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1、_2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCB CDC DAD2函数(x1)的反函数为()Ayx21(x0) Byx21(x1)Cyx21(x0) Dyx21(x1)3若函数(0,2)是偶函数，则()A B C D4已知为第二象限角，则sin2()A B C D5椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为()A BC D6已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B C
2、D7 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A240种 B360种 C480种 D720种8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B C D19ABC中，AB边的高为CD若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A BC D10已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A B C D11已知xln ，ylog52，则()Axyz BzxyCzyx Dyzx12正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上
3、，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A8 B6 C4 D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13(x)8的展开式中x2的系数为_14若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_15当函数ysinxcosx(0x2)取得最大值时，x_.16已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17ABC中，内角A，B，C成等差数
4、列，其对边a，b，c满足2b23ac，求A18已知数列an中，a11，前n项和.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一点，PE2EC(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小20乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为
5、1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率 21已知函数f(x)x3x2ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线l与x轴的交点在曲线yf(x)上，求a的值22已知抛物线C：y(x1)2与圆M：(x1)2(y)2r2(r0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1 B正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，CB2 A，y
6、2x1，xy21，x，y互换可得：yx21.又.反函数中x0，故选A项3C是偶函数，f(0)1.(kZ)3k(kZ)又0,2，当k0时，.故选C项4A，且为第二象限角，.故选A项5 C焦距为4，即2c4，c2.又准线x4，.a28.b2a2c2844.椭圆的方程为，故选C项6B当n1时，S12a2，又因S1a11，所以，.显然只有B项符合7 C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为，剩余5人进行全排列：，故总的情况有：480种故选C项8 D连结AC交BD于点O，连结OE，AB=2，.又，则AC=CC1.作CHAC1于点H，交OE于点M.由OE为ACC1的中位线知，CMOE，M为CH的中点
7、由BDAC，ECBD知，BD面EOC，CMBDCM面BDE.HM为直线AC1到平面BDE的距离又ACC1为等腰直角三角形，CH=2.HM=1.9 Dab0，ab.又|a|1，|b|2，.10 C设|PF2|m，则|PF1|2m，由双曲线定义|PF1|PF2|2a，2mm.又，由余弦定理可得cosF1PF2.11 Dxln 1，ylog52，且e01，yzx.12 B如图，由题意：tanBEF=，X2为HD中点，X6与E重合，故选B项13答案：7解析：(x)8展开式的通项为Tr1x8r()rCr82rx82r，令82r2，解得r3.x2的系数为237.14答案：1解析：由题意画出可行域，由z3x
8、y得y3xz，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z最大zmax3011.15答案：解析：ysinxcosx当y取最大值时，x2k.又0x2，.16答案：解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1FA1E，异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在AEA1中，.17解：由A，B，C成等差数列及ABC180，得B60，AC120.由2b23ac及正弦定理得2sin2B3sinAsinC，故.cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosC，即cosAcosC，cosAcosC0，cosA0或cosC0，所以A90或A30.18解：(1)由
9、得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n1时有anSnSn1，整理得.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得.综上，an的通项公式.19解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD设ACBD=F，连结EF.因为，PA=2，PE=2EC，故，从而，因为，FCE=PCA，所以FCEPCA，FEC=PAC=90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED(2)在平面PAB内过点A作A
10、GPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBCBC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则.所以PD与平面PBC所成的角为30.解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,
11、2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即且，令p1，则，n(1，)因为面PAB面PBC，故mn0，即，故，于是n(1，1，)，(，2)，n，60.因为PD与平面PBC所成角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.20解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和
12、第4次这两次发球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先(1)BA0AA1，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)20.60.40.48，P(B)P(A0AA1)P(A0A)P(A1)P(A0)P(A)P(A1)P()0.160.40.48(10.4)0.352.(2) P(B0)0.620.36，P(B1)20.40.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1B2A2B1A2B2P(C)P(A1B2A2B1A2B2)P(A1B2)P
13、(A2B1)P(A2B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.480.160.360.480.360.160.307 2.21解：(1)f(x)x22xa(x1)2a1.当a1时，f(x)0，且仅当a1，x1时，f(x)0，所以f(x)是R上的增函数；当a1时，f(x)0有两个根x11，x21.当x(，1)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增函数(2)由题设知，x1，x2为方程f(x)0的两个根，故有a1，x122x1a，x222x2a.因此f(x1)x13x12ax1x1(2x1
14、a)x12ax1x12ax1(2x1a)ax1(a1)x1.同理，f(x2)(a1)x2.因此直线l的方程为y(a1)x.设l与x轴的交点为(x0,0)，得，由题设知，点(x0,0)在曲线yf(x)上，故f(x0)0，解得a0或或.22解：(1)设A(x0，(x01)2)，对y(x1)2求导得y2(x1)，故l的斜率k2(x01)当x01时，不合题意，所以x01.圆心为M(1，)，MA的斜率.由lMA知kk1，即2(x01)1，解得x00，故A(0,1)，r|MA|，即.(2)设(t，(t1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为y(t1)22(t1)(xt)，即y2(t1)xt21.若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即，化简得t2(t24t6)0，解得t00，.抛物线C在点(ti，(ti1)2)(i0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y2x1，y2(t11)xt121，y2(t21)xt221，得.将x2代入得y1，故D(2，1)所以D到l的距离.17_