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1、天津市 2020 年高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4 分，第 712 题每个空格填对得5 分，否则一律得零分1已知集合|24,|22AxxBxx，则AB（）A|22xxB|24xxC|22xxD|24xx2已知(2)(2)43,miii,mR i为虚数单位，则m的值为（）A1B1C2D23 已知不等式22240 xmxm成立的必要不充分条件是1x或2x，则实数m的最大值为（）A1 B2 C3 D4 4已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递增，则（）A0.633log 132fffB0
2、.6332log 13fffC0.632log 133fffD0.6323log 13fff5已知在等差数列na中，34576,11aaaa，则1a（）A3B7C7D36已知双曲线22212xya的一条渐近线的倾斜角为6，则双曲线的离心率为（）A2 33B2 63C3D27已知5sin5，sin()1010，,均为锐角，则（）A512B3C4D68有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为A45B35C25D159已知函数23201120 xxfxxxaxaxx，若方程fxax有 4 个不
3、同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，0）B（0，1）C（0，1 D（1，+）第 II卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分10若函数2212fxxx，则3f_11612 xx展开式的常数项为（用数字作答）12抛物线，直线 l 经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为_13如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，P是侧棱1CC上一点，且12C PPC.设三棱锥1PD DB的体积为1V，正四棱柱1111ABCDA BC D的体
4、积为V，则1VV的值为 _.14已知函数()sin3 cos(0)f xxx，xR.若函数()f x 在区间(0，4)内恰有 5 个零点，则的取值范围为 _15已知ab，二次三项式240axxb对于一切实数x 恒成立，又0 xR，使20040axxb成立，则22abab的最小值为 _三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤16（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分5 分已知函数2()2sincos2 3 cos3,f xxxxxR.(1)求()f x 的最小正周期；
5、(2)求()f x 在区间2,243上的最大值和最小值；(3)若关于 x 的不等式()3()mf xmf x在 R上恒成立，求实数m的取值范围.17（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分5 分如图，在三棱柱111ABCA BC中，四边形11ABB A，11BBCC均为正方形，且1111ABBC，M为1CC的中点，N为1AB的中点（1）求证：/MN平面 ABC；（2）求二面角1BMNB的正弦值；（3）设 P是棱11BC上一点，若直线PM与平面1MNB所成角的正弦值为215，求111B PB C的值18（本题满分14 分）本题共有2 个
6、小题，第1 小题满分6分，第 2 小题满分8 分已知抛物线2:4 2Cyx的焦点为椭圆2222:10 xyEabab的右焦点，C的准线与E交于 P，Q两点，且2PQ（1）求 E的方程；（2）过 E的左顶点A作直线 l 交 E于另一点B，且 BO（O为坐标原点）的延长线交E于点 M，若直线 AM的斜率为1，求 l 的方程19（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6分，第 2 小题满分8 分已知数列na的前n项和22nnnS，数列nb满足：122bb，112nnnbbnN.（）求数列na，nb的通项公式；（）求*21121niiiiabnNb20(本题满分 16 分)本题共有 3
7、个小题，第1 小题满分7 分，第 2小题满分9 分已知函数2(2)1lnf xxaxx，aR（1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a，使函数()f x 的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由21.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第1 小题满分7 分，第 2小题满分9 分已知数列na的前n项和22nnnS，数列nb满足：122bb，112nnnbbnN.（）求数列na，nb的通项公式；（）求*21121niiiiabnNb参考答案1【答案】B【解析】由已知，集合|24,|22AxxBxx，所以|24ABxx.故选：B 2【答案】A【解析】2243
8、,miii2m2443m ii，22443mm，即m1故选 A 3【答案】C【解析】2224220 xmxmxmxm，2xm或2xm，1x或2x是不等式22240 xmxm成立的必要不充分条件，2122mm，解得：03m，则实数m的最大值为3.故选：C.4【答案】C【解析】fx为R上的偶函数，33ff，33log 13log 13ff，0.633322log 9log 13log 273且fx在0,上单调递增，0.632log 133fff，0.632log 133fff.故选：C.5【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436aaaa，所以42,a公差7493743aad，又4132a
9、ad，所以17a.故选：C 6【答案】A【解析】双曲线22212xya的一条渐近线的倾斜角为6，则3tan63，所以该条渐近线方程为33yx；所以233a，解得6a；所以22622 2cab，所以双曲线的离心率为2 22 336cea故选：A7【答案】C【解析】由题意，可得，均为锐角，22.又 sin()1010，cos()3 1010.又 sin 55，cos 2 55，sin sin()sin cos()cos sin()553 10102 55101022.4.8【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为1425421
10、05CpC.本题选择C选项.9【答案】B【解析】解：由题意0 x满足方程fxax，当0 x时，只需1xax有一个负根，即01axa，解得：01a；当0 x时，只需210 xaxa有两个正根即可，方程可化为10 xxa，故两根为：1x或a，由题意只需0a且1a，综合可知，当01a时，方程fxax有 4 个不同的实数根所以实数a的取值范围是（0，1）.故选：B10【答案】-1【解析】当213x时1x,故3f2211121f.故答案为：111【答案】-160【解析】由66621661(2)(1)(2)()rrrrrrrrTCxCxx，令620r得3r，所以612 xx展开式的常数项为336 36(1
11、)(2)160C.12【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.13【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长ABBCa，高1AAb，则111121ABCDA B C DABCDVSAAa b，111211113326PD DBB D DPD DPVVSBCab aa b11 11116ABCDDPD DA BBCVV即116VV故答案为：1614【答案】7(6，1712【解析】因为()sin3cos2sin()3f xxxx，所以令2sin()03x，()3xkkZ，解得(31)()3kxkZ
12、0，则非负根中较小的有：258111417,333333因为函数()f x 在区间(0，4)内恰有 5 个零点，所以1443且1743，解得717612.故答案为：7 17(,6 1215【答案】4 2【解析】已知ab，二次三项式240axxb对于一切实数x恒成立，0a，且1640,4abab；再由0 xR，使20040axxb成立，可得1640,4abab，4ab，22221642,04aabaabaabaa，令22168ata，则22222221664816161632488aabtatabttaa（当16t时，等号成立），所以，222abab的最小值为32，故22abab的最小值为324
13、 2，故答案为4 2.16【答案】(1);(2)最大值为2，最小值为2;(3)25m.【解析】2()2sincos2 3 cos3f xxxxsin23cos2xx2sin(2)3x(1)22T，所以()f x 的最小正周期为.(2)当2,243x时,2,34x,当234x时,即24x时函数求得最小值()224f;当232x时,即512x时函数求得最大值5()212f;所以()f x 在区间2,243上的最大值为2，最小值为2(3)对xR，2()2fx，所以不等式()3()mf xmf x恒成立等价于，对xR，()()3f xmf x恒成立，即max()()3f xmf x，设()()()3f
14、 xg xf x，则()3()1()3()3f xg xf xf x，令()tf x，且313yt在2 2,上为增函数，所以，max2()(2)5g xg，所以，25m.17【答案】（1）证明过程见详解；（2）459；（3）13.【解析】（1）取1AA中点为O，连接 ON，OM，因为M为1CC 的中点，N为1AB的中点，所以/ON AB，/OMAC，又AB平面ABC，AC平面ABC，ACABA，所以平面/MON平面ABC，又MN平面MON，所以/MN平面 ABC；（2）因为四边形11ABBA，11BBC C均为正方形，所以11BC，1B B，11B A两两垂直，以1B为坐标原点，分别以1B B
15、，11B C，11B A为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A边长为2，则1(0,0,0)B，(2,0,0)B，1(0,2,0)C，(2,2,0)C，1(0,0,2)A，所以(1,0,1)N，(1,2,0)M，因此1(1,2,0)B M，(0,2,1)MN，(1,2,0)BM，设平面BMN的一个法向量为,mx y z，则mBMmMN，所以2020m BMxym MNyz，令1y，则22xz，因此2,1,2m；设平面1B MN的一个法向量为111,nx y z，则1mB MmMN，所以12020m BMxym MNyz，令1y，则22xz，因此2,1,2n，设二面角1
16、BMNB的大小为，则4141coscos,9414414m nm nm n，所以24 5sin1cos9；（3）因为P是棱11BC上一点，设1110,1B PtB C，则(0,2,0)Pt，所以1,22,0PMt，由（2）知，平面1MNB的一个法向量为2,1,2n，又直线PM与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM与平面1MNB所成角为则有2222222sincos,151(22)34853PMnttPM nPM nttt，整理得221850tt，解得13t或57t（舍）所以11113B PtB C.18【答案】（1）22142xy；（2）220 xy.【解析】（1）因为抛物线2:4
17、2Cyx的焦点为2,0，由题意，可得：椭圆2222:10 xyEabab的两焦点为2,0,2,0，又抛物线C的准线与E交于P，Q两点，且2PQ，将xc代入椭圆方程得22221cyab，所以2bya，则222ba，即2ba，又2222cab，根据解得：24a，22b，因此椭圆E的方程为22142xy；（2）由（1）得22142xy的左顶点为2,0A，设直线l的方程为2xmy，00,B xy，由222142xmyxy得22(2)40mymy，所以0242Amyym，因此0242mym，所以20022422mxmym，则222244,22mmBmm，又因为BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M，则M
18、与B关于原点对称，所以222244,22mmMmm，因为直线AM的斜率为 1，所以2224212422mmmm，解得：2m，因此，直线l的方程为：220 xy.19【答案】（）nan；12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）12122nnnn【解析】（）当2n时，221(1)122nnnnnnnaSSn，当1n时，111aS，适合上式，所以：nan；122bb，112nnnbbnN，122nnnb bn，112,2nnbbn，数列nb的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2 的等比数列，12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）由（）可得，iai，且21 122122iiib，22222i
19、iib，212122iiiiiiabib，设2311231,0,1nnMxxxnxn xx，23411231nnxMxxxnxn x，得2311111nnnnxxx Mxxxxn xn xx，1211nxnxnxMx，1121221 221 22(1 2)nnininnin，12111122222122(1)2nnininnin，1211212122nniiniinabnb20【答案】（1）见解析；（2）存在，实数a的取值范围为(0,2)【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)，21(1)1axxxafxxx当0a时，1()0fxxx，所以函数()f x 在(0,)上单调递增
20、当0a时，令()0fx，即210axxx，即210axx，14a当0，即14a时，210axx，故()0fx，所以函数()f x 在(0,)上单调递增当，即14a时，方程210axx的两个实根分别为11142axa，21142axa若104a，则10 x，20 x，此时()0fx，所以函数()f x 在(0,)上单调递增；若0a，则10 x，20 x，此时当2(0,)xx时，()0fx，当2(,)xx时，()0fx，所以函数()f x 在114(0,)2aa上单调递增，在12)1,4(aa上单调递减综上所述，当0a时，函数()f x 在(0,)上单调递增；当0a时，函数()f x 在114(0
21、,)2aa单调递增，在12)1,4(aa上单调递减（2）由（1）可得，当0a时，函数()f x 在(0,)上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a时，函数()f x 在114(0,)2aa上单调递增，在12)1,4(aa上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln()2f xaxxx，其中21142axa又2()0f x，所以22210axx，即2221axx，所以2221l2)n(xf xx令1ln(2)xh xx，则11(2)0h xx，所以函数()h x在(0,)上单调递增又(1)0h，所以当1x时，()0h x，所以222()1ln02xfxx等价于21x，即
22、当0a时，11412aa，即1421aa，显然当0a时，14|21|aa，所以214(21)aa，即220aa，解得02a，故存在满足条件的实数a，使函数()f x 的极值大于0，此时实数a的取值范围为(0,2)21.（）nan；12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）12122nnnn（）当2n时，221(1)122nnnnnnnaSSn，当1n时，111aS，适合上式，所以：nan；122bb，112nnnbbnN，122nnnb bn，112,2nnbbn，数列nb的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2 的等比数列，12222nnnnbn，为奇数；，为偶数（）由（）可得，iai，且21 122122iiib，22222iiib，212122iiiiiiabib，设2311231,0,1nnMxxxnxn xx，23411231nnxMxxxnxn x，得2311111nnnnxxx Mxxxxn xn xx，1211nxnxnxMx，1121221 221 22(1 2)nnininnin，12111122222122(1)2nnininnin，1211212122nniiniinabnb