《2023届高考数学专项练习微专题 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习微专题 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究含解析.pdf（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、微专题 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究【秒杀总结】交点轨迹问题的常用技巧：【秒杀总结】交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标【典型例题】例1.【典型例题】例1.(2023(2023全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点 4,13，离心率为14，直线l:x=9交x轴于点A，过点A作直线交双曲线于M,N两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；(3)设P,Q是直线l上关于x轴对称的两点，直线PM
2、与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.2023届高考数学专项练习例例2.2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 F 0,c(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为3 22(1)求抛物线C的方程；(2)设点P(x0，y0)为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(3)过(2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程例例3.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭
3、圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OAOB(O为坐标原点)，OHAB于H点试求点H的轨迹方程例例4.4.(20232023 全国全国 高三开学考试高三开学考试)椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且过点 2 2,2.(1)求椭圆E的方程；(2)F1，F2分别为椭圆E的左右焦点，动点A，B在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线MF1与NF2的交点在定圆上.例例5.5.(【全国市级联考】山西省
4、晋中市【全国市级联考】山西省晋中市 20232023届高三届高三1 1月高考适应性调研考试数学月高考适应性调研考试数学(理理)试题试题)已知抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点是椭圆 M：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点，且两曲线有公共点23，2 63(1)求椭圆M的方程；(2)椭圆M的左、右顶点分别为A1，A2，若过点B 4，0且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P，Q两点，已知直线A1P与A2Q相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.例例6.6.(安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学 20222
5、022-20232023学年高三上学期期中联考数学试题学年高三上学期期中联考数学试题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B 1,32在椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=k(x-4)(k0)与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程例例7.7.(【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学20222022-20232023学年高三学年高三4 4月月考数学月月考数学(理理)试题试题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、
6、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，且经过点 1,32.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l l:y y=k k x x-4k k0与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为A1,A2,直线A1M与A2N相交于点G，证明点G在定直线上，并求出定直线的方程.例例8.8.(山西省晋城市山西省晋城市20232023届高三上学期第一次模拟考试数学试题届高三上学期第一次模拟考试数学试题)已知点P 1,32在椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0上，F2为椭圆 C 的右焦点，A1、A2分别为椭圆 C 的左、右两个顶点.若过点 B 4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MA1、MA2的斜
7、率之积为-34.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：G、P、F2三点共线.例例9.9.(广东省东莞市广东省东莞市 20222022-20232023 学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的两个焦点分别是 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1+PF2=4，记椭圆 C 的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，A1A2B的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过点B的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，且k1k
8、2=2试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【过关测试】【过关测试】1.(四川省四川省20232023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题)在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为-2,0，2,0，P是坐标平面内的动点，且直线 PA，PB的斜率之积等于-14.设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点 1,0且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.2
9、.(浙江省杭州第二中学浙江省杭州第二中学 20222022-20232023 学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)已知圆M:(x-3)2+y2=9以及圆C:x2+y2=4.(1)求过点(1，2)，并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；(2)设D(2,0)，过点D作斜率非0的直线l1，交圆M于P、Q两点.(i)过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；(ii)设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.3.(江苏省南通市海安高级中学江苏省南通市海安高级中
10、学 20222022-20232023学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆 C1的中心为坐标原点，焦点 F1，F2均在 x 轴上，椭圆 C1的面积为 2 3，且短轴长为 2 3椭圆C2:x2m+y23=1(0m0,b0的左右两个焦点，O为坐标原点，若点 P在双曲线C的右支上，且 OP=OF1=2,PF1F2的面积为3.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的两顶点分别为A1-a,0,A2a,0，过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A
11、2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.5.(上海市格致中学上海市格致中学 20232023 届高三上学期期中数学试题届高三上学期期中数学试题)椭圆 C1：x2a2+y2b2=1 ab0的焦点 F1，F2是等轴双曲线C2：x22-y22=1的顶点，若椭圆C1与双曲线C2的一个交点是P，PF1F2的周长为4+2 2.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)点M是双曲线C2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF1、MF2的斜率分别为k1，k2，求证k1，k2的乘积为定值；(3)过点Q-4,0任作一动直线l交椭圆C1与A，B两点，记AQ=QB R，若在直线AB上取一点R
12、，使得AR=-RB，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.6.(黑龙江省齐齐哈尔市黑龙江省齐齐哈尔市 20222022-20232023 学年高三上学期期末考试数学学年高三上学期期末考试数学(理理)试题试题)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率e=12，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上的动点，PF的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点F作直线交椭圆C于M，N两点，直线AM、BN交于点T，试探究点T是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.7.(湖北省云学新高考
13、联盟学校湖北省云学新高考联盟学校 20222022-20232023 学年高三上学期学年高三上学期 1010 月联考数学试题月联考数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,-3),B(3,3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1),D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；设直线OP,DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由8.(江苏省南京市第九中学江苏省南京市第九中学 20222
14、022-20232023 学年高三上学期期末模拟数学试题学年高三上学期期末模拟数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,3)，B(3,-3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称.(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1)，D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.(i)过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；(ii)设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.9.(【市级联考】江苏省盐城市【市级联考】江苏省盐城市20182018 20192019
15、学年高三第二学期期末考试数学学年高三第二学期期末考试数学(文理合卷文理合卷)试题试题)如图，已知椭圆C1:x24+y22=1与椭圆C2:y22+x2m2=1 0mb0)的左、右顶点，P为椭圆C上非顶点的点，直 A1P,A2P线的斜率分别为k1,k2，且k1k2=-34.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l(与x轴不重合)过点(1,0)且与椭圆C交于M、N两点，直线A1M与A2N交于点S，试求S点的轨迹是否是垂直x轴的直线，若是，则求出S点的轨迹方程，若不是，请说明理由.13.(广东省新高考广东省新高考 20232023 届高三下学期开学调研数学试题届高三下学期开学调研数学试题)已知 A,B 两点
16、的坐标分别为-1,0，1,0，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为4(1)求点P的轨迹方程；(2)过点12,0的直线l与点P的轨迹交于C，D两点，试探究直线AC与BD的交点M是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由14.(20212021年全国高中名校名师原创预测卷数学年全国高中名校名师原创预测卷数学(第四模拟第四模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33，上、下顶点分别为B1，B2，直线l经过点D 0,b2且与椭圆C交于P，Q两点，当B1P+B1Q=2B1D 时，四边形B1PB2Q的面积为6 2(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线B1P，B2Q
17、交于点N，试判断点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由15.(江苏省南京师大附中江苏省南京师大附中20222022-20232023学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为2 3(1)求a，b的值(2)当过点P(6，0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得 AP BQ=AQ BP，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.16.(福建省泉州第一中学福建省泉州第一中
18、学 20222022-20232023 学年高三上学期期中考试数学试题学年高三上学期期中考试数学试题)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的左右顶点分别为A1，A2，离心率为22，点P 1,22在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若过点B 2,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.17.(四川省成都市锦江区成都市盐道街中学四川省成都市锦江区成都市盐道街中学 20222022-20232023 学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)已知椭圆 C:x2a2+y
19、2b2=1 ab0的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点B 4,0，F2为线段A1B的中点.(1)求椭圆C的方程.(2)若过点B且斜率不为0的直线与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.18.(江西省鹰潭市江西省鹰潭市 20232023 届高三第二次模拟考数学试题届高三第二次模拟考数学试题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0离心率为12，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.过点F2任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两
20、点，MNF1的周长为8.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线A1M，A2N交于点D，试判断点D是否存在某条定直线x=t上.若是，求出t的值；若不是，请说明理由.19.(重庆市第十一中学校重庆市第十一中学校20232023届高三上学期届高三上学期1212月月考数学试题月月考数学试题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0，点 A1、A2分别为椭圆 C 的左右顶点，点 F1-1,0、F21,0分别为椭圆 C 的左右焦点，过点 F2任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M、N两点，MNF1的周长为8.(1)求椭圆的方程.(2)若直线A1M，A2N交于点D，试判断点D是否在某条定直线点x=t上，若是
21、，求出t的值；若不是，请说明理由.微专题 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究【秒杀总结】【秒杀总结】交点轨迹问题的常用技巧：交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标【典型例题】【典型例题】例例1.1.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点 4,13，离心率为14，直线l:x=9交x轴于点A，过点A作直线交双曲线于M,N两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；(3)设P,Q是直
22、线l上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【解析】(1)由题意得：16a2-169b2=1，ca=14，a2+b2=c2.解得a2=3，b2=39，所以双曲线的标准方程为x23-y239=1.(2)方法1：设N x0,y0，则Mx0+92,y02依题意有x023-y0239=1x0+9234-y02394=1解得x0=-4，y0=13所以直线MN的方程为x+y-9=0或x-y-9=0.方法2：设直线MN的方程为y=k x-9，与双曲线的方程x23-y239=1联立得：13-k2x2+18k2x-81k2+39=0.当=324k4+4 13-k281k2+3
23、90时设M x1,y1，N x2,y2，得x1+x2=-18k213-k2，x1x2=-81k2+3913-k2.又因为x1=x2+92，所以x2=-9k2+3913-k2，x22+9x22=-81k2+3913-k2，解得k2=1.此时0，所以直线MN的方程为x+y-9=0或x-y-9=0.(3)方法1：设P 9,t，Q 9,-t，直线PM的方程为y-t=y1-tx1-9x-9，直线ON的方程y+t=y2+tx2-9x-9，联立两方程，可得2t=y2+tx2-9-y1-tx1-9x-9结合(2)方法2，可得y2+tx2-9-y1-tx1-9=k x2-9+tx2-9-k x1-9-tx1-9
24、=t x1+x2-18x1x2-9 x1+x2+81代入得2=x1+x2-18x1x2-9 x1+x2+81 x-9故x=2x1x2-9 x1+x2x1+x2-18=2-81k2+3913-k2-9-18k213-k218k213-k2-18=13.所以直线PM与QN的交点在定直线x=13上.方法2：设直线MN的方程为x=my+9，与双曲线的方程x23-y239=1联立得：13m2-1y2+234my+1014=0.设M x1,y1，N x2,y2，P 9,t，Q 9,-t，由根与系数的关系，得y1+y2=-234m13m2-1，y1y2=101413m2-1.lPM：y-t=y1-tx1-9
25、x-9，lQN：y+t=y2+tx2-9x-9，联立两方程，可得：2t=y2+tx2-9-y1-tx1-9x-9=y2+tmy2-y1-tmy1x-9=y1+y2my1y2t x-9=-234m13m2-1m101413m2-1t x-9=-313t x-9，解得x=13所以直线PM与QN的交点在定直线x=13上.例例2.2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 F 0,c(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为3 22(1)求抛物线C的方程；(2)设点P(x0，y0)为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，
26、求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(3)过(2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程【解析】(1)设抛物线的方程为x2=2py，抛物线C的焦点F 0,c(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为3 22，|0-c-2|2=3 22，解得c=1或c=-5(舍去)，p2=1，p=2，抛物线C的方程为x2=4y(2)设P(x0，x0-2)，设切点为 x,x24，曲线C:y=x24，y=x2，则切线的斜率为x24-(x0-2)x-x0=y=x2，化简得x2-2x0 x+4x0-8=0，设A x1，x124，B x2,x
27、224，则x1，x2是以上方程的两根，则x1+x2=2x0，x1x2=4x0-8，kAB=x124-x224x1-x2=x1+x24=x02，直线AB的方程为：y-x124=x02(x-x1)，整理得y=x02x-x0 x12+x124，切线PA的方程为y-x124=x12(x-x1)，整理得y=x12x-x124，且点P(x0，y0)在切线PA上，y0=x12x0-x124，即直线AB的方程为：y=x02x-y0，化简得x0 x-2y-2y0=0，又y0=x0-2，x0 x-2-2y+4=0，故直线AB过定点Q(2,2)(3)设A x1，x124，B x2,x224，过A的切线y=x12(x
28、-x1)+x124，过B的切线y=x22(x-x2)+x224，则交点Mx1+x22，x1x24设过Q点的直线为y=k(x-2)+2，联立y=k x-2+2x2=4y，得x2-4kx+8k-8=0，x1+x2=4k，x1x2=8k-2，M(2k,2k-2)，y=x-2点M满足的轨迹方程为x-y-2=0例例3.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OAOB(O为坐标原点)，OHAB于H点试求点H的轨迹方程【解析】(1)由题意
29、知：e=ca=12，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3故椭圆的方程为x24+y23=1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(i)若lx轴，可设H(x0，0)，因OAOB，则A(x0，x0)由x024+x023=1，得x20=127，即H 127,0；若ly轴，可设H(0,y0)，同理可得H 0,127；(ii)当直线l的斜率存在且不为0时，设l:y=kx+m，由y=kx+mx24+y23=1，消去y得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+
30、km(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2，由OAOB，知x1x2+y1y2=0故4m2-123+4k2+3m2-12k23+4k2=0，即7m2=12(k2+1)(记为)由OHAB，可知直线OH的方程为y=-1kx，联立方程组y=kx+my=-1kx，得k=-xym=x2y+y(记为)，将代入，化简得x2+y2=127综合(1)、(2)，可知点H的轨迹方程为x2+y2=127例例4.4.(20232023 全国全国 高三开学考试高三开学考试)椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，且过点 2 2,2.(1)求椭圆E的方程；(2)F1，F2分别为椭圆E的左右焦点，动点A
31、，B在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线MF1与NF2的交点在定圆上.【解析】(1)解：由ca=22得a=2c，由c2=a2-b2，所以b=c，把点 2 2,2代入方程得82c2+4c2=1，所以c2=8，所以椭圆E的方程为x216+y28=1.(2)解：设A x1,y1，P x2,y2，B-x1,y1，由AP方程：y-y1=y2-y1x2-x1x-x1，得M 0,x2y1-x1y2x2-x1，由BP方程：y-y1=y2-y1x2+x1x+x1，得N 0,x2y1+x1y2x2+x1，MF1的方程为y=x2y1-x
32、1y22 2 x2-x1x+2 2，NF2的方程为y=x2y1+x1y2-2 2 x2+x1x-2 2，由相乘得y2=x22y21-x21y22-8 x22-x21x2-8，由A，P在椭圆上可得y21=8-x212，y22=8-x222，代入式可得：y2=-x2-8，即直线MF1与NF2的交点在定圆x2+y2=8上.例例5.5.(【全国市级联考】山西省晋中市【全国市级联考】山西省晋中市 20232023届高三届高三1 1月高考适应性调研考试数学月高考适应性调研考试数学(理理)试题试题)已知抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点是椭圆 M：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点，且两曲线有
33、公共点23，2 63(1)求椭圆M的方程；(2)椭圆M的左、右顶点分别为A1，A2，若过点B 4，0且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P，Q两点，已知直线A1P与A2Q相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【解析】试题分析：(1)由条件易得：a2-b2=149a2+249b2=1，从而得到椭圆M的方程；(2)先由特殊位置定出G 1,-3 32，猜想点G在直线x=1上，由条件可得直线PQ的斜率存在，设直线PQ:y=k x-4k0，联立方程y=k x-43x2+4y2-12=0，消y得：3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0有两个不等的实根，利
34、用韦达定理转化条件即可.试题解析：(1)将23，2 63代入抛物线C:y2=2px得p=2抛物线的焦点为 1,0，则椭圆M中c=1，又点23,2 63在椭圆M上，a2-b2=149a2+249b2=1，解得a2=4,b2=3，椭圆M的方程为x24+y23=1(2)方法一当点P为椭圆的上顶点时，直线l的方程为3x+4y-4 3=0，此时点P 0,3，Q85,3 35，则直线lA1P:3x-2y+2 3=0和直线lA2Q:3 3x+2y-6 3=0，联立3x-2y+2 3=03 3x+2y-6 3=0，解得G 1,3 32，当点P为椭圆的下顶点时，由对称性知：G 1,-3 32.猜想点G在直线x=
35、1上，证明如下：由条件可得直线PQ的斜率存在，设直线PQ:y=k x-4k0，联立方程y=k x-43x2+4y2-12=0，消y得：3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0有两个不等的实根，=322k4-44 3+4k216k2-3=169 1-4k20，0k20，0k2b0)的左右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B 1,32在椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=k(x-4)(k0)与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程【解析】解:(1)因为F2(1,0),所以c=1,由题意知:a2=1+b21a
36、2+94b2=1,解得a=2b=3,则椭圆的方程为:x24+y23=1.(2)由椭圆对称性知G在x=x0上,假设直线 l过椭圆上顶点,则M(0,3),则k=-34,而N85,3 35,lA1M:y=32(x+2),lA2N:y=-3 32(x-2),其交点G 1,3 32,所以G在定直线x=1上;当M不在椭圆顶点时,设M x1,y1,N x2,y2,由y=k(x-4)x24+y23=1,整理得:3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0,则x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2,lA1M:y=y1x1+2(x+2),lA2N:y=y2x2-2(x-2),当x=1
37、时,3y1x1+2=-y2x2-2,得3k x1-4x1+2=-k x2-4x2-2,得2x1x2-5 x1+x2+8=0,得264k2-123+4k2-532k23+4k2+8=0,上式显然成立,所以G在定直线x=1上.例例7.7.(【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学20222022-20232023学年高三学年高三4 4月月考数学月月考数学(理理)试题试题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，且经过点 1,32.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l l:y y=k k x x-4k k0与椭圆C相
38、交于点M，N，椭圆C的左右顶点为A1,A2,直线A1M与A2N相交于点G，证明点G在定直线上，并求出定直线的方程.【解析】(1)离心率为12，即ca=12，而a2=b2+c2所以b2=34a2，椭圆经过点 1,32.所以1a2+94b2=1，由联立方程组，解得a2=4,b2=3，所以椭圆的方程为x24+y23=1(2)由椭圆的对称性可知点G一定在x=x0上，假设直线l过椭圆的上顶点，则M(0,3)，l:y=k x-4k0，显然直线l 过定点(4，0)所以k=-34，椭圆方程与直线方程联立，求出点N的坐标为85,3 35lA1M:y=32(x+2)lA2N:y=-3 32(x-2)两方程联立，解
39、得交点G 1,3 32，所以G在定直线x=1上当M不是椭圆顶点时，设M(x1,y1),N(x2,y2)椭圆方程与直线l联立y=k(x-4)x24+y23=1 消去y，整理得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0所以有x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2lA1M:y=y1x1+2(x+2)lA2N:y=y2x2-2(x-2)当x=1时，3y1x1+2=-y2x2-2把y1=k x1-4,y2=k x2-4代入整理得：2x1x2-5(x1+x2)+8=0 所以有264k2-123+4k2-532k23+4k2+8=0,显然成立，所以G在定直线x=1上例例8
40、.8.(山西省晋城市山西省晋城市20232023届高三上学期第一次模拟考试数学试题届高三上学期第一次模拟考试数学试题)已知点P 1,32在椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0上，F2为椭圆 C 的右焦点，A1、A2分别为椭圆 C 的左、右两个顶点.若过点 B 4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MA1、MA2的斜率之积为-34.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：G、P、F2三点共线.【解析】(1)设点M x1,y1，其中y10，则x21a2+y21b2=1，可得y21=b2-b2x21a2，易知点A1-a,0、A2a,0，kMA1kMA2
41、=y1x1+ay1x1-a=b21-x21a2x21-a2=b2a2-x21a2x21-a2=-b2a2=-34，所以，1a2+94b2=1b2a2=34，解得a2=4，b2=3，因此，椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)易知点F21,0、A1-2,0、A22,0，设点M x1,y1、N x2,y2，设直线l的方程为x=my+4，其中m0，联立x=my+43x2+4y2=12，可得 3m2+4y2+24my+36=0，=242m2-144 3m2+4=144 m2-40，解得m2，由韦达定理可得y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4，kA1M=-34kA2M=-34y1x
42、1-2=-3 my1+24y1，直线A1M的方程为y=-3 my1+24y1x+2，kA2N=y2x2-2=y2my2+2，直线A2N的方程为y=y2my2+2x-2，联立y=-3 my1+24y1x+2y=y2my2+2x-2 可得-34x+2x-2=y1y2my1+2my2+2=y1y2m2y1y2+2m y1+y2+4=3636m2-48m2+4 3m2+4=94，解得x=1，即点G的横坐标为1，因此，G、P、F2三点共线.例例9.9.(广东省东莞市广东省东莞市 20222022-20232023 学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题)已知
43、椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的两个焦点分别是 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1+PF2=4，记椭圆 C 的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，A1A2B的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过点B的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=2试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a依题意，PF1+PF2=4=2a得a=2，由A1A2B的面积为2得SA1A2B=ab=2得b=1所以，椭圆C的方程是x24+y2=1(2)将直线MN的方程y=k
44、x+m代入x24+y2=1，消去y，整理得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0=64k2m2-4 1+4k24m2-4=16 4k2-m2+10(*)设M x1,y1,N x2,y2,则x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2由题意kBMkBN=2y1-1x1y2-1x2=2，将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式并化简得整理得 k2-2x1x2+k m-1x1+x2+m-12=0将式代入 k2-24m2-41+4k2+k m-1-8km1+4k2+m-12=0由直线不过点B得m1，从而化简后：-7m-9=0 m=-97所以直线MN过定点 0,-97【过关测试
45、】【过关测试】1.(四川省四川省20232023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题)在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为-2,0，2,0，P是坐标平面内的动点，且直线 PA，PB的斜率之积等于-14.设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点 1,0且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【解析】(1)设点P的坐标为 x,y，由yx+2yx-2=-14，得4y2=4-x2，即x
46、24+y2=1 y0.故轨迹C的方程为：x24+y2=1 y0(2)根据题意，可设直线MN的方程为：x=my+1，由x=my+1x24+y2=1，消去x并整理得 m2+4y2+2my-3=0其中，=4m2+12 m2+4=16m2+480.设M x1,y1，N x2,y2，则y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于2(y1，y2不为0)，从而可设直线AM的方程为y=y1x1+2x+2，直线BN的方程为y=y2x2-2x-2，所以，直线AM，BN的交点Q x0,y0的坐标满足：x0+2=y2x1+2y1x2-2 x0-2而y2x1+2y1x2
47、-2=y2my1+3y1my2-1=my1y2+3y2my1y2-y1=-3mm2+4+3-2mm2+4-y1-3mm2+4-y1=-9m-3 m2+4y1-3m-m2+4y1=3，因此，x0=4，即点Q在直线x=4上.所以，探究发现的结论是正确的.2.(浙江省杭州第二中学浙江省杭州第二中学 20222022-20232023 学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)已知圆M:(x-3)2+y2=9以及圆C:x2+y2=4.(1)求过点(1，2)，并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；(2)设D(2,0)，过点D作斜率非0的直线l1，交圆M于P、Q两点.(i)过点D作与直线l1垂
48、直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；(ii)设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)联立两圆方程，可得(x-3)2+y2=9x2+y2=4，消去y整理可得：x2-6x+9+4-x2=9，解得x=23，则y=4 23，则所求圆所过点分别为A 1,2，A123,4 23，A223,-4 23，由A1A2的中垂线为x轴，则可设圆心H a,0，由AH=A1H，则1-a2+22=23-a2+4 232，解得a=32，故所求圆的半径r1=1-322+22=172，故圆H的标准方
49、程为 x-322+y2=174.(2)(i)由M:(x-3)2+y2=9，则圆心M 3,0，半径r=3，由直线l1过点D且斜率非0，则可设l1:kx-y-2k=0，即点M到直线l1的距离d1=3k-2k1+k2=k1+k2，故 QP=2 r2-d12=29-k21+k2=28k2+91+k2，由l1l2，且直线l2过点D，则可设l2:x+ky-2=0，即点M到直线l2的距离d2=3-21+k2=11+k2，故 EF=2 r2-d22=29-11+k2=29k2+81+k2，故S=12 EF QP=1228k2+91+k229k2+81+k2=28k2+99k2+81+k22217 1+k221
50、+k2=17，当且仅当9k2+8=8k2+9，即k=1时，取等号，故四边形EPFQ的面积为S最大值为17.(ii)设P x1,y1,Q x2,y2，设直线PQ:x=my+2，联立(x-3)2+y2=9x=my+2，消x得 m2+1y2-2my-8=0，则y1+y2=2m1+m2,y1y2=-81+m2，即y1+y2y1y2=-m4，直线OP的方程为y=y1x1x，直线BQ的直线方程为y=y2x2-6x-6，联立y=y1x1xy=y2x2-6x-6，消y得y1x1x=y2x2-6x-6，解得x=6x1y2x1y2-y1x2-6=6 my1+2y2my1+2y2-y1my2-4，由y1+y2y1y