T24k2+1,4k4k2+1，BT=-8k24k2+1,4k4k2+1，设Q m,k m+2，则QT=-4mk2+2-m4k2+1,-4 m+2k3+2-mk4k2+1，QT BT=8k24
34、mk2-2+m-16 m+2k4+8-4mk24k2+12=k24m-84k2+14k2+12=k24m-84k2+1；当4m-8=0时，QT BT=0为定值，此时m=2，则Q 2,4k，此时Q在定直线x=2上；当4m-80时，QT BT 不为定值，不合题意；若直线PF斜率不存在，则P 1,32，T 1,1，B 2,0，此时kAP=12，则直线AP:y=12x+2，设Q m,12m+2，则QT=1-m,1-12m+2，BT=-1,1，QT BT=12m-1，则m=2时，QT BT=0，满足题意；综上所述：点Q在定直线x=2上.例例6.6.(20232023 辽宁辽宁 辽宁实验中学校考模拟预测辽
35、宁实验中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，左顶点为A，上顶点为B，且 AB=7，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为-3(1)求C的方程；(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且QM=FP，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，则A-a,0,B 0,b,F c,0，因为 AB=7，直线FB的斜率为-3，所以a2+b2=7-bc=-3，又a2=b2+c2，解得a=2,b=3,c=1，所以C的方程为x24+y23=1(2)由题得F(1,0)，当
36、直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，P x1,y1,Q x2,y2,M x,y，联立x=my+1,x24+y23=1,消x得，3m2+4y2+6my-9=0，方程 3m2+4y2+6my-9=0的判别式=36m2+36 3m2+4=144m2+1440，设P x1,y1,Q x2,y2,M x,y，则y1+y2=-6m3m2+4，则x1+x2=m y1+y2+2=83m2+4，因为QM=FP，所以 x-x2,y-y2=x1-1,y1-0，即x-x2=x1-1,y-y2=y1-0，所以x=x1+x2-1=83m2+4-1=4-3m23m2+4，y=y1+y2=-6m3m2+4，所
37、以x2=16-24m2+9m43m2+42=1-48m23m2+42=1-6m2343m2+42=1-y234，即x2+y234=1，则点M是以-12,0，12,0为焦点，长轴长为2的椭圆上的点当直线l的斜率为0时，l与C相交于P(-2,0),Q(2,0)或P(2,0),Q(-2,0)，因为QM=FP，则点M为(-1,0)，此时点M也是以-12,0，12,0为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，所以存在两个定点分别为-12,0，12,0，点M到这两个定点的距离之和为定值2例例7.7.(20232023 河南郑州河南郑州 高三校联考期末高三校联考期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心
38、率为12，过右焦点且与x轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点，且|MN|=3 2(1)求椭圆C的方程(2)若过点(0,2)的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点R的坐标为 x0,3 2，且QRx轴，探究：直线PR是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c(c0)依题意，e=ca=1-b2a2=12，故b2a2=34联立x2a2+y2b2=1,x=c,解得y=b2a，故|MN|=2b2a=3 2 联立，解得a=2 2，b=6，故椭圆C的方程为x28+y26=1(2)当直线PR的斜率不存在时，方程为x=0若直线PR过定点，则该定点在y轴上当直线PR的斜率存在
39、时，设直线PQ的方程为y=kx+2，联立y=kx+2,x28+y26=1,消去y整理，得 4k2+3x2+8 2kx-16=0设P x1,y1，Q x2,y2，则x1+x2=-8 2k4k2+3，x1x2=-164k2+3，设R x2,3 2所以直线PR的方程为y-3 2=y1-3 2x1-x2x-x2令x=0，得y=-x2y1+3 2x2x1-x2+3 2=3 2x1-x2y1x1-x2=3 2x1-x2kx1+2x1-x2=3 2x1-kx1x2-2x2x1-x2因为kx1x2=-16k4k2+3=2 x1+x2，所以y=3 2x1-kx1x2-2x2x1-x2=3 2x1-2 x1+x2
40、-2x2x1-x2=2 2x1-2 2x2x1-x2=2 2所以此时直线PR过定点(0,2 2)直线x=0也过点(0,2 2)综上，直线PR经过定点(0,2 2)例例8.8.(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C的右顶点为A，直线l:y=kx+m与双曲线C相交于M,N两点(M,N不是左右顶点)，且AM AN=0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)因为渐近线方程为x-2y=0，所以ba=12，焦点坐标 c,0到渐近线
41、x-2y=0的距离为c1+4=1，解得：c=5，因为a2+b2=c2=5，解得：a=2,b=1，所以双曲线C的方程为x24-y2=1；(2)由题意得：A 2,0，l:y=kx+m与x24-y2=1联立得：1-4k2x2-8kmx-4m2-4=0，设M x1,y1,N x2,y2，则x1+x2=8km1-4k2,x1x2=-4m2-41-4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2，AM AN=x1-2,y1 x2-2,y2=x1x2-2 x1+x2+4+y1y21+k2x1x2+km-2x1+x2+m2+4=1+k2-4m2-41-4k2+km-28km1-4k
42、2+m2+4=0，化简得：20k2+16km+3m2=0，解得：m=-103k或m=-2k，当m=-103k时，l:y=k x-103恒过点103,0，当m=-2k时，l:y=k x-2恒过点A 2,0，此时M,N中有一点与A 2,0重合，不合题意，舍去，综上：直线l过定点，定点为103,0，【过关测试】【过关测试】1.(20232023 云南昆明云南昆明 昆明一中校考模拟预测昆明一中校考模拟预测)已知一动点C与定点F 1,0的距离与C到定直线l：x=4的距离之比为常数12.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点P 4,t
43、，记直线PM，PF，PN的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1+k3k2为定值.【解析】(1)设动点C x,y，由题意知，(x-1)2+y2x-4=12，所以动点C的轨迹方程为C：x24+y23=1.(2)当直线斜率不存在时，M，N的坐标分别为 1,32，1,-32，则k1+k3k2=2.当直线斜率存在时，设直线方程为lF：y=k x-1.联立直线和椭圆的方程x24+y23=1y=k(x-1)，化简得 4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，y1+y2=k x1-1+k x2-1=k x1+x2-2k，y1x2+y2x1=
44、k x1-1x2+k x2-1x1=2kx1x2-k x1+x2，所以k1+k3k2=y1-tx1-4+y2-tx2-4t4-1=3ty1-tx2-4+y2-tx1-4x1-4x2-4=3ty1x2+y2x1-4 y1+y2-t x1+x2+8tx1x2-4 x1+x2+16=3t2kx1x2-k x1+x2-4 k x1+x2-2k-t x1+x2+8tx1x2-4 x1+x2+16=3t2kx1x2-5k+tx1+x2+8k+8tx1x2-4 x1+x2+16=3t2k4k2-124k2+3-5k+t8k24k2+3+8k+8t4k2-124k2+3-48k24k2+3+16=3tt 24
45、k2+2436k2+36=3t2t3=2.即k1+k3k2为定值，定值为22.(20232023 江苏南京江苏南京 高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末)已知圆F1:x2+y2+2x-15=0和定点F2(1,0),P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交 PF1于点M，设动点M的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)设A(-2,0),B(2,0)，过F2的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值【解析】(1)依题意，圆F1:x+12+y2=16，则圆心F1-1,0，半径为4
46、，因为线段PF2的垂直平分线交PF1于点M，所以 MP=MF2，又因为 PF1=MP+MF1=MF2+MF1=42=F1F2，所以M点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，且2a=4,a=2,c=1,b=a2-c2=3，所以曲线E的方程为x24+y23=1.(2)若直线l的斜率等于零，则M，N两点与A(-2,0),B(2,0)重合，不满足题意，所以可设l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2)，联立x24+y23=1x=my+1 可得3(my+1)2+4y2-12=0，即3m2+4y2+6my-9=0，所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,k1=y1x1+2,k2=
47、y2x2-2,k1k2=y1x2-2y1y2x1+2y2=my1y2-y1my1y2+3y2=-9m3m2+4-y1-9m3m2+4+3-6m3m2+4-y1=-9m3m2+4-y1-27m3m2+4-3y1=13，所以k1k2为定值13.3.(20232023 春春 广东汕头广东汕头 高三统考开学考试高三统考开学考试)设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点分别为 A,B，上顶点为D，点P是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为F3,0，且经过点3,12.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定
48、点.【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点为F3,0，所以c=3，因为椭圆C经过点3,12，所以3a2+14b2=1，又a2=b2+c2=b2+3，所以3b2+3+14b2=1，解得b2=1(负值舍去)，所以a2=b2+3=4，故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)依题意，A-2,0,B 2,0,D 0,1，则kAD=12,kBD=-12，设直线BP的方程为y=k1(x-2)(k10且k112)，直线DP的方程为y=k2x+1(k20且k212)，则直线DP与x轴的交点为N-1k2,0，易得直线AD的方程为y=12x+1，联立y=12x+1y=k1(x-2)，解得x
49、=4k1+22k1-1y=4k12k1-1，则直线BP与直线AD的交点为M4k1+22k1-1,4k12k1-1，联立y=k2x+1x24+y2=1，消去y，得 4k22+1x2+8k2x=0，解得x=0或x=-8k24k22+1，此时0，则点P的横坐标为xP=-8k24k22+1，故点P的纵坐标为yP=k2-8k24k22+1+1=1-4k224k22+1，将点P的坐标代入直线BP的方程y=k1(x-2)，整理得 1+2k21-2k2=-2k11+2k22，因为1+2k20，所以2k1+4k1k2=2k2-1，即2k1=2k2-1-4k1k2，因为kMN=4k12k1-14k1+22k1-1
50、+1k2=4k1k24k1k2+2k2+2k1-1=2k1k22k2-1，所以直线MN的方程为：y=2k1k22k2-1x+1k2=2k1k2x+2k12k2-1=2k1k2x+2k2-1-4k1k22k2-1=2k1k2x-2+2k2-12k2-1，即y=2k1k22k2-1(x-2)+1，所以直线MN过定点(2,1).4.(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高三雅礼中学校考阶段练习高三雅礼中学校考阶段练习)如图，椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆 C1右焦点到右顶点的距离为 3-2 2，椭圆C1的下顶点为E，过