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1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）一、选择题（共12 小题）.1集合 x|1x3，x N*的非空子集个数为（）A3B4C7D82已知命题p：复数 z2i 的虚部是 i，命题 q：ax2+ax+10 恒成立，则 a（0，4）下列命题为真命题的是（）ApqBpqC pqD p q3如图角和角 的终边重直，且角与单位圆的交点坐标为P(35，-45)，则 sin（）A-35B35C-45D454执行如图所示的程序框图则输出的s的值为（）A49B89C37D675函数 f（x）=?2?的大致图象为（）ABCD6从 1，2，3，4，5 这五个数中随机选取两个，则和为奇数的概率为（）A25B1
2、2C35D7107函数?(?)=?(?+?)(?，?2)与直线 y1 的两个相邻交点之间的距离为?2，且将 f（x）的图象向左平移?6之后得到的图象关于原点对称则关于函数f（x），下列说法正确的是（）A最小正周期为B渐近线方程为?=?2+?2(?)C对称中心为(-?12+?2，?)(?)D单调递增区间为(-?3+?2，?6+?2)(?)8直线 2ax+by20（a0，b 0）过函数?(?)=?+1?-1+?图象的对称中心，则4?+1?的最小值为（）A9B4C8D109在矩形ABCD 中，AB3，AD 4，点 P 是以点 C 为圆心，2 为半径的圆上的动点设?=?+?，则 +的最小值为（）A1B
3、76C2D8310九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法显然正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等若正方体的棱长为2则“牟合方盖”的体积为（）A163B2C83D43?11设 F1、F2是双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点，点P 是双曲线右支上一点，满足 F1PF260，且以 PF1、PF2为邻边的平行四边形的两对角线长度
4、分别为2c、4b，则双曲线的离心率为（）A?+?B?C?D1+3212定义在R 上的连续函数f（x），导函数为f（x），若对任意不等于1 的实数x 均有（x+1）f（x）f（x）0 成立且 f（1+x）f（1 x）e2x，则下列命题中一定成立的是（）Af（1）f（0）Bef（2）f（1）Cef（2）f（0）Def（2）f（0）二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13若 4 进制数 2m01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则 m14已知命题“存在x R，使 ax2x+10 是假命题，则实数a 的取值范围是15已知 a、b、c 分别是 ABC 的内角 A、B、C 所对
5、的边 且 b2+c2a2accosC+c2cosA，若 ABC 的面积为?，则其周长的最小值为16如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB AC=?，BC 2将它沿BC 边上的高AD翻折，使B 点与 C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22.23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50 人进行了问卷调查；得到如下列表：（附?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)
6、）高于 22.5c不高于 22.5c合计患新冠肺炎20525不患新冠肺炎101525合计302050（1）是否有 99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54 人，36 人，18 人按分层抽样的方法随机抽取6 人进行问卷调查，再从6 人中随机抽取2 人进行调查结果对比，求这2 人中至少一人是老年人的概率P（K2k）0.100.050.0250.01K2.7013.8415.0246.63518已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S430，a2，a4的等差中项为10（1）求数列 an的通项
7、公式；（2）求?=2?1?2+22?2?3+?+2?+119如图 AB 是圆 O 的直径，点C 是圆 O 上一点，PA平面 ABC，E、F 分别是PC、PB 边上的中点，点M 是线段 AB 上任意一点，若APACBC 2（1）求异面直线AE 与 BC 所成的角；（2）若三棱锥MAEF 的体积等于19，求?20在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q（1，0），直线 l：x 2若动点P 在直线 l 上的射影为 R，且|?|=?|?|，设点 P 的轨迹为C（1）求 C 的轨迹方程；（2）设直线 yx+n 与曲线 C 相交与 A、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M，使得四边形 MAOB 为平行四边形
8、，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由21设函数?(?)=?，?(?)=?+?+1（1）当 n 1 时，若函数yg（xm）在（1，+）上单调递增，求m 的取值范围；（2）若函数 yf（x）g（x）在定义城内不单调，求n 的取值范围；（3）是否存在实数a，使得?(2?)?(?)+?(?2?)?对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=?-?(?为参数），以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为?=41+3?2?（1）写出直线l 和曲线
9、 C 的普通方程；（2）过曲线 C 上任一点P 作与 l 的夹角为30的直线，交l 于点 Q，求|PQ|的最大值与最小值选修 4-5不等式选讲23设函数f（x）|x+1|x1|（1）求 yf（x）的值域；（2）?x 0，+），f（x）ax+b，求 a+2b 的最小值参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 x|1x3，x N*的非空子集个数为（）A3B4C7D8【分析】根据集合A 的元素个数，直接求解非空子集的个数即可解：A 中包含 2 个元素：1，2，故其子集个数为4，非空子集个数为3，故选：A【点评】本题主要考
10、查由集合求其子集的个数，含有n 个元素的集合，其子集个数为2n个，非空子集个数为2n 1 个，是道基础题2已知命题p：复数 z2i 的虚部是 i，命题 q：ax2+ax+10 恒成立，则 a（0，4）下列命题为真命题的是（）ApqBpqC pqD p q【分析】先判断p，q 的真假，进而得到结论解：因为复数z 2i 的虚部是 1；故 p 为假命题，又因为，当a 0 时，ax2+ax+10 也恒成立；故 q 为假命题；p q 为真命题；故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的有关判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3如图角和角 的终边重直，且角与单位圆的交点坐标为P(35，-45)，则 sin
11、（）A-35B35C-45D45【分析】由任意角的三角函数的定义可知cos=35，进而利用诱导公式即可求解sin sin（?+?2）cos的值解：由任意角的三角函数的定义可知cos=35，所以 sin sin（?+?2）cos=35故选：B【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，考查了转化思想，属于基础题4执行如图所示的程序框图则输出的s的值为（）A49B89C37D67【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=113+135+157+179的值，裂项相消求和可得答案解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=113+
12、135+157+179的值，由于 S=113+135+157+179=12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+12（17-19）=12（1-19）=49故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5函数 f（x）=?2?的大致图象为（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性及在?=?2处的切线斜率为负，结合选项即可得解解：函数f（x）为奇函数，故排除A，C；而?(?)=2?-?2?2，?(?2)=-4?2?，故图象在?=?2处的切线斜率为负；故选：B【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题6从 1，2
13、，3，4，5 这五个数中随机选取两个，则和为奇数的概率为（）A25B12C35D710【分析】基本事件总数n=?=?，和为奇数包含的基本事件个数m=?=6，由此能求出和为奇数的概率解：从 1，2，3，4，5 这五个数中随机选取两个，基本事件总数n=?=?，和为奇数包含的基本事件个数m=?=6，和为奇数的概率为p=?=610=35故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7函数?(?)=?(?+?)(?，?2)与直线 y1 的两个相邻交点之间的距离为?2，且将 f（x）的图象向左平移?6之后得到的图象关于原点对称则关于函数f（x），下列说法正确
14、的是（）A最小正周期为B渐近线方程为?=?2+?2(?)C对称中心为(-?12+?2，?)(?)D单调递增区间为(-?3+?2，?6+?2)(?)【分析】由题意可得 2，利用ytan（2x+?3+）为奇函数，结合范围0，可求 =?6，可得 f（x）tan（2x+?6），进而根据函数的性质判断选项即可求解解：由题意可得2，所以 ytan（2x+?3+）为奇函数，?3+=?2，k Z，又 0 ，所以 =?6，故 f（x）tan（2x+?6），可得最小正周期为?2，渐近线方程为x=?6+?2，k Z，对称中心为（-?12+?4，0），k Z，单调递增区间为：（-?3+?2，?6+?2），k Z故选：
15、D【点评】本题考查正切函数的图象和性质，考查了函数yAsin（x+）的图象变换，属于中档题8直线 2ax+by20（a0，b 0）过函数?(?)=?+1?-1+?图象的对称中心，则4?+1?的最小值为（）A9B4C8D10【分析】利用函数f（x）的对称中心可得a+b1，由 1 的妙用，可得4?+1?的最小值解：函数?(?)=?+1?-1+?图象的对称中心为（1，2），所以a+b1，4?+1?=(?+?)(4?+1?)=?+?+4?+?+?=?，当且仅当?=?=23时等号成立；故选：A【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题9在矩形ABCD 中，AB3，AD 4，点 P 是以点 C 为圆
16、心，2 为半径的圆上的动点设?=?+?，则 +的最小值为（）A1B76C2D83【分析】以点 A 为原点，AB 和 AD 分别为 x 和 y 轴建立平面直角坐标系，然后依次写出A、B、D 坐标以及圆C 的方程，并设P（2cos+3，2sin+4），由于?=?+?，代入四个点的坐标，用含的式子表示和 ，最后结合辅助角公式即可得解解：如图，以点A 为原点，AB 和 AD 分别为 x 和 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（3，0），D（0，4），圆 C 的方程为（x3）2+（y4）24，点 P 在圆 C 上，可设P 的坐标为（2cos+3，2sin+4），又?=?+?，（2cos+3，
17、2sin+4）（3，0）+（0，4）（3，4），即?+?=?+?=?，?+?=23?+12?+?=56?(?+?)+?76故选：B【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，采用建系的方式，通过平面向量的坐标运算解决问题可以事半功倍，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题10九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法显然正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等
18、高处的截面积相等，则体积相等若正方体的棱长为2则“牟合方盖”的体积为（）A163B2C83D43?【分析】任意水平面与”牟合方盖“及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆，正方形和内切圆的面积比为4：，由祖暅原理，“牟合方盖“体积和内切球的体积之比为4：，由此利用球的体积能求出“牟合方盖“体积解：依题意，任意水平面与”牟合方盖“及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆，正方形和内切圆的面积比为4：，由祖暅原理，“牟合方盖“体积和内切球的体积之比为4：，又球的体积为43?，“牟合方盖“体积为163故选：A【点评】本题考查“牟合方盖”的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
19、关系、祖暅原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11设 F1、F2是双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点，点P 是双曲线右支上一点，满足 F1PF260，且以 PF1、PF2为邻边的平行四边形的两对角线长度分别为2c、4b，则双曲线的离心率为（）A?+?B?C?D1+32【分析】由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，再由PF1、PF2为邻边的平行四边形的两对角线长度分别为2c、4b 可得得|?+?|4b，及余弦定理可得4b2+2a23c20，又 b2c2a2，求出 a，c 之间的关系，进而求出离心率解：由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，再由题意可得|?+?|4b，
20、将两式平方可得：|PF1|2|+|PF2|2 2|PF1|PF2|4a2，|?|2+|?|2+2?=16b2由 F1PF260，所以2?=2|?|?|cos60|?|?|由余弦定理：|PF1|2|+|PF2|24c22|PF1|PF2|?12，即 4b2+2a23c20，又 b2 c2a2，所以可得c22a2，解得 e=?，故选：C【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用，属于中档题12定义在R 上的连续函数f（x），导函数为f（x），若对任意不等于1 的实数x 均有（x+1）f（x）f（x）0 成立且 f（1+x）f（1 x）e2x，则下列命题中一定成立的是（）Af（1）f（0）Bef（
21、2）f（1）Cef（2）f（0）Def（2）f（0）【分析】结合已知条件可考虑构造g（x）=?(?)?，由已知可判断g（x）的单调性及对称性，进而可比较函数值的大小解：令 g（x）=?(?)?，因为（x+1）f（x）f（x）0 成立，所以?(?)=?(?)-?(?)?，当 x 1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当x 1 时，g（x）0，函数g（x）单调递增，又 f（1+x）f（1x）e2x，所以?(?-1)?-1=?(-1-?)?-1-?，即 g（1+x）g（1x），故 g（x）=?(?)?关于 x 1 对称，综上可得，g（0）g（2）g（1）结合选项可知B 符合题意故选：B【点评】
22、本题考查了利用导数比较函数值的大小，结合的关键是导数的应用，属于综合性试题二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13若 4 进制数 2m01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则 m3【分析】将4 进制数 2m01（4）（m 为正整数）化为十进制数，由题意列出m 的方程，最后即可求出m 的值解：由题意可得：140+m42+243177，解得：m3故答案为：3【点评】本题考查算法的概念，以及进位制的运算，本题为基础题14已知命题“存在x R，使 ax2x+10 是假命题，则实数a 的取值范围是a14【分析】写出特称命题的否定，把问题转化为ax2x+10 在 R 上恒成立
23、当 a0 时，x+10 不恒成立，则有?=?-?，求解不等式组得答案解：命题“存在x R，使 ax2x+1 0”是假命题，则其否定“任意x R，ax2x+10”是真命题，即 ax2x+10 在 R 上恒成立而当 a0 时，x+10 不恒成立，有?=?-?，解得 a14实数 a的取值范围是a14故答案为：a14【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查特称命题的否定，考查恒成立问题的求解方法，是中档题15已知 a、b、c 分别是 ABC 的内角 A、B、C 所对的边 且 b2+c2a2accosC+c2cosA，若 ABC 的面积为?，则其周长的最小值为6【分析】由已知利用余弦定理可得b2+c2
24、 a2 bc，由余弦定理可得cosA，可得 A 的值，利用三角形的面积公式可求bc4，由余弦定理，基本不等式即可求解解：b2+c2a2accosC+c2cosAac?2+?2-?22?+c2?2+?2-?22?=bc，cosA=?2+?2-?22?=12，又 A（0，），A=?3，SABC=12bcsinA=?，可得 bc4，a2b2+c24，a+b+c=?+?-?+b+c?-?+2?=6，当且仅当b c2 时等号成立故其周长的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16如图，在等腰
25、三角形ABC 中，已知AB AC=?，BC 2将它沿BC 边上的高AD翻折，使B 点与 C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为10?3【分析】由已知可得：BCCDBD1，设 BCD 的外接圆的直径为2r，则 2r=1?60，解得 r利用已知与线面垂直的判定定理可得：AD 平面 BCD，设四面体ABCD 的外接球的半径为R可得 R2=(33)?+(?2)?，即可得出结论解：由已知可得：BCCDBD 1，设 BCD 的外接圆的直径为2r，则 2r=1?60，解得 r=33又 AD DB，ADDC，BD CDDAD 平面 BCD，设四面体ABCD 的外接球的半径为R则 R2=(33)
26、?+(?2)?=13+12=56四面体ABCD 的外接球的表面积4 R2=10?3故答案为：10?3【点评】本题考查了空间位置关系、线面垂直的判定定理、正弦定理、等边三角形的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22.23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50 人进行了问卷调查；得到如下列表：（附?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)）高于 22.5c不高于
27、 22.5c合计患新冠肺炎20525不患新冠肺炎101525合计302050（1）是否有 99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54 人，36 人，18 人按分层抽样的方法随机抽取6 人进行问卷调查，再从6 人中随机抽取2 人进行调查结果对比，求这2 人中至少一人是老年人的概率P（K2k）0.100.050.0250.01K2.7013.8415.0246.635【分析】（1）计算 K 的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）利用分层抽样计算出抽取的6 人中，老年、中年、青年的人数
28、，分别标记，列举出从 6 人中随机抽取2 人的所有可能的结果，再利用古典概率的概率公式即可求出结果解：（1）K2=50(20 15-5 10)225 25 20 30=8.3336.635，所以有 99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关；（2）从 108 人中按照分层抽样的方法随机抽取6 人，老年、中年、青年分别抽取得人数为 3 人、2 人、1人，记 3 个老年人为A1，A2，A3，2 个中年人为B1，B2，1 个青年人为C1，抽取的全部结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B
29、1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共 15 种，至少 1 人是老年人的有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1）共 12 种，所以至少1 人是老年人的概率P=1215=45【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概率的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S430，a2，a4的等差中项为10（1）求数列 an的通项公式；（2）求?=
30、2?1?2+22?2?3+?+2?+1【分析】（1）等比数列 an的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，可得Sn，求得2?+1=14（12?-1-12?+1-1），运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和解：（1）等比数列 an的公比设为q，前 n 项和为 Sn，且 S430，a2，a4的等差中项为10，可得 a1（1+q+q2+q3）30，a2+a420，即 a1q+a1q320，解得 a1 q2，则 an2?2n12n；（2）Sn=2(1-2?)1-2=2n+12，2?+1=2?(2?+1-2)
31、(2?+2-2)=14（12?-1-12?+1-1），可 得 求?=2?1?2+22?2?3+?+2?+1=14（1-122-1+122-1-123-1+?+12?-1-12?+1-1）=14（1-12?+1-1）=2?-12(2?+1-1)【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题19如图 AB 是圆 O 的直径，点C 是圆 O 上一点，PA平面 ABC，E、F 分别是PC、PB 边上的中点，点M 是线段 AB 上任意一点，若APACBC 2（1）求异面直线AE 与 BC 所成的角；（2）若三棱锥
32、MAEF 的体积等于19，求?【分析】（1）推导出ACBC，PABC，从而BC平面PAC，进而BC AE，由此能求出异面直线AE 与 BC 所成角（2）设?=t，则?=t，由SAMF+SBMFSABF=?，得SAMF=2?+1，推导出点 C 到平面PAB 的距离为?，由三棱锥MAEF的体积等于19，从而VMAEFVEAMF=13?22=132?+122=19，由此能求出结果解：（1）AB 是圆 O 的直径，点C 是圆 O 上一点，ACBC，PA平面 ABC，PABC，PA ACA，BC平面 PAC，又 AE?平面 PAC，则 BCAE，异面直线AE 与 BC 所成角为90（2）设?=t，PAA
33、CBC2，AB2?，SPAB=12?=?，F 是 PB 的中点，?=12?=?，?=t，?=t，SAMF+SBMFSABF=?，SAMF=2?+1，F 是 PB 的中点，则点E 到平面 PAB 的距离等于点C 到平面 PAB 的距离的一半，点 C 到平面 PAB 的距离为?，三棱锥MAEF 的体积等于19，VMAEFVEAMF=13?22=132?+122=19，解得 t=12，?=12【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q（1，0），直线 l：x 2若动
34、点P 在直线 l 上的射影为 R，且|?|=?|?|，设点 P 的轨迹为C（1）求 C 的轨迹方程；（2）设直线 yx+n 与曲线 C 相交与 A、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M，使得四边形 MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设 P 的坐标，由题意可得等式，整理可得C 的轨迹方程；（2）设 A，B，M 的坐标，联立直线与椭圆的方程求出两根之和，要使点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，则?=?+?，可得 n 的值即求出M 的坐标解：（1）设 P（x，y），由|?|=?|?|，可得|2x|=?(?-?)?+?，整理可得?22+y21；所
35、以 C 的轨迹方程为：?22+y21；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），联立直线与椭圆的方程：?=?+?22+?=?整理可得：3x2+4nx+2n2 20，所以 x1+x2=-4?3，y1+y2x1+x2+2n=23n，假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，则?=?+?，所以 x3 x1+x2=-4?3，y3y1+y2=23n，因为 M 在曲线 C 上，则可得8?29+4?29=1，解得 n2=34，可得 n=32，所以存在n=32，使得四边形MAOB 为平行四边形，此时 M（-233，33）或 M（2 33，-33），【点评】本题考查求轨迹方程及直线与
36、椭圆的综合及平行四边形的性质，属于中档题21设函数?(?)=?，?(?)=?+?+1（1）当 n 1 时，若函数yg（xm）在（1，+）上单调递增，求m 的取值范围；（2）若函数 yf（x）g（x）在定义城内不单调，求n 的取值范围；（3）是否存在实数a，使得?(2?)?(?)+?(?2?)?对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可；（2）求出 yf（x）g（x）的导数，结合导函数的符号，得到关于n 的不等式，解出即可；（3）令 （x）f（2?）?f（eax）+f（?2?），求出（x）
37、的导数，根据函数的单调性得到 （x）max（x0），求出x0=1?，得到关于a 的方程，解出即可解：（1）n 1 时，g（x）=?-1?+1，y g（xm）=?-?-1?-?+1=1-2?-?+1，由函数 yg（xm）在（1，+）递增，得：m11，故 m2；（2）显然 yf（x）g（x）的定义域是（0，+），而 y f（x）g（x）=1?-1-?(?+1)2=?2+(?+1)?+1?(?+1)2=?+1?+?+1(?+1)2，由题意知x+1?+n+1 的最小值为负，而x+1?2，当且仅当“x1”时取等号，故 x+1?+n+1 的最小值是n+3，则 n+30，故 n 3；（3）令 （x）f（2?
38、）?f（eax）+f（?2?）axln 2aaxlnx+lnx ln 2a，（x0，a0），则 （x）aln2aalnx a+1?，令 （x）aln 2aalnx a+1?，（x）=-?+1?20，（x）在（0，+）递减，（x）0 在（0，+）必存在实根，不妨设 （x0）0，即 （x0）aln2aalnx0 a+1?0=0，即 （x0）ax0ln2aax0lnx0ax0+10（*），而 （x）在（0，x0）递增，在（x0，+）递减，故（x）max （x0），而 （x0）ax0ln2aax0lnx0+lnx0ln2a，代入（*）式得 （x0）ax0+1?0-2，根据题意知（x0）ax0+1?0-
39、20 恒成立，又根据不等式ax0+1?02，当且仅当ax0=1?0时“”成立，故 ax0+1?0=2，ax01，将 x0=1?代入（*）得 ln1?=ln2a，即1?=2a，解得：a=22【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=?-?(?为参数），以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为?=41+3?2?（1）写出直线l 和曲线 C 的普通方程；（2）过曲线 C 上任一点P 作与 l 的夹角为30的直线，交l 于点 Q，求|PQ|的最
40、大值与最小值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果解：（1）直线l 的参数方程为?=?+?=?-?(?为参数），转换为直角坐标方程为3x 2y80曲线 C 的极坐标方程为?=41+3?2?根据?=?=?+?=?转换为直角坐标方程为?+?24=?（2）设曲线 C 上的任一点的坐标P（cos，2sin）到直线 l 的距离 d=|3?-4?-8|22+32，则：|?|=?30=?=21313|?(?+?)-?|，且 tan?=43，当 cos（+）1 时，|PQ|取最大
41、值，且最大值为2?当 cos（+）1 时，|PQ|取最小值，且最小值为6 1313【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型选修 4-5不等式选讲23设函数f（x）|x+1|x1|（1）求 yf（x）的值域；（2）?x 0，+），f（x）ax+b，求 a+2b 的最小值【分析】（1）利用绝对值的几何意义，转化求解函数的最值；（2）由题意可知，当x 在0，+）时，yf（x）的图象恒在射线yax+b 的下方，作出两个函数的图象，推出当a
42、0，且 b 0，且 a+b 2时，求 a+2b 的最小值即可解：（1）函数 f（x）|x+1|x1|，因为|x+1|x1|（x+1）（x1）|2，所以 2|x+1|x1|2，并且 x 1 时，f（x）取得最小值2，x1 时，f（x）取得最大值2，所以 yf（x）的值域：2，2（2）由题意可知，当x 在0，+）时，yf（x）的图象恒在射线yax+b 的下方，作出两个函数的图象，易得?-?或?，即当 a 0，且 b 0，且 a+b2 时，求 a+2b 的最小值，作出约束条件的可行域，如图：平移a+2b0，当直线za+2b 经过 A 时，目标函数取得最小值，即：当 a2，b0 时，a+2b有最小值2【点评】本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义以及线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，是难题