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1、北京市 2020 年高考压轴卷数学一、选择题（本大题共10 小题.每小题 45 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数z满足13izz，则|z（）A1010B55C5D102设集合1,0,1,2,3A，2|20,Bx xx则()RAB（）A1,3B0,1,2C1,2,3D0,1,2,33已知定义域为R的奇函数()f x 满足(2)()fxf x，且当01x时，3()f xx，则52f（）A278B18C18D2784函数21 cos1xfxxe图象的大致形状是（）ABC D5已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆223449xy相切，则满足条件的直线
2、l有（）条A1B2C3D46函数()sin(2)6f xx的单调递增区间是（）A2,63kkkZB,2kkkZC,36kkkZD,2kkkZ7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A20 B10 C30 D60 8已知点(2,3)A在抛物线C：22ypx的准线上，记C的焦点为F，则直线 AF的斜率为（）A43B1C34D129已知1a，则“()aab”是“1a b”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件10已知随机变量的分布列，则下列说法正确的是()A存在x，y(0，1)，E()12B对任意x，y(0，1)，E()14C对任意x，y(0，1)，D()E()
3、D存在x，y(0，1)，D()14二填空题（本大题共5 小题.每小题 5 分，共 25 分）11已知曲线212fxxx的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为_.12函数2cos2sinyxx的最小正周期等于_.13在ABC中，若30B，2 3AB,2AC,求ABC的面积14已知 an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则 an 的通项公式an_；设数列 lgan的前n项和为Tn，则Tn_.15已知函数，下列命题正确的有_（写出所有正确命题的编号）是奇函数；在上是单调递增函数；方程有且仅有1 个实数根；如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选
4、对得5分，不选或有选错得0 分，其他得3 分.三、解答题（本大题共6 小题，共85 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数()logkf xx（k为常数，0k且1k）（1）在下列条件中选择一个_使数列na是等比数列，说明理由；数列nfa是首项为2，公比为2 的等比数列；数列nfa是首项为4，公差为2 的等差数列；数列nfa是首项为2，公差为2 的等差数列的前n项和构成的数列（2）在（1）的条件下，当2k时，设12241nnna bn，求数列nb的前n项和nT.17 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，/ADBC，ADAB，2PAAD，1AB
5、BC，Q为PD中点（1）求证：PDBQ；（2）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值18已知函数22lnRfxaxxax a.（）求函数fx的单调区间；（）当0a时，若fx在1,e上有零点，求实数a的取值范围.19自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100 人，统计结果整理如下：20 以下20,3030,4040,5050,6060,7070 以上使用人数3 12 17 6 4 2 0 未使用人数0 0 3 14 36 3 0（）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾
6、客中，随机抽取3 人进一步了解情况，用X表示这 3 人中年龄在50,60的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1 个环保购物袋.若某日该超市预计有5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.20已知椭圆22:24C xy（1）求椭圆C的标准方程和离心率；（2）是否存在过点0,3P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2PBPA若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21 对于nN*（n2），定义一个如下数阵：111212122212nnnnnnnnaaaaaaAaaa，其中对任意的1in，1jn，当i能整除j时
7、，aij1；当i不能整除j时，aij 0设121nijjjnjitjaaaa（）当n6 时，试写出数阵A66并计算61jtj；（）若 x 表示不超过x的最大整数，求证：11nnjint ji；（）若11njf nt jn，11ng ndxx，求证：g（n）1f（n）g（n）+11【答案】A【解析】1 3izz，1131313101010izii，10|10z.故选:A.2【答案】B【解析】由220 xx，得0 x或2x，即|0Bx x或2x，=|02RBxx，又1,0,1,2,3A()=0,1,2RAB.故选：B.3【答案】B【解析】由()f x 满足(2)()f xf x，所以函数的周期2T
8、，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x时，3()f xx，所以51112228fff.故选：B 4【答案】B【解析】21e1 coscos1e1exxxfxxx，1ecos()1exxfxxe1cose1xxx()f x，故()f x 为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef，排除 D，选 B.故选：B.5【答案】A【解析】显然直线l有斜率，设l：ykxb，则221bk，即2241bk，又直线l与圆相切，23471kbk，联立，34k，52b，所以直线l的方程为3542yx.故选：A 6【答案】C【解析】令222262kxk因此36kxk故函数()sin(2)6f xx的单
9、调递增区间是,36kkkZ故选：C 7【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h；底面面积：1155 322S三棱锥体积：1115410332VSh本题正确选项：B8【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线22ypx的准线方程为2px，且过点(2,3)A，故22p，则4p，(2,0)F，则直线AF的斜率303224k，选 C9【答案】C【解析】由()aab，则2()00aabaa b又1a，所以1a b若1a b，且1a，所以20aa b，则()aab所以“()aab”是“1a b”的充要条件故选：C 10【答案】C【解析】依题意可得2Exy，22222222
10、2212121212Dxxyyyxyxyx yxy xyxxy yx因为1xy所以21222xyxy即12E故A，B 错误；222221121212Dxxxy yxxxy yxxyx01x1211x20211xDyx即12DE，故C成立；2211244xyDxyxxy故D错误故选：C11【答案】2【解析】由于212fxxx，则1fxx，由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，曲线21()2fxxx的一条切线斜率是3，令导数13fxx，可得2x，所以切点的横坐标为2.故答案为：212【答案】【解析】因为函数21cos231cos2sincos2cos2222xyxxxx
11、故最小正周期等于.故答案为：13【答案】2 3或3【解析】在ABC中，设BCx，由余弦定理可得24124 330 xxcos，2680 xx，2x，或4x当2x时，ABC的面积为1112 33222AB BC sinBx，当4x时，ABC的面积为1112 32 3222AB BC sinBx，故答案为3或2 314【答案】10n112n n【解析】设等比数列 an的公比为q，由题知q0.a11，a3 100，q31aa10，an10n1；lganlg10n1n1，Tn12n n.故答案为：(1).10n1 (2).12n n15【答案】【解析】根据题意，依次分析四个命题：对于中，定义域是，且是
12、奇函数，所以是正确的；对于中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于中，令，令可得，即方程有一根，则方程有一根之间，所以是错误的；对于中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得正确.16【答案】（1），理由见解析；（2）21nnTn【解析】（1）不能使na成等比数列.可以：由题意4(1)222nf ann，即log22knan，得22nnak，且410ak，2(1)22122nnnnakkak.常数0k且1k，2k为非零常数，数列na是以4k为首项，2k为公比的等比数列（2）由（1）知14222nknakkk，所以当2k时，
13、12nna.因为12241nnna bn，所以2141nbn，所以1111(21)(21)2 2121nbnnnn，12111111L1L23352121nnTbbbnn11122121nnn.17【答案】（1）详见解析；（2）23【解析】（1）由题意在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，ADAB，以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,2,0D，0 0 2P,因为Q为PD中点，所以0,1,1Q，所以0,2,2PD，1,1,1BQ，所以0,2,21,1,10PD BQ，所以PDBQ
14、（2）由（1）得1,1,2PC，1,1,21,1,12PC BQ，6PC，3BQ，2,3PC BQCOS PC BQPC BQ，所以PC与BQ所成角的余弦值为2318【答案】（）见解析（）51 e1,2【解析】（）函数fx的定义域为0,，2222axaxaaxxfxxx.由0fx得xa或2ax.当0a时，0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递减区间是0,，没有单调递增区间.当0a时，,x fxfx的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,a，单调递减区间是,a.当0a时，,x fxfx的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,2a，单调递减区间是,2a.（）当0a时，fx的单调递增区间
15、是0,a，单调递减区间是,a.所以fx在1,e上有零点的必要条件是0fa，即2ln0aa，所以1a.而11fa，所以10f.若1a，fx在1,e上是减函数，10f，fx在1,e上没有零点.若1a，10f，fx在1,a上是增函数，在,a上是减函数，所以fx在1,e上有零点等价于e01efa，即22ee01eaaa，解得51 e12a.综上所述，实数a的取值范围是51 e1,2.19【答案】17100；（）详见解析；（）2200【解析】（）在随机抽取的100 名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1 名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率
16、为17100P（）X所有的可能取值为1,2,3，124236C C115CP X,214236C C325CP X,304236C C135CP X.所以X的分布列为X1 2 3 P153515所以X的数学期望为1311232555EX.（）在随机抽取的100 名顾客中，使用自由购的共有3121764244人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100.20【答案】（1）22142xy，22e；（2）存在，7x14y+3140 或 7x+14y3140【解析】（1）由22142xy，得2,2ab，进而422c，22cea；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭
17、圆C相交于A，B两点，且满足2PBPA，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程x2+2y24，可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2）（9m24）0，即m247，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y22262mm，y1y222942mm，由2PBPA，可得（x2，y23）2（x1，y13），即y232（y13），即y22y13，将代入可得3y132262mm，y1（2y13）22942mm，消去y1，可得22232mm?22322mm22942mm，解得m22747，所以147m，故存在这样的直线l，且方程为7x14y+3140 或 7x+14y31
18、4021【答案】（）66111111010101001001000100000010000001A，6114jt j（）见解析（）见解析【解析】（）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A，6112232414jtj（）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得1njtj是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，nii得数阵Ann的第i行中有ni个1，其余是0，即第i行的和为ni从而得到结果（）由 x 的定义可知，1nnniii，得111nnniiinnnniii进而111
19、11?nniifnii再考查定积分11ndxx，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论【详解】（）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A611 2232414jtj（）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此1njtj是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，nii因此数阵Ann的第i行中有ni个 1，其余是0，即第i行的和为ni所以11nnjintji（）证明：由x的定义可知，1nnniii，所以111nnniiinnnniii所以11111?nniifnii考查定积分11ndxx，将区间 1，n 分成n1 等分，则11ndxx的不足近似值为21nii，11ndxx的过剩近似值为111nii 所以1211111nnniidxixi所以111niig（n）11nii所以g（n）111111?nniifniig（n）+1所以g（n）1f（n）g（n）+1