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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试2全国卷数学文试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.集合A=( ) A.( -1，3) B.( -1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)2.假设a实数，且( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根据下面给出的2004年至2021年我国二氧化碳年排放量单位：万吨柱形图，以下结论中不正确的选项是( )A.逐年比拟，2021年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量及年份正相关。A. -1 B. 0
2、 C. 1 D. 2假设( )A. 5 B. 7 C. 9 D. 116.一个正方体被一个平面截去一局部后，剩余局部的三视图如右图，那么截去局部体积及剩余局部体积的比值为 ( )A. B. C. D. ,那么外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B. C. D. 8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术。执行该程序框图，假设输入的a,b分别为14,18，那么输出的a为( )开场输入a,babab输出a 是 否 是 否完毕b=b-aa=a-bA. 2 B. 1 C. D. 10.A,B是球O的球面上两点，假设三棱锥O-ABC体积的最大值为36，那么球O的外表积
3、为( )A. 36 B. 64 C. 14411.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,及DA运动，记A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每题5分14.假设x,y满足约束条件 。，且渐近线方程为，那么该双曲线的标准方程为 。在点1,1处的切线及曲线 。三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.求 假设18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.B地区用户满意度评分的频数分布表满意
4、度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频 数2814106I在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比拟两地区满意度评分的平均值及分散程度,不要求计算出具体值,给出结论即可II根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19.如图,长方体中AB=16,BC=10,点E,F分别在 上,过点E,F的平面及此长方体的面相交,交线围成一个正方形.I在图中画出这个正方形不必说明画法及理由；II求平面把该长方体分成
5、的两局部体积的比值.20. 椭圆 的离心率为,点在C上.I求C的方程；II直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l及C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率及直线l的斜率乘积为定值.I讨论的单调性；II当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围. 22.选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点, O及ABC的底边BC交于M,N两点,及底边上的高交于点G,且及AB,AC分别相切于E,F两点.I证明.II假设AG等于O的半径,且 ,求四边形EDCF的面积.23.选修4-4：坐标系及参数方程在直角坐标系中,曲线 t为参数,且 ,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极
6、坐标系中,曲线 I求及交点的直角坐标；II假设及 相交于点A,及相交于点B,求最大值24.选修4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：I假设 ,那么；II是的充要条件.2021 年高考文科数学试卷全国卷2解析版1.【答案】A【解析】因为,所以应选A.2【答案】D【解析】由题意可得 ,应选D.3【答案】 D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量根本成递减趋势,所以二氧化碳排放量及年份负相关,应选D.4【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.应选C.5【答案】A【解析】试题解析：由,所有.应选A.6【答案】D【解析】试题分析：如下图，截去局部是正方体的一个角,其体积
7、是正方体体积的,剩余局部体积是正方体体积的,所以截去局部体积及剩余局部体积的比值为 ,应选D.7【答案】B【解析】试题分析：外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离. 应选B.8【答案】B【解析】试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,应选B.9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.10【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为R,那么AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的外表积.应选C.11【答案】B【解析】试题分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，所
8、以 ,可知时图像不是线段,可排除A,应选B.12【答案】A【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .应选A.13【答案】-2【解析】试题分析：由可得 .14【答案】8【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经历算,时.15【答案】【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.16【答案】8【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,及 联立得,显然,所以由 .17【答案】；. 【解析】试题分析：利用正弦定理转化得：由诱导公式可得 由知,所以 试题解析：由正弦定理得 因
9、为AD平分BAC,BD=2DC,所以.因为 所以 由I知,所以 18【答案】见试题解析A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.【解析】试题分析：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比拟集中,而A地区用户满意度评分比拟分散.II由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.试题解析：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比拟集中,而A地区用户满意度评分比拟分散.A地区的
10、用户的满意度等级为不满意的概率大.记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意.由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.19【答案】见试题解析 或【解析】试题分析：分别在上取H,G,使；长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为 或试题解析：解：交线围成的正方形如图：作 垂足为M,那么,因为是正方形,所以,于是 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为 也正确.20【答案】见试题解析【解析】试题分析：由 求得,由此可得C的方程.II把直线方程及椭圆方程联立得,所以于是.
11、试题解析：解：由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.设直线,把代入 得故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率及直线l的斜率乘积为定值.21【答案】,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；.【解析】试题分析：由,可分,两种情况来讨论；II由I知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,那么在是增函数,当时,当时,因此a的取值范围是.试题解析：的定义域为,假设,那么,在是单调递增；假设,那么当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.由知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,那么在是增函数,于是,当时,当时,因此a的取值范围是.22【答案】见试题解析； 【解析】试题分析：要证明, 可
12、证明；先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为ABC和AEF面积之差来求.试题解析：由于ABC是等腰三角形, 所以AD是的平分线,又因为圆O及AB,AC分别相切于E,F,所以,故,所以.由知,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,那么,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以,因此,ABC和AEF都是等边三角形,因为,所以 因为 所以OD=1,于是AD=5, 所以四边形DBCF的面积为 23【答案】；4.【解析】试题分析：把及的方程化为直角坐标方程分别为,联立解方程组可得交点坐标；先确定曲线极坐标方程为进一步求出点A的极坐标为,点B的极坐标为,由此可得.试题解析：解：曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以及交点的直角坐标.曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以,当时取得最大值,最大值为4.24【解析】试题分析：由及,可证明,开方即得.本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性及充分性来证明.试题解析：解：因为 由题设,得,因此.假设,那么,即 因为,所以,由得.假设,那么,即因为,所以,于是因此,综上是的充要条件.第 10 页