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1、2012中考数学压轴题精选精析（170例）1、（2011北京）如图,在平面直角坐标系xOy中,我把由两条射线AE, BF和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注:不含AB线段）.已知A （-1, 0） , B （1, 0） , AEBF,且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上.（1）求两条射线AE, BF所在直线的距离:（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围;（3）已知。AMPQ （四个顶点A, M, P, Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上,且不都在两条射
2、线上,求点M的横坐标x的取值范围.考点:一次函数综合题;勾股定理;平行四边形的性质:圆周角定理。专题:综合题;分类讨论。分析:（1）利用直径所对的圆周角是直角,从而判定三角形ADB为等腰直角三角形， 其直角边的长等于两直线间的距离;（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可;（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上,可能会出现四种情况,分类 讨论即可.解答:解:（1）分别连接AD、DB,则点D在直线AE上,如图1,:点D在以AB为直径的半圆上,.*.ZADB=90o,ABDI AD,在Rtz2DOB中,由勾股定理得,BD=、2,VAE/7BF,两条射
3、线AE、BF所在直线的距离为2.(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b4Z 或-IVbVl；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是lb2(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ,根据点M的位置,分以下四种情况讨论:当点M在射线AE上时,如图2.VAMPQ四点按顺时针方向排列，.直线PQ必在直线AM的上方,，PQ两点都在弧AD上,且不与点A、D重合,.,.opQa：AMPQ 且 AM=PQ,.oamv2:.-2x - 1,当点M不在弧AD上时,如图3,.点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,.直线PQ必在直线AM的下方,此
4、时,不存在满足题意的平行四边形.当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R,则ORBF,当点M在弧DR上时，如图4,过点M作OR的垂线交弧DB于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.四边形AMPQ为满足题意的平行四边形,当点M在弧RB上时,如图5,直线PQ必在直线AM的下方,此时不存在满足题意的平行四边形.当点M在射线BF上时，如图6,直线PQ必在直线AM的下方，此时,不存在满足题意的平行四边形.综上,点M的横坐标x的取值范围是-2x0),抛物线y=x2+bx+c经过点和点P,已知矩形ABCD 的三个顶点 为 A (1, 0) , B (1, - 5) , D (4, 0).(1)求c, b (用
5、含t的代数式表示)：(2)当4Vt即可求得关t的-次函数，列方 程即可求得t的值;（3）根据图形，即可直接求得答案.解答：解：（1）把 x=0, y=0 代入 y=x?+bx+c,得 c=0,再把 x=t, y=0 代入 y=x?+bx, W t2+bt=O,Vt0,.*.b= -1；（2）不变.如图 6,当 x=l 时,y=l - t,故 M (1, 1 - t),VtanZAMP=l,(4t- 16)(4t- 16) +:.ZAMP=45；S=S 四边彫 amnp 一 Sapam=Sadpn+S 梯彬 ndam(t- 1) x3 -2 (t- 1) (t- 1) =jt2争+6.解爭+6片
6、,得:tl=也,V4t5,t!舍去,(3) t0),当该矩形的 长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?数学模型:设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y = 2(x + q)(x0).X探索研究:我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y = x +丄。0）的图象性 x质.观察图象,写出该函数两条不同类型的性质:在求二次函数产加+以+（存。）的最大（小）值时,除了通过观察图象, 还可以通过配方得到.请你通过配方求函数y = x +丄（x.0）的最小值.解决问题:用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.X本题答案不唯一,下列解法供参考.当01时,y随增大而减小;当1时,
7、y随增大而增大;当=1时函数y =x + （x0）的最小值为2. y = X + = （4）2 +（秒=诋2 +（秒 J .J=(一 9+2当4一 J丄=0,即=1时,函数y =+丄（0）的最小值为2.仿+（秒2./+24闾y = 2(x4) = 2 (Vx) +()2 = 2当F-J巴=0,即=时,函数y = 2（+与（0）的最小值为4厶. V xx当该矩形的长为时,它的周长最小,最小值为4厶.【考点】画和分析函数的图象,配方法求函数的最大（小）值.【分析】将x值代入函类数关系式求出y值,描点作图即可.然后分析函数图像.仿y = 2（x +与=2 （）2+（F=2 （五）2 +（秒2+ 2五
8、闾=2（朴+46所以,当4-*=0,即x = 时,函数y = 2(+与(0)的最小值为4厶 V xx4. (2011江苏杨州)在A8C中,NB4c = 90, AB 0).(1) 与网 相似吗?以图1为例说明理由;(2)若/A8C = 60。,A8 = 4VJ匣米.求动点。的运动速度;设AP。的面积为S (平方厘米),求S与，的函数关系式;(3)探求BP、PQ。2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由.图1图2 (备用【答案】解:（1）APBM s/QNM.理由如下;如图1,MQ 丄 MP, MN 丄 BC,：.PMB + 2PMN = 90.4QMN + NPMN = 90,NPBM + N
9、C = 90匕QNM + NC = 90,，4PBM = NQNM.：, PBM s/qnM.（2） v ABAC =90, AABC = 60, A BC = 2AB = 873 cm.又MN 垂直平分 8C, .8M=CM=4j5cm.百 ZC = 30, ：.MN=CM =4cm.3设Q点的运动速度为v cm/s.如图 1 ,当r4时,由（1）知PBM sqnm.NQ MN nn vt 4BP MB 6也=1.如图2,易知当/24时,v = l.综上所述，。点运动速度为1 cm/s. AN = AC-NC = 12-8 = 4cm,.,.如图 1,当f4时，AP = a6-8, AQ =
10、 4 + t.-.S=-AP=丄卜G G（4 + =券 +86.如图 2,当 时，AP = yf3t-4y/3,AQ = 4 + t, ! 八.-.S=-AP=4- 4百）（4 + =三/.综上所述,-y-r2+8V3(O/1 9 S&abc Saabc问题2:连接Q/?i，Q2R2,如图，由问题1的结论,可知, S四边影与眉& =3 5（8c， S四边形。/卷 Saacd, Syq边形述& + 5四边形。/。=3 S nMlABCD由./1, P2三等分边AB,&三等分边AC, Qi，0三等分边OC,可得尸得:尸2& = 0&:。內=1:2,且尸面尸2&,。2得。内.：,Z.PRA = AP
11、2R2A, ZQRA = ZQ2R2A. ：. ZPiRQl = ZP2Ri Q2-由结论（2）,可知5片与=&p2r2q2 -S四边形PMQ2外=S四边形片犬岛+ J四边形QEi&Qz =3 S abcd-问题3:设S四边形。0/=A,3四边形七Q3Q4尸 =B，设S四边形為。曲爲=C，由问题2的结论,可知A=g S四边形Q3P3，B=S四边形尸近2cB.A + B=| （S 边境cd+C）=（ （1+C）.又:C=g （A+B + C）,即 C= （1+C） + C.整理得c=m,即s四边形。曲=5问题 4： 51+54 = $2 + $3.【考点】平行的判定,相似三角形的判定和性质,等量
12、代换。【分析】问题!:由平行和相似三角形的判定,再由相似三角形面积比是对应边的比的 平方的性质可得。问题2:由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积 之比等于夹这个角的两边乘积之比,可得。问题3 :由问题2的结果经过等量代换可求。问题4:由问题2可知$ +S4 =5z+S3= Sabcd -7.（2011江苏南通）如图,已知直线/经过点41, 0）, 与双曲线产(x0)交于点8(2, 1).过点、P(p,01)。1)作轴的平行线分别交双曲线y=：(x0)和y=；(xVO)于点M、N.(1)求相的值和直线，的解析式;(2)若点尸在直线y=2上,求证:PMBs/XPNA；(3
13、)是否存在实数p,使得Smn=4S=mp?若存在，请求出所有满足条件的p的值; 若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由点8(2, 1)在y=上，有2=,即帆=2。斤式为 y = H + b,由点 A(l, 0),点 8(2, 1)在y = H + 上, + 6 = 0得,解之，得 = 1, b= .所求直线，的解析式为y = x-.(2).点尸9,一1)在直线y=2上,.,尸在直线，上, 是直线y=2和，的交点,见图(1)。.根据条件得各点坐标为N (-1, 2) , M (1, 2),尸(3, 2) ：.NP=3 (-1) =4, MP=3i=2, 4尸=5/2?+22 =戊=2& ,B
14、P= Vl2 +12 = 2.在尸MB 和中，NMPB=NNPA, = = 2 ,MP BP.,. PMBs pNA。（3）Saamn=：（1 + 12 = 2。下面分.情况讨论:当lVp3时,延长PM交X轴于。,见图（3）。此时,大于情况当P=3时的三角形面积Saamn。故 不存在实数p,使得Saamn=4Saam/）。综上,当 p = 时,SAMN = 4S4AMPQ【考点】反比例函数，一次函数,待定系数法,二元一次方程组,勾股定理，相似三角 形元二次方程。【分析】（1）用点8（2, 1）的坐标代入，=宁即可得m值,用待定系数法,求解二元一次方程组可得直线，的解析式。(2)点尸(p, p1
15、)在直线y=2上,实际上表示了点是直线y=2和，的交点,这样要求证PMBs 2奥只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点P的位置。实际上,当p=3时,易求出这时Smp=Saamn， 当p3时，注意到这时Smmp大于p=3时的三角形面积,从而大于Saamn,。所以只要 主要研究当lp.V3时的情况。作出必要的辅助线后,先求直线MP的方程,再求出各 点坐标(用表小)，然后求出面积表达式,代入Saamn=4Saamp后求出P值。8. (2011 江苏苏州)已知二次函数y = a( -6x + 8)(a0)的图象与x轴分别交于点A、 B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.(1)如图,连接AC,
16、将OAC沿直线AC翻折,若点的对应点”恰好落在该抛 物线的对称轴上，求实数a的值;(2)如图,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4, 4)、(4, 3),边HG 位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH 或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形 的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG 上的任意一点,刚的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;(3)如图,当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标f是大于3的常数，试问: 是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD
17、与一个平行四边形的四条边 对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.匕|（图）（图）【答案】解:（1）令y = 0.由a（/-6x+8） = 0蟀得七=2=4； 令0 ,解得y = 8a .点/、B、。的坐标分别是（2, ）、（4. 0）、（0. 8a）,该抛物线对称轴为直线二3.（图）（图）=2.如图,设施物找対称轴与”軸的交点为M. WXAM.由题意得:。Q=2. 0=2/tA，ZCTA M= 60e .二 ZOC-ZOVC-6（F.万:OC AO 20 即. 2.4（2）若点/3是边EF或边G上的任意一点.结论同样成立.（I ）如图设产是边砂上的任意一点（不与点金合）连接PM
18、. 点（44）、F （4. 3）与点8 （4. 0）在直线上点C在y轴上,工PBPB.又 PDPK1PB .* PM PB.PBPC. PB*PD. 此时线段B4、PB. PC,不能构成平行四边彫.（II）设P是边加0上的任意一点（不与点G重合）. 点的坐标是（4. 3）,点G的坐标是（5. 3） ,FB=3. GB=痴,:3WPB 而. :PC24. ：.PC PB.又 PD PM PB . PA PM PB.:PB以,PBPC, PB*PD.此时线段、PB、PC、D也不能构成平行四边形.士 Jt2 77（3）存在个正数。使得线段小、PB. PC. PD能构成一个平行四边彫.如图点/、8是幄
19、物线与X轴交点点P在抛物线对称轴上.：.PA=PB.当PC=PD时.线段、PB、PC、PD後构成一个平行四边形.点。的坐标是（0, 8a）.点D的坐标是（3-a）.点P的坐标是（3.,1 PC2 = 3 + ” 8a=（r + a）2.由 PC=PD 得 Pd=PD : 3（8a尸=+ a）2.整理得7/ 2to + l二. =428.，是个常数且 Q3. =-28O.方程 -2to +1 = 0育两个不相等的实数根。=“舞显然。0.满足题意.当，是个大于3的常数时存在个正数。=匕*Z,使用綫段、PB、PC、PD能构成一个平行四边形.【考点】二次函数,图形的翻转,30角的直角三角形的性质,平行
20、四边形的判定,一元二次 方程.【分析】（1）先利用点在二次函数上点的坐标满足方程和30角的直角三角形30角所对 的直角边是斜边的一半,求出点A,B,C的坐标，再求出。（2）比较四线段的长短来得出结论.（3）由点A,B是抛物线与X轴的交点,点P在抛物线对称轴上,所以PA=PB,要 PA,PB,PC,PD构成一个平行四边形的四条边,只要PC=PD,从而推出a。9. （2011江苏泰州）在平面直角坐标系xOy中,边长为a （a为大于的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、 y轴的正半轴都不包含原点0）,顶点C、D都在第一
21、象限。（1）当/BAO=45。时,求点P的坐标;（2）求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在/AOB 的平分线上;（3）设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围，并说明理由。【答案】解:（1）当/BAO=45。时，四边形OAPB为正方形/BOA=OB=acos45=a；. P 点坐标为（a, a）222（2）作DE丄x轴于E,PF丄x轴于F,|/设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（,!）：ZBAO+ ZDAE= ZBAO+ ZABO=90 Z. ZDAE=ZABO LL在AAOB和DEA中:ZAOB = ZDEA = 90 NABO = NDAE.AOB纟和DEA
22、 （AAS）AB = ADAE=OB=n,DE=OA=m,则D点坐标为（m+n,m）.点P为BD的中点,且B点坐标为（0,n）.P平分ZAOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动, 点P都在ZAOB的平分线上:（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时,设PF与PA的夹角为a,则 0WaV45 h=PF=PA cosa=- a cosa2【考点】正方形性质,特殊角三角函数,全等三角形,直角梯形.【分析】根据已知条件,用特殊角三角函数可求.（2）根据已知条件,假设A点坐标为（m,0） ,B点坐标为（0,n）并作DE丄x轴 于E,PF x轴于F,用全等三角形等知识求出点D
23、,P,E,F坐标（用m,n表示.）,从而证出 PF=OF,进而/POF=45。.因此得证.（3）由（2）知/OPF=45,故 0WNOPAV45。,立 VcosNOPAR,在 RtAPF 2中PF=PA cosNOPA,从而得求.10. （2011江苏无锡）（本题满分10分H一届全国人大常委会第二十次会议审议的个 人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”）,拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000元提高到3000元,并将9级超额累进税率修改为7级,两种征税方法的15级税 率情况见下表:税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额X税率速算扣除数月应纳税额X税率速算扣除数1x5005%0xl 500
24、5%02500x200010%251500x450010%32000x500015%1254500x900020%45000x2000020%3759000x3500025%975520000x4000025%137535000x55 00030%2725注:“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额.“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的个数.例如:按现行个人所得税法的规定,某人今年3月的应纳税额为2600元,他应缴税款 可以用下面两种方法之一来计算:方法一：按13级超额累进税率计算,即500x5%+1500xlO%十600xl5%=265(元).方法二：用“月应纳
25、税额x适用税率速算扣除数”计算,即2600x 15% 125=265(元)。(1)请把表中空缺的“速算扣除数填写完整;(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元,若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元,若按“个税法草案”计算,他应缴的税款恰好不 变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?【答案】解:(1)75, 525(2)列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:税级现行征税方法月税额缴个人所得税y草案征税方法月税额缴个人所得税y1y25y75225y17575y3753175y625375y12754625y36251275y7775
26、3625y86257775y137755因为1060元在第3税级,所以有20%x-525=1060,x=7925(元)答:他应缴税款7925元.(3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级,假设个人收入为k,刚有20%(k-2000) -375=25%(k-3000)-975 k= 19000所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(190002000)x20%375=3025(元)【考点】统计图表的分析。【分析】(1)当1500x*500时,应缴个人所得税为1500x5% + (x-1500)xl0%=10%x-75元当4500xg9000时,应缴个人所得税为00x5% +3000、10% +
27、(*-4500)、20%=20如525元(2)缴了个人所得税1060元,要求应缴税款，只要求出其适应哪档玩税级, 直接计算即可.(3)同(2),但应清楚“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部 分的金额,而“个税法草案拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元， 依据此可列式求解.2012中考数学压轴题精选精析(11 -20例)11. (2011 江苏盐城)(本题满分12分)如图,已知一次函数y= - x+7与正比例函数y =手x的图象交于点A,且与x轴交于点B.(1)求点A和点5的坐标;(2)过点A作AC丄y轴于点C,过点B作直线，y轴.动点P从点。出发,以每秒1个
28、单位长的速度,沿。C的路线向点A运动;同 时直线，从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线，交x轴于点Z?,交 线段8或线段A。于点。.当点P到达点A时，点P和直线，都停止运动.在运动 过程中,设动点尸运动的时间为秒.当为何值时，以A、P、为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、A Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求f的值; 若不存在,请说明理由.【答案】 根据题意,4 ,解得,. 43, 4).令y=-x+7=0,得x=7. AB (7, 0).(2)当尸在。C上运动时,0&V4.由 Saapr=S WJK COBA S/ACP - s8P.0R Saarb=8,得 1(3+
29、7)x4-1x3x(4-0- 1t(7-/)-/4=8 整理,得广-8r+12=0,解之得“=2=6 (舍) 当产在CA上运动，4rr= 5x(7-0 x4=8,得片3 (舍).当仁2时，以A、P、Z?为顶点的三角形的面积为8.当尸在。C上运动时，0&V4.此时直线，交AB于Q。：.AP=(4-r) 2+32, AQ=y2t, PQ=7t当 AP=A。时，(4一f) 2+32=2(4O整理得,r2-8/+7=0. .*./=1, z=7()当AP=PQ时,(42+32=(72,整理得,6尸24.片4(舍去)当月。=尸。时,2 (4旭整理得,?-2/-17=0 ：.t=l3y2 (舍)当尸在CA
30、上运动时,4tl.此时直线，交AO于Q。过A 作 ADOB 于,则 AD=BD=4.设直线，交 AC 于 E,则。丄4(7, AE=RD=t-4, AP=1t.由 cosNOAC= 一 = 一,得 AQ= |(r-4).41当 4P=4。时,7t= (r-4),解得 当 Q=PQ 时，AE=PE, BP AE= AP 得一.* 2(7，解得 t =5.当尸=PQ时,过P作PF丄AQ于AF= AQ =式4).在/?/ZXAP/r中,由 cos/PARM 宣=,得4尸=7AP /Il Dj即ax|(f4)= |x(7 Z),解得 t=筈.综上所述,t=l或1或5或等时,A4PQ是等腰三角形.【考点
31、】一次函数，二元一次方程组,勾股定理，三角函数，一元二次方程,等腰三角 形。【分析】(1)联立方程y =+7和y =即可求出点的坐标,今y=x+7=0 即可得点3的坐标。(2)只要把三角形的面积用/表示,求出即可。应注意分P在。C上运动和P在CA上运动两种情况了。只要把有关线段用表示,找出A尸=A。,AP=P。,。=尸。的条件时/ 的值即可。应注意分别讨论P在0C上运动(此时直线，与AB相交)和P在CA上运 动(此时直线，与AO相交)时AP=A。,AP=PQ, AQ=PQ的条件。12、(2011福州)已知,如图,二次函数y=ax?+2ax-3a (a加)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关于直线1： y = X+ /3x + 3V直线BK的解析式为y = 同f - v5, y = *+、Z由， j,