相似三角形压轴题含复习资料.docx

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1、1、(2021学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,四边形中,点在的延长线上,联结,交于点,联结DB ,且.(1) 求证:;2当平分时,求证:四边形是菱形.答案:1证明:, 2分, 1分 1分 1分 2 ,又, 1分 1分又,四边形是平行四边形 1分 1分平分, 1分 1分四边形是菱形 1分2、2021山东省泰安市如图,在ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点,且满足AD=AB,ADE=C1求证:AED=ADC,DEC=B;2求证:AB2=AEAC2本小题总分值8分证明:1在ADE和ACD中ADE=C,DAE=DAEAED=180DAEADEADC=180ADECAED=ADC2分A

2、ED+DEC=180ADB+ADC=180DEC=ADB又AB=ADADB=BDEC=B4分2在ADE和ACD中由1知ADE=C,DAE=DAEADEACD5分即AD2=AEAC7分又AB=ADAB2=AEAC8分3. 2021泰安如图,ABC是直角三角形,ACB=90,CDAB于D,E是AC的中点,ED的延长线及CB的延长线交于点F。(1) 求证:FD2=FBFC。(2) 假设G是BC的中点,连接GD,GD及EF垂直吗?并说明理由。【答案】证明:1E是RtACD斜边中点DE=EAA=2 1=21=AFDC=CDB+1=90+1,FBD=ACB+A=90+AFDC=FBDF是公共角FBDFDC

3、2GDEF理由如下:DG是RtCDB斜边上的中线,DG=GC3=4由1得4=13=1 3+5=905+1=90DGEF 4、2021 广东珠海如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFEB.(1) 求证:ADFDEC(2) 假设AB4,AD3,AE3,求AF的长.【答案】1证明:四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解:四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中,DE= ADFDEC AF=

4、5、2021广东肇庆如图5,ACB=90, AC=BC,BECE于E,ADCE于D,CE及AB交于F.(1) 求证:CEBADC;(2) 假设AD=9cm,DE6cm,求BE和EF的长.【答案】解:1因为ACB=90,所以BCE+ECA=90.因为ADCE于D,所以CAD+ECA=90.所以BCE=CAD.因为BECE于E,所以BEC=CDA=90.又因为AC=BC,所以CEBADCAAS.(3) 因为CEBADC,所以CE=AD=9cm,CD=BE.因为DE6cm,所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因为BEF=ADF=90,EFB=DFA,所以EFBDFA.所以.设EF=xcm

5、,所以DF=(6-x)cm,所以,所以x=cm.6、.(2021年潍坊),延长BC到D,使取的中点,连结交于点1求的值;2假设,求的长解:1过点F作,交于点为的中点为的中点, 由,得,2又7、2021东莞市21如图1,ABC及EFD为等腰直角三角形,AC及DE重合,AB=AC=EF=9,BAC=DEF=90,固定ABC,将DEF绕点A顺时针旋转,当DF边及AB边重合时,旋转中止现不考虑旋转开场和完毕时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G,H点,如图(2)题21图(1)BHFADGCECEBFAD题21图(2)1问:始终及AGC相似的三角形有 及 ;2设CG

6、=x,BH=y,求y关于x的函数关系式只要求根据图(2)的情形说明理由3问:当x为何值时,AGH是等腰三角形.【答案】解:1HAB ,HGA。 2AGCHAB,即。 又BC=。 y关于x的函数关系式为。 3当GAH= 45是等腰三角形.的底角时,如图1, 可知。 当GAH= 45是等腰三角形.的顶角时, 如图2, 在HGA和AGC中 AGH=CGA,GAH=C=450, HGAAGC。 AG=AH, 当或时,AGH是等腰三角形。8、(2021武汉)如图1,在中,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点1求证:;2当为边中点,时,如图2,求的值;3当为边中点,时,请直接写出的值BBAACOEDDE

7、COF图1图2F【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解:1,BADECOFG2解法一:作,交的延长线于,是边的中点,由1有,又,BADECOF解法二:于,设,那么,由1知,设,在中,3(第22题)9、(2021济宁市)数学课上,李教师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,及的比值是多少?经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,如图,那么可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得及的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的

8、这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.221解:过作直线平行于交,分别于点, 那么,.,.2分. 4分2证明:作交于点,5分那么,.7分.8分M10、2021湖北省咸宁24此题总分值12分如图,直角梯形ABCD中,ABDC,动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以一样的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时,两点同时停顿运动过点M作直线lAD,及线段CD的交点为E,及折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t秒1当时,求线段的长;2当0t2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;3当t2时,连接PQ交线段AC

9、于点R请探究是否为定值,假设是,试求这个定值;假设不是,请说明理由ABCD备用图1ABCD备用图2QABCDlMP第24题E24解:1过点C作于F,那么四边形AFCD为矩形QABCDlMP第24题EF,此时,RtAQMRtACF2分即,3分2为锐角,故有两种情况:当时,点P及点E重合此时,即,5分ABCD备用图1QPElM当时,如备用图1,此时RtPEQRtQMA,由1知,而,综上所述,或8分说明:未综述,不扣分3为定值9分当2时,如备用图2,ABCD备用图2MQRFP由1得,四边形AMQP为矩形 11分CRQCAB12分11、五、石景山24题:在中,,是底边上一点,是线段上一点,且(1) 如

10、图1,假设,猜测及的数量关系为 ;(2) 如图2,假设,猜测及的数量关系,并证明你的结论;图1 图23假设,请直接写出及的数量关系.【参考答案】24.解:1图(1)(2) 证明:过点作交的延长线于点,在 上取点使得图(2)由得(3) 结论:.AODCMByx2511漳州总分值13分如图,直线y2x2及x轴、y轴分别交于A、B两点,将OAB绕点O逆时针方向旋转90后得到OCD1填空:点C的坐标是(_ ,_ ),点D的坐标是(_ ,_ );2设直线CD及AB交于点M,求线段BM的长;3在y轴上是否存在点P,使得BMP是等腰三角形?假设存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由【答

11、案】解:1点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(2,0) 4分2方法一:由1可知CD ,BC1又15,43BMCDOC 6分 即BM 8分方法二:设直线CD的解析式为ykxb由1得 解得直线CD的解析式为y x1又15,BCMDCOBMCDOC 6分 即BM 8分 M的坐标为(,) 6分过点M作MEy轴于点E,那么ME,BEBM 8分3存在 9分分两种情况讨论: 以BM为腰时BM,又点P在y轴上,且BPBM此时满足条件的点P有两个,它们是P1 (0,2)、P2 (0,2) 11分过点M作MEy轴于点E,BMC90,AODCMByxP3EAODCMByxP1P215那么BMEBCMBE又BMBP

12、PEBEBPOP2此时满足条件的点P有一个,它是P3 (0,) 12分 以BM为底时,作BM的垂直平分线,分别交y轴、BM于点P、F,AODCMByxP4F由2得BMC90,PFCMF是BM的中点,BPBCOP此时满足条件的点P有一个,它是P4 (0,) 综上所述,符合条件的点P有四个,它们是:P1 (0,2)、P2 (0,2)、P3 (0,)、P4 (0,) 13分13.(2021福建省莆田市)如图1,在Rt中,点D在边AB上运动,DE平分交边BC于点E,垂足为,垂足为N.第24题1当AD=CD时,求证:;2探究:AD为何值时,及相似?3探究:AD为何值时,四边形MEND及的面积相等?24本

13、小题总分值12分第24题1证明:1分又DE是BDC的平分线BDC=2BDEDAC=BDE2分DEAC3分2解:当时,得BD=DCDE平分BDCDEBC,BE=EC.又ACB=90 DEAC.4分即AD=55分当时,得ENBD又ENCD BDCD即CD是ABC斜边上的高6分由三角形面积公式得ABCD=ACBC CD=7分综上,当AD=5或时,BME及CNE相似.3由角平分线性质易得 即8分EM是BD的垂直平分线.第24题EDB=DBEEDB=CDE DBE=CDE又DCE=BCD9分10分即11分由式得12分14、2021莆田市质检24本小题总分值12分如图,在RtABC中,ACB=90, AC

14、=8, BC=6,点D是射线CA上的一个动点不及A、C重合, DE直线AB于E点,F是BD 的中点,过点F作FH直线AB于点H,连接EF,设ADx.(1)3分假设点D在AC边上,求FH的长用含x的式子表示; 4分假设点D在射线CA上,BEF的面积为S,求s及x的函数关系式,并写出x的取值范围 (2) ( 5分假设点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP及EF相交于O点,当DP + FP的值最小时,猜测DO及PO之间的数量关系,并加以证明24.解:1, 1分方法一: 2分,是的中点 3分方法二:, 2分,是的中点 3分 4分有两种情况:当点在边上时,如图1:5分 , 6分当点在延长线上时,

15、如图2:同理得:, , 7分2猜测:8分证明:作点关于的对称点,连接那么于,连接交于,交于,此时的值最小时.连接. 又四边形是平行四边形9分方法一:如图3,在及中 10分 11分 化简得:12分方法二:连接如图4: 且=10分 11分 12分方法三:取的中点,连接如图5: 又四边形是平行四边形 10分,11分 12分15、(2021福建省莆田市)24(本小题总分值12分)(1)(3分)如图,在RtABC中,ABC=90,BDAC于点D 求证:AB2ADAC;(2)(4分)如图,在RtABC中,ABC=90,点D为BC边上的点,BEAD于点E,延长BE交AC于点F,求的值;(3)(5分) 在Rt

16、ABC中,ABC=90,点D为直线BC上的动点(点D不及B、C重合),直线BED于点E,交直线AC于点F。假设,请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表示),不必证明24(本小题总分值12分)(1)证明:如图,BDAC,ABC=90,ADBABC 又 AA, ADBABC (2分) , AB2ADAC(3分)(2)解:方法一:如图,过点C作CGAD交AD的延长线于点G (4分) BEAD, CGDBED90,CGBF又ABBC2BD2DC,BDDC又BDECDG,BDECDGEDGD(5分)由(1)可得:AB2AEAD,BD2DEAD, AE4DE, (6分)又CGBF,(7分)方法二:如图,过点D作DGBF交AC于点G(4分) ,BDDC,ABBC DGBF,FC2FG(5分) 由(1)可知:AB2AEAD,BD2DEAD (6分) DGBF,(7分)(3) 当点D在BC边上时,的值为n2n. 当点D在Bc延长线上时,的值为n2n 当点D在cB延长线上时,的值为nn2 (注:写对一种得1分,写对二种得3分,写对三种得5分)第 13 页

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