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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测第三单元导数及其应用单元测试【满分：100 分时间：90 分钟】一、选择题(本大题共18 小题，每小题3 分，共 54 分)1（云南省玉溪市第一中学2019 届调研）函数2l()nf xxx 的最小值为（）A1eB1eC12eDe21【答案】C【解析】由题得(0,)x，()2 ln(2ln1)fxxxxxx，令2ln10 x解得12xe，则当12(0,)xe时 f(x)为减函数，当12(,)xe时，f(x)为增函数，所以12xe点处的函数值为最小值，代入函数解得121()2f ee，故选 C。2（山东省聊城市2019 届三模）函数()2lnf xxx的图
2、象在1x处的切线方程为（）A10 xyB10 xyC210 xyD210 xy【答案】A【解析】当 x=1 时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得11()2,(1)211fxkfx，所以切线方程为y+2=-1(x-1),即：10 xy故选 A。3（广东省揭阳市2019 年二模）以下四个数中，最大的是（）A3ln3B1eClnD15ln1530【答案】B【解析】由题意，令ln xfxx，则21xfxx，所以ex时，0fx，fx在(,)e上递减，又由315e，3(15)f efff，则1111115331530lnln3lnlnln15ln15ee，即31ln15ln3ln1
3、530e，故选 B。4（河北省石家庄市2019 届模拟）已知当m，1,1n时，33sinsin22mnnm，则以下判断正确的是（）AmnBmnCmnDm与n的大小关系不确定【答案】C【解析】由题意，设3sin2xfxx，则23cos22xfxx，当 1,1x时，0fx，fx单调递增，又由33sinsin22mnmn，所以fmf n，即mn，故选 C。5（辽宁省朝阳市重点高中2019 届模拟）已知函数()f xx（x表示不超过实数x的最大整数），若函数()2xxg xee的零点为0 x，则0gfx（）A12eeB-2 C12eeD2212ee【答案】B【解析】因为()2xxg xee，所以)0(
4、xxg xee在R上恒成立，即函数()2xxg xee在R上单调递增；又00(0)220gee，11(1)20gee所以()g x在(0,1)上必然存在零点，即0(0,1)x，因此00()0fxx，所以0(0)2gfxg.故选 B。6（甘肃省兰州市第一中学2019 届模拟）定义在（0，+）上的函数fx（）满足2()10 x fx，522f（），则关于x的不等式12lnf lnxx（）的解集为()A2(,)eB2(0,)eC2(,)e eD2(1,)e【答案】A【解析】令1()()(0)g xf xxx，则2221()1()()x fxgxfxxx，因为0 x时，2()10 x fx，所以222
5、1()1()()0 x fxgxfxxx，即函数1()()g xf xx在（0，+）上单调递增；又522f（），所以1(2)(2)22gf；由12lnf lnxx（）得12lnf lnxx（），所以(ln)(2)gxg，因此，ln2x，解得2xe.故选 A。7（湖南省长沙市第一中学2019 届模拟）若不等式1ln xmmex对,11ex成立，则实数 m 的取值范围是（）A1,)2B1(,2C1,12D1,)【答案】A【解析】设1lntxx，由1,1ex，则22111txxxx在1,1ex上t0恒成立，1lntxx单调递减，则1,1te；当2em时，max|1tmemme，解得：12m；当2em
6、时，max|1tmmme，恒成立；综上知：当m1,)2时，不等式1ln xmmex对1,1ex成立.故选 A。8（2019 年山西省忻州市一中模拟）定义在R上的可导函数fx满足11f，且21fx，当3,22x时，不等式23(2cos)2sin22xfx的解集为()A4,33B4,33C0,3D,33【答案】D【解析】令11()()22g xf xx，则1()()02gxfx，()g x在定义域R上是增函数，且11(1)(1)022gf，1(2cos)(2cos)cos2gxfxx23=(2cos)2sin22xfx，23(2cos)2sin022xfx可转化成(2cos)1gxg，得到2cos
7、1x，又3,22x，可以得到,33x故选 D。9（湖南省长沙市第一中学2019届模拟）已知函数31()1(,f xxaxe ee是自然对数的底数）与()3lng xx的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A30,4eB31,4eC31,3eD3,3e e【答案】A【解析】根据题意，若函数3()1f xxa（1xee，e是自然对数的底数）与()3lng xx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程313lnxax在区间1,ee上有解，313lnxax即313lnaxx，即方程313lnaxx在区间1,ee上有解，设函数3()3lnh xxx，其导数32313()3xh xxxx，
8、又3n，()0h x在1x有唯一的极值点，分析可得：当11xe时，()0h x，()h x为减函数，当1xe时，()0h x，()h x为增函数，故函数3()3lnh xxx有最小值(1)1h，又由3311hee，3()3h ee，比较得(1)hehe，故函数3()3lnh xxx有最大值3()3h ee，故函数3()3lnh xxx在区间1,ee上的值域为31,3e；若方程313lnaxx在区间1,ee上有解，必有3113ae，则有304ae，即a的取值范围是30,4e，故选 A。10（辽宁省丹东市2019 届质量测试）当1x是函数22()233xf xxaxaae的极值点，则a的值为（）A
9、-2 B3 C-2 或 3 D-3 或 2【答案】B【解析】由22233xfxxaxaae，得22223xfxxaxxaae，x1是函数f（x）的极值点，f（1）62a+a0，解得3a或-2，当a2 时，2210 xfxxxe恒成立，即fx单增，无极值点，舍去；当a3 时，2890 xfxxxe时，x1 或 x=-9，满足 x1 为函数 f（x）的极值点，3a故选 B。11（山东省淄博市部分学校2019 届模拟）已知函数()cos()0,0,|2f xAxA的图象如图所示，令()()()g xf xfx，则下列关于函数g x的说法中正确的是（）A若函数2h xg x的两个不同零点分别为12,x
10、 x，则12xx的最小值为2B函数g x的最大值为2 C函数g x的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线31yx平行D函数g x图象的对称轴方程为5(Z)12xkk【答案】A【解析】由图象可知，2A，214362T，2T，1，()2cos()f xx，()2cos()266f，且1|2，6，()2cos()6f xx，()()()2cos()2sin()2 2 cos()6612g xf xfxxxx，由()()20h xg x可得2cos()122x，则12|xx的最小值为53442，故 A 正确；结合余弦函数的性质可知，()f x 的最大值2 2，故 B 错误；根据导数的几何意义可知，
11、过点P的切线斜率()2 2 sin()22,2212kfxx，不存在斜率为3的切线方程，故C 错误；令12xk可得，12xk，kz，故 D 错误，故选A。12（重庆南开中学2019 届模拟）若函数2ln1fxxaxx的图象不经过第四象限，则正实数a的取值范围为()A1,B1,e2C1,2D1,1e【答案】C【解析】222112111axaxfxaxxx，当210a,即12a0fx,得121,2axa或0 x，当1212axa或0 x，0;fx1202axa，0;fx故fx在0,单调递增，又(0)0f，故图象不经过第四象限，符合题意。当210a，即12a时，0fx,得12,2axa或0 x，当1
12、22axa，0;fx1202axa，0;fx故fx在120,2aa单调递减，在12,2aa递增，又(0)0f，故图像经过第四象限，舍去。故选C。13（江西省上饶市横峰中学2019 届模拟）已知函数10()ln,0 xxf xxxx，若F xfxkx有3 个零点，则k的取值范围为()A(21e，0)B(12e，0)C(0，12e)D(0，21e)【答案】C【解析】由题意，函数10()ln,0 xxf xxxx，要使得函数F xfxkx在 R 上有 3 个零点，当0 x时，令0F xfxkx，可得2ln xkx，要使得0F x有两个实数解，即yk和2ln xg xx有两个交点，又由312ln xg
13、xx，令12ln0 x，可得xe，当(0,)xe时，0gx，则g x单调递增；当(,)xe时，0gx，则g x单调递减，所以当xe时，max12g xe，若直线yk和2ln xg xx有两个交点，则1(0,)2ke，当0 x时，yk和1g xx有一个交点，则0k，综上可得，实数k的取值范围是1(0,)2e，故选 C。14（山东省泰安市教科研中心2019 届模拟）若函数323()12f xaxx存在唯一的零点x0，且x00，则实数a 的取值范围是（）A2,2B(2,0)C(0,2)D2,2【答案】A【解析】由函数323()12f xaxx存在唯一的零点0 x，且00 x等价于23312xax有唯
14、一正根，即函数23312()xyg xx的图象与直线ya在y轴右侧有1 个交点，又()yg x为奇函数且43(2)(2)()xxg xx，则()yg x在(,2)，(2,)为减函数，在2,0,0,2为增函数，(0,2)为增函数，则满足题意时()yg x的图象与直线ya的位置关系如图所示，即实数a的取值范围是22a，故选 A。15（福建省龙岩市2019届模拟）若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=ex-x（x0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A63ln3B33ln32CeD0.5e【答案】B【解析】作出两个曲线的图象如图，设 A（x1，a），B（x2，a），则 x1x2，则 2x1
15、 3e2x2x，即 x112（e2x2x+3），则|AB|12xx12（e2x2x+3）2x12（32x+e2x3），设 f（x）12（ex 3x+3），x0，函数的导数f（x）12（3+ex），由f（x）0得xln3，f（x）为增函数，由 f（x）0 得 0 xln3，f（x）为减函数，即当 xln3 时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）12（3+33ln3）332ln3，故选 B。16（福建省厦门第一中学2019 届模拟）已知函数()xf xeax有两个零点1x，2x，则下列判断：ae；122xx；121xx；有极小值点0 x，且1202xxx.则正确判断的个数是（）A4 个B3
16、个C2 个D 1 个【答案】D【解析】对函数求导：当a0 时，f（x）exa0 在 xR 上恒成立，f（x）在 R 上单调递增当 a0 时，f（x）ex a0，exa0，解得 xlna，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数 f（x）ex ax 有两个零点x1x2，f（lna）0，ae，elnaalna 0，ae，不正确；102001010,01ln,ln1ffeaxxxx（），（）函数的极小值点为0lnxa要证1202xxx，只要证10202xxxx因为函数 f（x）在（，0 x）单调递减，故只需要证21022fxfxfxx构造函数0200222xxxg xfxfxxe
17、eaxax0 xx求导得到00222220 xxxxgxeeaea所以函数g x单调递增，00,0g xg x恒成立，02fxfxx即2022fxfxx，故得到21022fxfxfxx进而得证：10202xxxx，1202xxx.故正确.又因为11222112121222lnlnxxxxeaxea x xxxax xeax根据12022lnxxxa，可得到1212ln001x xx x.不正确.因为102001010,01ln,ln1ffeaxxxx（），（）故122xx不确定.综上正确的只有一个，故答案为D。17（江西省新八校2019 届第二次联考）已知函数22lnmfxmxxx，要使函数0
18、fx恒成立，则正实数m应满足（）A112mmemB112mmemC12mmexmD112mmem【答案】A【解析】由22lnmfxmxxx，得：2222221212222mm xxmxmxmmxxmmfxmxxxxx若20mm，即02m时，则0fx恒成立，即fx在(0,)上单调递增又0 x时，fx，与0fx恒成立矛盾；若20mm，即2m时当20,mxm时，0fx，当2,mxm时，0fxmin22222ln212lnmmmfxfmmmmmm若0fx恒成立，需min0f x，即：21lnmmm12mmem112mmem本题选 A。18（河南省洛阳市2019 届模拟）已知函数()(2)(0)xf x
19、kxex x，若()0f x的解集为(,)s t，且(,)s t中恰有两个整数,则实数k的取值范围为（）A2111,2eeB431112,23eeC21,1eD32121,13ee【答案】D【解析】设()xxg xe，则1()xxgxe当01x时，()0gx，当1x时，()0g x，所以函数()g x在(0,1)为增函数，在(1,)为减函数，()0f x的解集为（s,t)等价于(2)xxkxe的解集为（s,t)，即当且仅当在区间（s,t)上函数()xxg xe的图象在直线2ykx的上方，函数()xxg xe的图象与直线2ykx的位置关系如图所示，由图可知：(1)2(2)22(3)32gkgkg
20、k，解得：3221113kee，故选 D。二、填空题(本大题共4 小题，共16 分)19（天津市南开区2019届模拟）已知函数21 0 xf xaxxef（）（）（），则 0f（）的值为_。【答案】0【解析】21 0 xf xaxxef（）（）（）221xf xaxax e令 x=0，可得0000fe。20（广东省2019 届高三适应性考试）已知函数()(,)xf xaeb a bR在点(0,(0)f处的切线方程为21yx，则ab_【答案】3【解析】由f（x）aex+b，得 f（x）aex，因为函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，所以01 02fabfa解得 a2，b 1
21、ab3。21（天津市南开区2019 届模拟）已知函数12cos2xxfxexe，其中e为自然对数的底数，若22300fafaf，则实数a的取值范围为_.【答案】312a【解析】12cos2xxfxexe12sinxxexe，12sinxxfxexe2sin1xxxefxe，fx是奇函数，且00f，又12cosxxfxeex，2,2c s1o2xxexe，0fx，fx在+，上递增，22300fafaf，化为2233fafafa，232312aaa，故答案为312a.22（安徽省定远中学2019届模拟）已知函数22,4215,4xxxfxx，若存在123,x xxR，且123xxx，123fxfx
22、fx，使得123x x fxf a恒成立，则实数a的取值范围是_。【答案】2log 23,【解析】作出图象，如图所示，设123fxfxfxt，则1,2t，1xt，24xt.令123g tx x fx，则23244g ttttt，所以23883gttttt，所以当1,2t时，0gt，所以g t在1,2上单调递增，所以当1,2t时，38g t，所以8fa，所以由函数fx图象可知2158a，所以2log 23a。三、解答题(本大题共2 小题，共30 分)23（四川省名校联盟2019 届模拟）已知函数22ln24afxaxxax.（）当曲线fx在3x时的切线与直线41yx平行，求曲线fx在1,1f处的
23、切线方程；（）求函数fx的极值，并求当fx有极大值且极大值为正数时，实数a的取值范围.【答案】（）84170 xy；（）2,e.【解析】（）22afxxax，由 323243afa，得3a.当1x时，22391132144f，3 12 13221f，曲线fx在1,1f处的切线方程为9214yx，即84170 xy.（）2122xaxafxxaxx.（1）当0a时，0fx，所以，fx在0,递减，fx无极值.（2）当0a时，由0fx得2ax.随x的变化fx、fx的变化情况如下：x0,2a2a,2afx+0-fx极大值故fx有极大值，无极小值；22ln22224aaaafxaa极大ln2aaa，由l
24、n02afxaa极大，0a，2ae.所以，当fx的极大值为正数时，实数a的取值范围为2,e。24（山东省淄博市部分学校2019 届模拟）已知函数21ln,2fxxx g xmx（1）若函数fx与g x的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；（2）设F xfxg x，已知F x在0,上存在两个极值点12,xx，且12xx，求证：2122x xe（其中e为自然对数的底数）【答案】（1）2me；（2）证明见解析.【解析】（1）函数()f x 与()g x的图像上存在关于原点对称的点，即21()()2gxmx的图像与函数()lnfxxx的图像有交点，即21()ln2mxxx在(0,)上有解.
25、即1ln2xmx在(0,)上有解.设ln()xxx，（0 x），则2ln1()xxx当(0,)xe时，()x为减函数；当(,)xe时，()x为增函数，所以min1()()xee，即2me.（2）21()()()ln2F xf xg xxxmx，()ln1Fxxmx()F x在(0,)上存在两个极值点1x，2x，且12xx，所以1122ln10ln10 xmxxmx因为1212lnln2xxmxx且1212lnlnxxmxx，所以12121212lnln2lnlnxxxxxxxx，即112212112112221 lnlnln2ln1xxxxxxxxxxxxxx设12(0,1)xtx，则12(1)lnlnln21ttxxt要证2122x xe，即证12lnln22xx，只需证(1)ln21ttt，即证2(1)ln01ttt设2(1)()ln1th ttt，22214(1)()0(1)(1)th tttt t，则2(1)()ln1th ttt在(0,1)上单调递增，()(1)0h th，即2(1)()ln01th ttt所以，12lnln2xx即2122x xe。