2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(三)试题(解析版).pdf-淘文阁

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2、】B【解析】【详解】解：11122zii，11122221115111222iiiiziii，整理得1255zi，则复数 z 所对应的点为（1 2,5 5），位于第二象限.故选：B.【点睛】第 2 页共 25 页本题考查复数的除法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3已知O为坐标原点，椭圆2222:1xyCab(0)ab，过右焦点F的直线lx轴，交椭圆C于A，B 两点，且AOB 为直角三角形，则椭圆C的离心率为（）A152B132C12D152【答案】A【解析】因为椭圆2222:1xyCab(0)ab，过右焦点F的直线lx轴，交椭圆C于A，B 两点，且AOB 为直角三角形，根据椭圆通径可得：

3、22|bABa，结合已知，即可求得答案.【详解】椭圆2222:1xyCab(0)ab，过右焦点F的直线lx轴，交椭圆C于A，B 两点，且AOB 为直角三角形根据椭圆通径可得：22|bABa，2bca=，2bac，22acac，210ee，解得152e或152e（舍）.故选：A.【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T的概率是（）第 3 页共 25 页A18B14C12D23【答案】B【解析】设小三角

4、形的边长为1，每个小三角形的面积为34，六个小三角形的面积之和为33 3642，又长方形的宽为3，长为342 32，即可求得答案.【详解】设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为34，六个小三角形的面积之和为33 3642，又长方形的宽为3，长为342 32，长方形的面积为6 3，故此点取自阴影部分T的概率是：3 31246 3.故选：B.【点睛】本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5在ABC中，2 3AB，4AC，D为BC上一点，且3BCBD，2AD，则BC的长为（）A423B422C4D42【答案】D【解析】设BDx，由余弦定理

5、222(2)22 cosACADxADxADC，2222cosABADxAD xADB，即可求得答案.第 4 页共 25 页【详解】设BDx，由余弦定理222(2)22 cosACADxADxADC；即22242(2)22 2 cosxxADC 2222cosABADxAD xADB；即222(2 3)222 cosxxADB，又0coscos 180cosADCADBADB 由可得.423x，342BBDC.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6已知()sin 2cos2f xaxbx的最

6、大值为412f，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍得到的函数解析式为()A4sin23yxB4sin3yxC14sin23yxD4sin43yx【答案】B【解析】根据题意，()f x 的最大值为4 且412f，列式可算出2a，2 3b，利用辅助角公式化简得()2sin 22 3cos24sin 23f xxxx，根据平移伸缩的性质即可得出变换后的解析式.【详解】解：由题可知，()sin 2cos2f xaxbx的最大值为4，第 5 页共 25 页则22()sin(2)f xabx，224ab，且22sincos121212fab，解之得2a，2 3b.故()2sin 22

7、3cos24sin 23f xxxx，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，得到4sin3yx.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的平移伸缩求解析式，涉及三角函数最值和辅助角公式的应用，考查计算能力.7如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A233B223C23D413【答案】B【解析】由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积.【详解】解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为2，高为 1，所以四棱锥的体积为1222133，半球的体积为322133，第 6 页

8、共 25 页故该几何体的体积为223.故选：B.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.8函数22xfxxx e的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可.【详解】易知fx定义域为R，2222xxfxxxexx efx，fx为偶函数，关于y轴对称，排除 C，又21112fee，排除 A 和 D.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.9已知0ab，1ab，设2abx，2log()yab，1zab，则log2xx，log 2yy，log 2zz的大小关系为（）第

9、 7 页共 25 页Alog 2log2log 2xyzxyzBlog2log 2log 2yzxyzxClog 2log 2log 2xzyxzyDlog2log 2log 2yxzyxz【答案】B【解析】由已知0ab，1ab，可得1=ab，且 a1b0，不难判断x，y，z的大小关系01xyz，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】ab0，1ab，可得1=ab，且 a1b0，11222aabxa，222log()log 2log 21yabab，122zaaaab，又22log(1)zyaabfaa，120faab，fa单调递增，212log(1)0fafb，zy0，01x

10、yz，log 2=log 21xxx，log 2log 21yyy，log 2=log 2+1zzz，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2xzy，log 2log 2log 2yzxyzx故选 B【点睛】本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.10执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()第 8 页共 25 页A31B 39C47D60【答案】D【解析】根据循环程序框图，循环计算到11n时，输出T，即可得出答案.【详解】解：根据题意，0T，1n；8T，2n；84T，3n；844T，4n；8448T，5n；84480T，6n；8448+0

11、12T，7n；84480124T，8n；8448012416T，9n；84480124168T，10n；8448012416820T，11n，故输出的结果为844801241682060T.故选：D.【点睛】本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.11已知三棱柱111ABCA B C内接于一个半径为3的球，四边形11A ACC与11B BCC均为正方形，,M N分别是11A B，11AC的中点，11112C MA B，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）第 9 页共 25 页A310B3010C710D7010【答案】B【解析】画出图形，找出BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形

12、求出BM 与 AN 所成角的余弦值【详解】直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点，如图：BC 的中点为 O，连结 ON，MN12B1C1=OB，则 MNOB 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是ANO，,M N分别是11A B，11AC的中点，11112C MA B，可得 A1C1B1C1，四边形11A ACC与11B BCC均为正方形，可得BC=CA=CC1，三棱柱111ABCA B C内接于一个半径为3的球，设 BC=CA=CC1=a,三棱柱111ABCA B C外接球可看作棱长为a 的正方体外接球，2222 3aaa，解得 a=2，BC

13、=CA=CC1=2,CO=1,AO=5,AN=5,222211226NOMBB MBB，在 ANO 中,由余弦定理可得：222630210256ANNOAOcos ANOAN NO,故选：B.【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外第 10 页共 25 页接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题.12已知函数22e1,0,()22,0,xxf xxxx若|()|f xmx恒成立，则实数m的取值范围为（）A22 2,2B222,1C22 2,eD22 e,e【答案】A【解析】作出函数|()|fx的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时m

14、的临界值，结合图像即可得到答案.【详解】作出函数|()|f x的图象如图所示；当0 x时；令222xxmx，即2(2)20 xm x，令0，即2(2)80m，解得222m，结合图象可知，22 2m；当0 x时，令2e1xmx，则此时2()e1xf x，()h xmx相切，设切点020,1xx e，则00202e1,2e,xxmxm解得2m，观察可知，实数m的取值范围为22 2,2.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析.第 11 页共 25 页二、填空

15、题13已知向量(2,1)a，(,1)bm，且(2)bab，则a b_.【答案】1 或 5【解析】由(2,1)a，(,1)bm，求得2(4,3)abm，利用向量垂直的坐标运算，即可求出m，再结合向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】解：根据题意，2(4,3)abm，(2)bab，(4)30mm，解得：1m或3m，所以1a b或 5.故答案为：1 或 5.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量的数量积，考查计算能力.14若3sincos63，则2cos23_.【答案】79【解析】由3sincos63，展开化简可得1sin33，结合已知，即可求得答案.【详解】由3sinc

16、os63，展开化简可得3coscossincos66s3in整理可得：1sin33，22217cos212sin123339.第 12 页共 25 页故答案为：79.【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15已知圆22:20(0)Mxyaya与直线0 xy相交所得圆的弦长是2 2，若过点(3,0)A作圆M的切线，则切线长为_.【答案】3【解析】根据题意，得出圆222:()(0)Mxyaaa的圆心为(0,)a，利用点到直线的距离公式，求出圆心(0,)a到直线0 xy的距离2ad，再结合弦长公式求得2a，即可求出

17、切线长22AMr.【详解】解：由题知，圆222:()(0)M xyaaa，圆心为(0,)a，半径ra，圆心(0,)a到直线0 xy的距离2ad，所以2222 22aa，解得：2a.故圆M的方程为22(2)4xy.过点(3,0)A作圆M的切线，所以切线长为：2222(30)(02)43AMr.故答案为：3.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆心和半径、点到直线距离和切线长等知识，考查解题能力.16某饮料厂生产A，B 两种饮料.生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶 B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过 B 饮料产量的2倍，每天生产两

18、种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B 饮料n桶时*,m nN利润最大，则第 13 页共 25 页mn_.【答案】7【解析】设每天A，B 两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有0,0231001007500 xyxyxyyx，画出可行域，结合已知，即可求得答案.【详解】设每天A，B 两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有0,0231001007500 xyxyxyyx则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设 B 饮料每桶利润为1，则目标函数为1.5zxy，则1.5

19、yxz，z 表示直线在y轴上的截距，x，y只取整数，当直线1.5yxz经过点4,3即4m，3n时，z 取得最大值，故7mn.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解三、解答题17 已知正项等比数列na满足12a，23732a a，数列nb的前n项和2nSnn.（）求数列na与nb的通项公式；第 14 页共 25 页（）设,nnnancbn为奇数为偶数求数列nc的前n项和nT.【答案】（）2nna，22nbn；（）222122

20、(1),3222,23nnnnnTnn为奇数为偶数.【解析】（1）利用等比数列的性质和通项公式，求出2q=，即可得出数列na的通项公式；利用nS和nb的关系，求出nb的通项公式；（2）根据题意可知，数列nc的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4，数列nc的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，利用等比数列和等差数列的前n项和公式，即可求出nT.【详解】（）根据题意，12a，22532a，12a，532a，故2q=，所以2nna，因为2nSnn，221(1)(1)22(2)nnnbSSnnnnnn，又110bS，所以22nbn.（）根据题意，数列nc的奇数项构成一个等比数列，首项为2

21、，公比为 4，数列nc的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，所以当n为偶数时，2212 14(222)22214223nnnnnnT，当n为奇数时，1222112 14(224)22(1)2214232nnnnnnnnnTTc，第 15 页共 25 页故222122(1),3222,23nnnnnTnn为奇数为偶数【点睛】本题考查等比数列的通项公式和递推关系求通项公式，以及等比数列和等差数列的前n项和公式，考查计算能力.182019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到

22、如图所示的两个频率分布直方图.（1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（2）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”.（i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由；（ii）完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据：22()()()()()n adbcKab cd ac bd2P Kk0.050.0100.001k3.8416.63510.828第 16 页共 25 页【答案】（1）女性观众评分的中位数为75，男性观众评分的平均数为73.5（2）（i）男性观众

23、不满意的概率大，详见解析（ii）填表见解析；有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关【解析】（1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案；（2）记AC表示事件：“女性观众不满意”；BC表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得AP C和BP C，即可比较男观众与女观众不满意的概率大小.完成下列22列联表,计算出2K，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为x，100.01 10 0.02(70)0.040.5x，75x.男性观众评分的平均数为550.15650.25750.3850.2950.173.5.（2）（i）男性观众不满意的概率大，记

24、AC表示事件：“女性观众不满意”；BC表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得AP C的估计值为(0.01 0.02)100.3，BP C的估计值为(0.0150.025)100.4，所以男性观众不满意的概率大.（ii）列联表如下图：女性观众男性观众合计“满意”140180320“不满意”60120180合计200300500所以22500(140 12018060)5.2083.841200300320 180K故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.第 17 页共 25 页【点睛】本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方图基础知识和

25、卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.19如图，在三棱锥ABCD中，ABD是等边三角形，平面ABD平面BCD，BCCD，2BCCD，E为三棱锥ABCD外一点，且CDE为等边三角形.（1）证明：ACBD；（2）若 AE 平面CDE，求点E到平面BCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）63 37【解析】（1）要证ACBD，只需证BD平面AOC，即可求得答案；（2）因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面CBDCD，所以AO平面BCD，且2BD，3AO，取CD的中点F，连接 OF，EF，同理可证CD平面EOF，CD平面AOF，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）取BD的中点O，连

26、接OC，OA，ABD是等边三角形，AOBD，又BCCD，COBD，COAOO，第 18 页共 25 页BD平面AOC，AC平面AOC，故ACBD.（2）平面ABD平面BCD，平面ABD平面CBDCD，AO平面BCD，且2BD，3AO，取CD的中点F，连接 OF，EF，同理可证CD平面EOF，CD平面AOF，A，O，F，E共面，平面BCD平面OFE，作EH垂直 OF 于点H，则EH平面BCD，故点E到平面BCD的距离即为EH，又AE 平面CDE，所以 AEEF，AEEC，22OF，62EF，142AF，2AE.由sinsin()EFOAFOAFEsincoscossinAFOAFEAFOAFE

27、623 263 3277EH.【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20已知抛物线2:2(0)Cypx p的焦点为F，圆22:3Oxy与抛物线C相交于,M N两点，且|2 2MN.（）若,A B E为抛物线C上三点，若F为ABC的重心，求FAFBFE的值；（）抛物线C上存在关于直线:20lxy对称的相异两点P 和Q，求圆O上一点G到线段PQ的中点 H 的最大距离.【答案】（）3；（）23.第 19 页共 25 页【解析】（）根据题意，求出,M N的坐标，得出抛物线22yx

28、，由焦点1,02F，F为ABC的重心，设点11,A x y，22,B xy，33,E xy，得出12332FAFBFExxx，即可得出结果；（）设点11,P x y，22,Q xy，利用点差法，求得122PQkyy，根据条件，得出122yy，得出线段PQ的中点 H 坐标为(1,1)，即可得出G到线段PQ的中点H 的最大距离.【详解】（）因为,M N关于x轴对称，所以,M N的纵坐标为2，横坐标为1，代入22(0)ypx p，可得22yx，依题意，设点11,A x y，22,B xy，33,E xy，又焦点1,02F，所以12313322xxx，则123111222FAFBFExxx.12333

29、33222xxx（）设点11,P x y，22,Q xy，则2112222,2,yxyx则1212122yyyyxx，122PQkyy，又,P Q关于直线l对称，1PQk，即122yy，1212yy，又PQ的中点一定在直线l上，第 20 页共 25 页12122122xxyy，线段PQ的中点 H 坐标为(1,1)，故22(1)(1)323GH从而G到 H 的最大距离为23.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，涉及点差法求直线的斜率、点对称的性质、中点坐标公式等知识点，考查转化思想和解题能力.21已知函数()lnf xxx.（I）当12x时，比较ln xx，2ln xx，22ln xx的大小；（

30、）当102m时，若方程2()21f xmxmxm在(0,)上有且只有一个解，求m的值.【答案】（I）222lnlnlnxxxxxx；（）12.【解析】（I）由题可知，函数()f x 的定义域为(0,)，11()1xfxxx，利用导函数得出()f x 的单调性，得出()ln(1)10f xxxf，则有ln10 xx，再利用作差法，即可比较ln xx，2ln xx，22ln xx的大小；（）由题知，设2()ln(21)g xmxxxmxm，则()g x在(0,)上有且只有一个零点，而(1)0g，故函数()g x有零点1x，由(21)(1)()mxxgxx，再利用导函数研究()g x的单调性和极值，

31、即可求出m的值.【详解】（）函数()f x 的定义域为(0,)，11()1xfxxx，令11()10 xfxxx，得1x，第 21 页共 25 页令11()10 xfxxx，得01x，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，函数()f x 的单调递增区间为(1,).所以()ln(1)10f xxxf，所以ln0 xx，即ln10 xx，所以2lnlnxxxx；又因为222lnln2lnln0 xxxxxxxx，所以222lnlnlnxxxxxx；（）设2()ln(21)g xmxxxmxm，则()g x在(0,)上有且只有一个零点，又(1)0g，故函数()g x有零点1x，212(2

32、1)1(21)(1)()212mxmxmxxg xmxmxxx，当12m时，()0g x，又()g x不是常数函数，故()g x在(0,)上单调递增，函数()g x有且只有一个零点1x，满足题意当102m时，由()0g x，得12xm或1x，且112m，由()0g x，得01x或12xm，由()0g x，得112xm，故当x在(0,)上变化时，()g x，()g x的变化情况如下表：x(0,1)111,2m12m1,2m()g x+0-0+第 22 页共 25 页()g x极大值极小值根据上表知012gm，又1()2ln1g xmx xmxm，120gm，故在1,2m上，函数()g x又有一

33、个零点，不满足题意，综上所述，12m.【点睛】本题考查利用导函数比较大小以及根据方程解得个数求参数，还涉及利用导数研究函数的单调性、极值，考查转化能力、综合分析能力和计算能力.22在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为212212xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,A B C的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662，且ABC的顶点都在圆2C上，将圆2C向右平移3 个单位长度后，得到曲线3C.（1）求曲线3C的直角坐标方程；（2）设1,1M，曲线1C与3C相交于,P Q两点，求MPMQ的值.【答案】（1）22(3)16xy（2）11【

34、解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；（2）由（1）联立曲线1C与3C，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果【详解】（1）由cos,sinxy可得点A的直角坐标系为(23,2)A，第 23 页共 25 页点 B 的直角坐标系为(2 3,2)B，点C的直角坐标系为(0,4)C.设圆2C的直角坐标系方程为222()xymr，代入,A C可得222212(2)(4)mrmr，0,4mr.圆2C的直角坐标方程为2216xy.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16xy.（2）由（1）联立曲线1C，3C 可得2222(13)(1)1622tt，整理

35、可得，23 2110tt，121 23 2,11ttt t，121 2|11MPMQttt t.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题23已知函数()|31|2|f xxx.（1）求不等式()3fx的解集；（2）若1,1mn，对xR，不等式2253loglog()mnf x恒成立，求mn的最小值.【答案】（1）|0 x x或1x.（2）4【解析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22loglog1mn，利用基本不等式2222loglog2 loglog2mnm

36、n，从而求得mn 的最小值【详解】第 24 页共 25 页（1）原不等式可化为|31|2|3xx，当13x时，原不等式可化为3123xx，解得0 x，0 x；当123x时，原不等式可化为3123xx，解得1x，12x；当2x时，原不等式可化为3123xx，解得32x，2x；综上，不等式的解集为|0 x x或1x.（2）143,31()21,2343,2xxf xxxxx，min15()()33f xf.由2253loglog()mnfx恒成立可知，不等式22loglog1mn恒成立.2222loglog2 loglog2mnmn，2log()2m n，4m n，当且仅当2mn时等号成立.故mn的最小值4.【点睛】本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法第 25 页共 25 页脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.

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