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1、学校活动课四色定理学校活动课四色定理12021/2/23我们的猜测与假设猜测与假设一：因为在地图中，有猜测与假设一：因为在地图中，有些地方假如不是四种颜色就会重复。些地方假如不是四种颜色就会重复。22021/2/23猜测与假设二：因为三种颜色和五猜测与假设二：因为三种颜色和五种颜色不行。种颜色不行。4种颜色少了，种颜色少了，4种颜色多了。种颜色多了。我们的猜测与假设4种颜色种颜色32021/2/23 所以，我们下来又做了进一步的准备。为了更好的理解四色定理，我们组的同学在网上查阅了相关的资料，询问了老师有关四色定理的问题，发现这是一个世界上著名的数学难题之一，但这并没有打退我们前进的步伐。更想
2、通过自己的思想证明这一难题！42021/2/23我们的资料：四色定理的历史理解难题首先要它的源头52021/2/23 地图四色定理又称四色猜测，最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。德摩尔根1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜测，是世界近代三大数学难题之一。四色定理的出现伴随着人类思想的腾飞62021/2/23四色猜测的诞生：四色猜测的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。这个现象能不能
3、从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进展论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有可以解决。以下图是上下对折，再左右对折形成一个轮胎，有7个区域两两相连，即7色定理，外国数学家构造72021/2/23四色问题的提出1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，
4、于是四色猜测成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜测的大会战。18781880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜测的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜测从此也就解决了。肯普的证明是这样的：首先指出假如没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的左图。如为正规地图，否那么为非正规地图右图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联络在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，假如有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜测成立，只要证明不存在一张正规五色地图
5、就足够了。肯普是用归谬法来证明的，大意是假如有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图，假如极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题，但是后来人们发现他错了。82021/2/23 不过肯普的证明说明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组
6、“构形是不可防止的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。92021/2/23小组成员及分工：小组成员及分工：组长：刘翔宇组员：龚庆丰 刘佳琪 李玥 高于森 周鑫 张海翔 蒲建宇 郭致远 冯莉钧 余楠 喻颖 郭晓宇 杨珈璐 刘赟琦 郭孜文 张培耕 梁海锐102021/2/23带着问题和假设，我们去了四川科技馆寻求答案 我们来到了四色定理板块,同学们都争先恐后的上去尝试,做了一遍又一遍,我们找到了一个零失误的好方法：首先,用颜色将最大的一块区域内蒙古填充好,再用颜色、依此将内蒙古周围的区域填充好,再依次向下填,等到脱离了内蒙古区域,颜色又可以使用,向下填时,假如颜色、不够用,那么就可以借助于颜色和
7、 就这样,一副完好的四色地图就呈如今眼前实地考察实地考察112021/2/23122021/2/23132021/2/23我们的发现我们的发现我们观察到：在地图中，宁夏的颜色最难确定。我们观察到：在地图中，宁夏的颜色最难确定。因为宁夏上有内蒙古，右有陕西，左有甘肃。而因为宁夏上有内蒙古，右有陕西，左有甘肃。而这三个省份，又是两两相连。所以，在这个区域，这三个省份，又是两两相连。所以，在这个区域，就必需要用到四种颜色。而其他地区，只要自己就必需要用到四种颜色。而其他地区，只要自己灵敏运用，就能完成。灵敏运用，就能完成。宁夏宁夏142021/2/23 我们回来后，根据在科技馆得到的启发和发现，对四
8、色定理问题进展更深化的探究。152021/2/23我们组的同学我们组的同学在百度上找到在百度上找到了四色定理的了四色定理的小游戏，我们小游戏，我们把它下载了，把它下载了，一遍又一遍的一遍又一遍的去玩，一遍又去玩，一遍又一遍的去探究，一遍的去探究，终于，在游戏终于，在游戏的启发下，我的启发下，我们找到了方法！们找到了方法！我们在到了游戏，我们便反复我们在到了游戏，我们便反复的去做，开场没什么进展。后的去做，开场没什么进展。后来，一位同学说：来，一位同学说：“哎呀，妳哎呀，妳点一种颜色，涂好后，又去点点一种颜色，涂好后，又去点另一种颜色，好费事啊。还不另一种颜色，好费事啊。还不如先在图上把一种颜色
9、不重复如先在图上把一种颜色不重复的填完，再把其他颜色一下一的填完，再把其他颜色一下一下的带进去啊。下的带进去啊。162021/2/23于是，我在游戏中先把一于是，我在游戏中先把一种颜色的用完，发现没有种颜色的用完，发现没有地方可以在填这种颜色时，地方可以在填这种颜色时，再将其他颜色依次填入，再将其他颜色依次填入，这样，用时又少，还零失这样，用时又少，还零失误呢！误呢！172021/2/23在这个发现的根底上，我们又有了新的疑惑，而这一个重大而珍贵的疑问，正把我们的思想转向奇偶性讨论为什么仅仅只要四种颜色就可以把区域分开？这和奇偶性有关吗？我们开场从无穷的范围转化到绝对，比方，数，它的数量是一个
10、无穷的的值，但是，只要是数，非奇必偶，我们想，区域会不会也是这样的呢？这样的思想，引导了我们对该定理的分析。182021/2/23四色定理的证明192021/2/23 在初步理解到四色定理时，我们想到的首先是用计算机，那么，四色定理又该如何进展理论证明呢？大量的数据经过我们的研究，借鉴著名数学模型，圆环套及奇偶性讨论的方法，得出了一种我们自己的证明：202021/2/23 任意个区域之间，总存在着2种关系：相邻 相隔我们利用圆环套进展证明：建立：以点O为圆心，向外作任意个半径不同的圆，再以圆周上任意一点向外作垂线使其与下一个圆周构成一定个数的区域。如图，平面被分隔成任意个区域，这些区域要么相邻
11、、要么相隔，且共有两种范围类型：、圆内的区域如AB。、圈与圈之间的区域如圈、圈、圈。212021/2/23建立：以点O为圆心，向外作任意个半径不同的圆，再以圆周上任意一点向外作垂线使其与下一个圆周构成一定个数的区域。如图，平面被分隔成任意个区域，这些区域要么相邻、要么相隔，且共有两种范围类型：、圆内的区域如AB。、圈与圈之间的区域如圈、圈、圈。有这个模型四色定理初步猜测成立，理由：因为圈与圈之间的部分可能会有2种颜色隔开。圈内的部分也可能会用2中颜色隔开，但这些必须进展下一步的证明。显然这里已给出了这个圆圈套模型的正确性。在所有圈与圈之间的区域中，又存在着两种绝对的情况：、奇数区域。、偶数区域
12、。假如圆环内的区域为奇数，我们称其为奇数环。反之，亦有偶数环。综上所述：对他们进展分类讨论。222021/2/231、偶数套环偶数环：如图：给定四种颜色为：A、B、C、D以点O为圆心向外建立任意个半径不同的圆，在每个圆的圆周上任意作偶数条垂线，与下一个圆组成偶数个区域，组成偶数环套偶数环的情景。以任意一色作为第一层圆的颜色，在下一层园中又以异于上一层的两种不同颜色进展填充，此时，每个圆内的区域可以被两种颜色分开，而每下一层，圆环又可以被异于这两种颜色的另外两色分开，重复这样的规律一直填色下去。四色定理在此成立。232021/2/232、奇数环连偶数环或偶数环连奇数环同上：奇+1=偶。故圆内的区
13、域可以分开，且圆外与下一层连接的区域偶环只要找一个防止与上一层颜色一样的，如图之间的关系颜色对与相邻圆环只有一个接壤区域的圆内区域进展上色即可。242021/2/23即使他们全部不重合，即在每2条线段之内有且只有一条线段，那么，必定还会剩余一条线段无处可放，从而形成这种情况。附证：且这样区域是绝对存在的。层有偶数条垂线。层有奇数条垂线。层之间必有两条线段在另两条线段之内或重合。即使他们全部不重合，即在每2条线段之内有且只有一条线段，那么，必定还会剩余一条线段无处可放，从而形成这种情况。252021/2/23奇数环连奇数环:如图：证明：与上题类似，上题附属的证明中讲述的情况，在这里共出现了两次，
14、其实，奇偶性一样且内外区域数不同的环都至少共有2组“两条线段中套两条线段或重合情况，当内外区域数一样时，在每2条线段之内有且只有一条线段，那么，我们使颜色异于邻层邻区且异于同层邻区，同样可以证明，上述的偶环与偶环也可以这样进展讨论。在此种情况时：圆内的区域可用3种颜色分开，相邻且内外区域数不同的两层圆环上至少共有2组“两条线段中套两条组段或重合情况262021/2/23272021/2/23 这种情况比上一种奇连偶的情况多了一组这样的线段如图，此时，如图，我们分别用2种异于邻层邻区且异于同层邻区的颜色将其填充，那么，不管是圆内区域与圆内区域，还是层与层之间，都得以分开。四色定理于此成立。综上所述三种情况，四色定理成立。282021/2/23 以上证明是刘翔宇同学的思想，可以充分表达数学的建模思想，并在这种建模思想的启发下，又进一步的将其转化为奇偶性的分类讨论。所以，我们要擅长利用数学的抽象思想来解决问题。292021/2/23为了进一步证明该定理，如今我们进展一个实验请老师们上台来用画图工具画任意个圆圈，让我们来上色。画图302021/2/23谢 谢 观 赏312021/2/23