《2020年湖北省武汉市高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年湖北省武汉市高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(解析版).pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020 年武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）一、选择题（共12 小题）.1已知复数z 满足?+?2+?=?+?，则复数z（）A2+iB1+2iC3+iD32i2已知集合?=?|?-1?+3?，Bx|x|2，则 AB（）Ax|2x 1Bx|3x 2Cx|2x1Dx|2x13某单位有职工160 人，其中业务人员96 人，管理人员40 人，后勤服务人员24 人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20 的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（）A3B5C10D154若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A2B4C?D435已知?(?4-?)=35，则?的值为（
2、）A725B1925C1625D14256函数?=2?-1?+1的值域为（）Ay|0y2By|y 0 且 y 2Cy|y2Dy|y27PA，PB，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角均为60，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（）A12B 63C 33D 328已知平面上定点A（5，0）和 B（8，4），又 P 点为双曲线?216-?29=?右支上的动点，则|PA|PB|的最大值为（）A8B10C11D139已知向量|?|=?，向量?与?夹角为3?4，且?=-?，则|?-?|（）A?B2C?D410已知函数?(?)=?(?+?)(-?2?2)图象关于直线?=5?18对称，则函数
3、f（x）在区间 0，上零点的个数为（）A1B2C3D411设直线AB：ykx2 与抛物线y28x 交于 A，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k（）A2B 1C 2D 1 或 212已知函数?(?)=12?-?在（0，+）无零点，则实数a 的取值范围为（）A（0，e）B0，e）C0，eD（0，e）（e，+）二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13函数 y=?+1在点 P（1，0）处的切线方程为14 柜子里有 3双不同的鞋子，随机地取出2 只，则取出的 2只鞋子刚好成对的概率为15已知 M，N 为直线?=-?(?-?)上两点，O 为坐标原点，若?=?3，则 MO
4、N面积的最小值为16一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于 500mg 病人就有危险 现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg20.3010，1g30.4771，精确到0.1h）三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足：a12+a528，a1+a25（1）
5、求数列 an的通项公式；（2）记数列?的前 n 项和为 Tn，求 Tn取得最大值时n 的值18李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，如表是李老师这门课三年来考试成绩分布：成绩40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数105010025015040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数附：?.?.?19如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4 的菱形，且A1AC=?3，面 ACC1A1面 ABC，A1ABC，BC 4（1）求证：BC面 ACC
6、1A1；（2）求 B1到平面 A1BC 的距离20已知F1（1，0），F2（1，0）为椭圆：?2?2+?2?2=1（ab0）的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1AB 的周长为8（1）求椭圆的标准方程；（2）已知 P（x0，y0）（y00）是直线l：x4 上一动点，若PA，PB 与 x 轴分别交于点 M（xM，0），N（xN，0），则1?-1+1?-1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由21已知函数f（x）exsinx1，g（x）ex1xxsinx（1）证明：不等式f（x）0 在（1，0）恒成立；（2）证明：g（x）在(-?，?2)存在两个极值点附：1?.?，sin10.8
7、41，cos10.540（二）选考题：共10 分请考生从第22、23 题中任选一题作答并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=?（t 参数，为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为?2=?（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 的交点为P，Q 两点，曲线 C 和 x 轴交点为A，若 APQ 面积为?，求 tan的值选修 4-5：不等式选
8、讲23已知正数a，b，c 满足 a+b+c1求证：（1）?14；（2）?1-?+?1-?+?1-?32参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z 满足?+?2+?=?+?，则复数z（）A2+iB1+2iC3+iD32i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由?+?2+?=?+?，得 z+i（1+i）（2+i）1+3i，z 1+2i，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2已知集合?=?|?-1?+3?，Bx|x|2，则 AB（）Ax|2x 1Bx|3x 2Cx|2x1
9、Dx|2x1【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：集合?=?|?-1?+3?=x|3x1，B x|x|2x|2 x2，ABx|2x 1故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3某单位有职工160 人，其中业务人员96 人，管理人员40 人，后勤服务人员24 人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20 的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（）A3B5C10D15【分析】先计算业务人员、管理人员、后勤人员的人数的比例，再根据这个比例计算需抽取的人数解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取96：40：2412：5：3，又共
10、抽出20 人，管理层抽取人数为20512+5+3=5 人故选：B【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题4若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A2B4C?D43【分析】先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1 的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积V1 224故选：B【点评】本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题5已知?(?4-?)=35，则?的值为（）A725B1925C1625D1425【分析】利用两个角的正弦公式展开所给的三角函
11、数式，两边同除以系数，得到一个角的正弦与余弦的差，两边平方整理出可以应用二倍角公式，得到结果解：?(?4-?)=35，22?-22?=35，?-?=325，12sin cos=1825，sin2=725故选：A【点评】本题考查二倍角公式的逆用，是一个考查一个角的正弦与余弦的和，差与积三者之间的关系的题目，这三者可以做到知一求二6函数?=2?-1?+1的值域为（）Ay|0y2By|y 0 且 y 2Cy|y2Dy|y2【分析】由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解解：因为?=2?-1?+1=2(?+1)-3?+1=2-31+?2故选：C【点评】本题主要考查了利用分离法求解函数的值域，属于
12、基础试题7PA，PB，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角均为60，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（）A12B 63C 33D 32【分析】过 PC 上一点 D 作 DO平面 APB，则 DPO 就是直线PC 与平面 PAB 所成的角，说明点O 在 APB 的平分线上，通过直角三角形PED、DOP，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值解：过 PC 上一点 D 作 DO平面 APB，则 DPO 就是直线PC 与平面 PAB 所成的角因为 APC BPC60，所以点O 在 APB 的平分线上，即OPE 30过点 O 作 OEPA，OF PB，因为 DO平面 APB，则 D
13、E PA，DF PB设 PE1，OPE30 OP=1?30=233在直角 PED 中，DPE 60，PE1，则 PD2在直角 DOP 中，OP=233，PD2则 cos DPO=?=33即直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是33故选：C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键8已知平面上定点A（5，0）和 B（8，4），又 P 点为双曲线?216-?29=?右支上的动点，则|PA|PB|的最大值为（）A8B10C11D13【分析】设双曲线右焦点为F2，根据双曲线的定义可知|
14、PA|PB|8+|PF2|PB|，进而可知当 P、F2、B 三点共线时有最大值，根据双曲线方程可求的F2的坐标，利用两点间的距离公式求得答案解：由双曲线?216-?29=?，可得 a 4，b3，c5，可知 A（5，0）是双曲线的左焦点，设双曲线右焦点为F2，可得|PA|PF2|2a8，则|PA|PF2|+8，则|PA|PB|8+|PF2|PB|8+|BF2|，当 P，B，F2三点共线时有最大值，而|BF2|=(?-?)?+(?-?)?=5，所以|PA|PB|的最大值为8+513，故选：D【点评】本题主要考查双曲线的定义、三点共线取得最值的性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题9已知向量|
15、?|=?，向量?与?夹角为3?4，且?=-?，则|?-?|（）A?B2C?D4【分析】先根据平面向量数量积的定义可知?=|?|?|?|?，?，代入已知条件后可求出|?|，再由|?-?|?-?|?展开进行运算即可得解解：由平面向量数量积的定义可知，?=|?|?|?|?3?4=?|?|?(-22)=-?，|?|=?，|?-?|?-?|?=|?|?-?+|?|?=?-?(-?)+?=?故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算，遇到求向量模长的问题时一般采取平方处理的方式，考查学生的运算能力，属于基础题10已知函数?(?)=?(?+?)(-?2?2)图象关于直线?=5?18对称，则函数f（x）在区
16、间 0，上零点的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据余弦型函数的对称性知，f（x）在?=5?18时取得最值，由此求出 值，再令 f（x）0，解出 x，即可判断在 0，上零点个数解：因为函数?(?)=?(?+?)(-?2?2)图象关于直线?=5?18对称，?(?5?18+?)=?，5?6+?=?，?，由-?2?2知，k1 时，=?6故?(?)=?(?+?6)，令 f（x）0 得?+?6=?2+?，?，?=?9+?3，?因为 x 0，所以 k0，1，2 时，=?9，4?9，7?9满足条件故零点有三个故选：C【点评】本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值
17、点、零点之间的关系属于中档题11设直线AB：ykx2 与抛物线y28x 交于 A，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k（）A2B 1C 2D 1 或 2【分析】将直线AB 的方程与抛物线方程联立求出两根之和，及判别式大于0 的 k 的范围，再由线段AB 的横坐标求出k 的值解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立?=?-?=?整理可得：k2x24（k+2）x+4 0，16（k+2）2 16k20，即 k 1，可得 x1+x2=4(?+2)?2，由题意可得2(?+2)?2=2，整理可得k2k2 0 解得：k2 或 1，所以 k2，故选：A【点评】本题考查直线与
18、抛物线的综合，及中点坐标的求法，属于中档题12已知函数?(?)=12?-?在（0，+）无零点，则实数a 的取值范围为（）A（0，e）B0，e）C0，eD（0，e）（e，+）【分析】函数?(?)=12?-?在（0，+）无零点，可转化为?=?22?无正实数根，研究函数g（x）=?22?的值域，a 只要在值域之外取值即可解：函数?(?)=12?-?在（0，+）无零点，显然x1 不是函数f（x）的零点故问题可转化为?=?22?无正实数根，令 g（x）=?22?，（x0，且 x1），?(?)=4?-2?4?2?=?(?-12)?2?，令 g（x）0 得?=?，当 x（0，1）（1，?）时，g（x）0，故
19、 g（x）在(?，?)，(?，?)上递减；当?(?，+)时，g（x）0，g（x）递增又 x0 时，g（x）0；x1（x1）时，g（x）；x1（x 1）时，g（x）+g（?）e；x+，g（x）+作出函数g（x）与 ya 的图象：可知，当ya 介于 x 轴（包括x 轴）与点（?，?）之间时，原函数在（0，+）上无零点故 0a e即为所求故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而通过函数的图象，研究函数的零点问题属于中档题二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13函数 y=?+1在点 P（1，0）处的切线方程为x2y10【分析】先求出函数的导数，然后求出切点处
20、的导数值，最后利用点斜式求出直线方程解：?=1+1?-?(?+1)2，?|?=?=12，所以切线为：?=12(?-?)，即：x2y10故答案为：x2y 10【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力属于基础题14 柜子里有 3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的 2 只鞋子刚好成对的概率为15【分析】先求出基本事件总数n=?=15，取出的2 只鞋子刚好成对包含的基本事件个数 m=?=?，由此能求出取出的2 只鞋子刚好成对的概率解：柜子里有3 双不同的鞋子，随机地取出2 只，基本事件总数n=?=15，取出的 2只鞋子刚好成对包含的基本事件个数m=?=?，取出的2 只
21、鞋子刚好成对的概率p=?=315=15故答案为：15【点评】本小题主要考查古典概率等基本知识，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15已知 M，N 为直线?=-?(?-?)上两点，O 为坐标原点，若?=?3，则 MON面积的最小值为?【分析】如图所示，利用点到直线的距离公式可得：圆的O 到直线的距离d设|OM|m，|ON|n，MON中，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：|MN|2 mn由MON 面积=12?|MN|=12mn?sin?3进而得出结论解：如图所示，圆的 O 到直线的距离d=23(3)2+12=?设|OM|m，|ON|n，MON 中，由余弦定理可得：|MN|2m2+
22、n22mn?cos?32mnmnmn MON 面积=12?|MN|=12mn?sin?3|MN|=12mn?，mn4，当且仅当mn 2时取等号|MN|2 MON 面积=12?|MN|322=?故答案为：?【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于 500mg 病人就有危险 现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg20.3010，1g3
23、0.4771，精确到0.1h）【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药，依题意，可得5002500（120%）x1500整理，得0.2 0.8x 0.6，log0.80.6xlog0.80.2，log0.80.6=?0.6?0.8=?6-1?8-1=?2+?3-13?2-1 2.3，log0.80.2=?0.2?0.8=?2-13?2-1 7.2，解得：2.3x 7.2，应在用药2.3 小时后及7.2 小时前再向病人的血液补充
24、药故答案为：2.3【点评】本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足：a12+a528，a1+a25（1）求数列 an的通项公式；（2）记数列?的前 n 项和为 Tn，求 Tn取得最大值时n 的值【分析】（1）设等差数列 an的公差为d，由 a12+a52 8，a1+a25可得 2a1+d5，?+(?+?)?=
25、8，联立解得a1，d即可得出（2）Snna1+?(?-1)2d，可得：?=a1+?2（n1）=145+12（n1）?（-35）0，解得 n 即可得出解：（1）设等差数列an的公差为d，a12+a528，a1+a252a1+d5，?+(?+?)?=8，联立解得a1=145，d=-35an=145-35（n1）=175-35n（2）Snna1+?(?-1)2d，可得：?=a1+?2（n1）=145+12（n 1）?（-35）0，解得 n313n N*n10Tn取得最大值时n10【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18李老师
26、在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，如表是李老师这门课三年来考试成绩分布：成绩40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人数105010025015040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数附：?.?.?【分析】（1）先求出平均成绩，由此能求出方差，进而能求出标准差（2）由已知数据求出前4 组频率，由160+560+106012，160+560+1060+256012，可知中位数位于区间70，80），设中位数为x，列出方程能求出中位数解：（1）平均成绩为：?=1600（
27、1045+5055+10065+25075+15085+4095）75方差 S2=160010（7545）2+50（7555）2+100（7565）2+250（7575）2+150（7585）2+40（7595）2=3503，标准差为S 10.8（2）由已知数据得前4 组频率依次为：160，560，1060，2560，由160+560+106012，160+560+1060+256012，可知中位数位于区间70，80），设中位数为x，则160+560+1060+(?-?)?2560?110=12，解得 x75.6，中位数为75.6【点评】本题考查平均数、标准差、中位数的求法，考查频数分布表的性
28、质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4 的菱形，且A1AC=?3，面 ACC1A1面 ABC，A1ABC，BC 4（1）求证：BC面 ACC1A1；（2）求 B1到平面 A1BC 的距离【分析】（1）过 A1作 A1HAC 于点 H，A1H平面 ABC，A1HBC，A1ABC，由此能证明BC平面 ACC1A1（2）B1C1平面 A1BC，能求出 B1到面 A1BC 的距离与C1到面 A1BC 的距离相等，连结AC1，设 AC1A1CM，则 C1MA1C，从而 C1M平面 A1CB，C1M 即为 C1到面 A1CB的距离，由此
29、能求出B1到面 A1BC 的距离解：（1）证明：在菱形ACC1A1中，过 A1作 A1HAC 于点 H，平面 A1C1CA平面 ABC，A1H 平面 ABC，A1HBC，而 A1ABC，由 A1HA1A A1，则 BC平面 ACC1A1（2）解：B1C1平面 A1BC，B1到面 A1BC 的距离与C1到面 A1BC 的距离相等，在菱形 ACC1A1中，连结 AC1，设 AC1A1CM，则 C1MA1C，C1M平面 A1CB，C1M 即为 C1到面 A1CB 的距离，在菱形 ACC1A1中，AC 4，?=?3，?=?=12?=2?，B1到面 A1BC 的距离为2?【点评】本题考查线面垂直的证明，
30、考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知F1（1，0），F2（1，0）为椭圆：?2?2+?2?2=1（ab0）的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1AB 的周长为8（1）求椭圆的标准方程；（2）已知 P（x0，y0）（y00）是直线l：x4 上一动点，若PA，PB 与 x 轴分别交于点 M（xM，0），N（xN，0），则1?-1+1?-1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由【分析】（1）由椭圆的定义可得F1AB 的周长为4a，由题意可得a 的值，及c 的值，再有 a，b，c 之间的关系求出b 的值，进而求
31、出椭圆的标准方程；（2）分直线AB 的斜率为0 和不为 0 两种情况讨论，求出A，B 的坐标，设P 的坐标，求出直线PA 的方程，令 y0，求出 M 的坐标，进而求出1?-1的表达式，同理求出1?-1的表达式，进而求出1?-1+1?-1为定值解：（1）由题意可得三角形AF1B 中，三角形的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|4a 8，解得a 2，而 c1，所以 b2 a2 c2413，所以椭圆的方程为：?24+?23=1；（2）由题意设P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），设直线 AB 的斜率为0 时可得，A（2，0），B（2，0），则直线PA 与 x 轴的交点M的横坐标xM
32、2，同理可得xN2，所以1?-1+1?-1=1-2-1+12-1=23，当直线 AB 的斜率不为0 时，设直线AB 的方程为：xmy+1，联立直线AB 与椭圆的方程?=?+?+?-?=?，整理可得（4+3m2）y2+6my90，y1+y2=-6?4+3?2，y1y2=-94+3?2，设直线PA 的方程为：y=?0-?14-?1（x4）+y0，令y0，可得xM1=-?0(4-?1)?0-?1+3=-4?0+?0(?1+1)+3?0-3?1?0-?1=?1(?0-3)?0-?1，所以1?-1=?0-?1?1(?0-3)，同理可得1?-1=?0-?2?2(?0-3)，所以1?-1+1?-1=?0-?
33、1?1(?0-3)+?0-?2?2(?0-3)=(?0-?1)?2+(?0-?2)?1?1?2(?0-3)=?0(?1+?2)-2?1?2?1?2(?0-3)=?0?-6?4+3?2-2?-94+3?2-94+3?2?(?0-3)=-6(?0-3)-9(?0-3)=23；综上所述1?-1+1?-1为定值23【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题21已知函数f（x）exsinx1，g（x）ex1xxsinx（1）证明：不等式f（x）0 在（1，0）恒成立；（2）证明：g（x）在(-?，?2)存在两个极值点附：1?.?，sin10.841，cos10.540【分析】（1）
34、由已知，要证原不等式成立，问题转化为求解函数f（x）在（1，0）上的范围问题，结合导数与单调性的关系可求（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系，结合函数的零点判定定理可证【解答】证明：（1）f（x）excosx，令 h（x）excosx，则 h（x）ex+sinx 在（1，0）上单调递增，且h（1）e1 sin10，h（0）10，故存在 x0（1，0）使得 h（x0）0，当 1x x0时，h（x）0，h（x）单调递减，即f（x）单调递减，f（x）f（1）e1 cos10，x0 x 0 时，h（x）0，h（x）单调递，即f（x）单调递增，f（x）f（0）0，故当 1x0 时，总有
35、f（x）0，f（x）为减函数，所以 f（x）f（0）0，从而原不等式得证；（2）g（x）ex1xxsinx，g（x）ex1xcosxsinx，令 m（x）ex 1xcosxsinx，0 x12?，则 m（x）ex+xsinx 2cosx 在（0，12?）上单调递增，又 m（0）10，?(12?)=12?+?12?0，故存在唯一的?(?，12?)，使得 m（x）0，x（0，x1），m（x）0，m（x）单调递减，即g（x）单调递减，当 x(?，12?)时，m（x）0，m（x）单调递增，即g（x）单调递增，而 g（0）0，g（x1）g（0）0，?(12?)=?12?-?，存在唯一的x2(?，12?)
36、，使得 g（x2）0，0 xx2时，g（x）0，g（x）单调递减，?12?，g（x）0，g（x）单调递增，故 x2为 g（x）的一个极小值点，另一方面，在1 x0 时，由 xcosx0 可知 g（x）ex1xcosxsinxex1sinx，由（1）可知 ex1sinx0，所以 g（x）0 在（1，0）上恒成立，又g（x）0 在（0，x2）上恒成立所以 x0 是函数的极大值点【点评】本题综合考查了导数与函数的性质及函数的零点判定定理在求解函数极值中的应用，属于中档试题一、选择题22在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=?（t 参数，为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为
37、极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为?2=?（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 的交点为P，Q 两点，曲线 C 和 x 轴交点为A，若 APQ 面积为?，求 tan的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果解：（1）直线 l 的参数方程为?=?+?=?（t 参数，为常数），转换为直角坐标方程为 yk（x 2）曲线 C 的极坐标方程为?2=?整理得?1-?2=?，根据 x cos，2x2+y2转，换为直角坐标方程为y24x+4（2）由于 y24x+4
38、与 x 轴的交点坐标为（1，0），所以?=?+?=?(?-?)得到?-4?-?=?，记 t=1?，所以 y24ty 120，整理得|?-?|=(?)?+?=4?+?所以?=12|?|?-?|=?+?=?，解得 t=?，即?=33，所以?=33【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知正数a，b，c 满足 a+b+c1求证：（1）?14；（2）?1-?+?1-?+?1-?32【分析】（1）由已知得a+b1，用均值不等式即可
39、；（2）用分析法把?1-?+?1-?+?1-?32左式分离变量，再由a+b+c1 变形配凑成3 元均值不等式的形式即可证明【解答】证明：（1）因为正数a，b，c 满足 a+b+c 1，所以 a+b1，由于 ab（?+?2）214，故 ab14（2）分析法：要证原式，只要证：?-1+11-?+?-1+11-?+?-1+11-?32，即证 3+11-?+11-?+11-?32，只要证：11-?+11-?+11-?92，即证：（1a）+（1 b）+（1c）（11-?+11-?+11-?）9，因为（1a）+（1 b）+（1 c）3(?-?)(?-?)(?-?)?，11-?+11-?+11-?311-?11-?11-?将 两式相乘即得要证的式子：（1a）+（1b）+（1c）（11-?+11-?+11-?）9，以上每步都成立，所以不等式?1-?+?1-?+?1-?32成立【点评】本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用属于中档题