《2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(三)数学(理)试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(三)数学(理)试题(解析版).pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 25 页2020 届百校高考百日冲刺金卷全国卷数学（理）试题一、单选题1 已知集合|6MxN x，2,1,0,1,2A，2,By yxxA，则MBe（）A2,5,6B2,3,6C2,3,5,6D0,2,3,5,6【答案】C【解析】化简集合B，根据补集定义，即可求得答案.【详解】2,1,0,1,2A2|,0,1,4By yxxA，|0,1,2,63,4,5,6MxNx2,3,5,6MBe.故选：C.【点睛】本题主要考查了补集运算，解题关键是掌握集合补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2已知i是虚数单位，(2)5(1)zii，则复数z的共轭复数为（）A13iB1 3iC
2、13iD13i【答案】B【解析】化简(2)5(1)zii，求得 z，根据复数的共轭复数定义，即可求得答案.【详解】5(1)5(1)(2)1325iiizii13zi.故选：B.【点睛】本题主要考查了求复数的共轭复数和复数除法运算，解题关键是掌握共轭复数定义和复数除法运算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.第 2 页 共 25 页3在ABC中，2 3AB，4AC，D为BC上一点，且3BCBD，2AD，则BC的长为（）A423B422C4D42【答案】D【解析】设BDx，由余弦定理222(2)22 cosACADxADxADC，2222cosABADxAD xADB，即可求得答案.【详解】设B
3、Dx，由余弦定理222(2)22 cosACADxADxADC；即22242(2)22 2 cosxxADC 2222cosABADxAD xADB；即222(2 3)222 cosxxADB，又0coscos 180cosADCADBADB 由可得.423x，342BBDC.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”已知如图所示的多边形镶嵌的图形T，在T内随机取一点，则此
4、点取自正方形的概率是（）第 3 页 共 25 页A23B4 374 3C7743D12【答案】B【解析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为1，每个小三角形的面积为34，7个小三角形的面积之和为37 3744，又因长方形的长为1，所以3个正方形的面积为3，所以此点取自正方形的概率是34 37 374 334故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A24 33B21233C44 33D412 33【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为
5、2，高为3的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，即可求得答案.【详解】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为3的第 4 页 共 25 页正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，该几何体的体积为：322124 3123333V.故选：A.【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体体积问题，解题关键是掌握三视图的基础知识和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6已知O为坐标原点，双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AFx轴，0BO BA，四边形OAFB为梯形，则双曲线C离心率的取值范围是（）A2
6、 31,3B2 3,3C1,2 3D2 3,【答案】A【解析】求出A的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可.【详解】解：设,0F c，所以22cab，直线OB的方程为byxa，直线BF的方程为()byxca，解得,22cbcBa，,2 2c bcBOa，又直线OA的方程为byxa，则,bcA ca，3,2 2cbcBAa，又因为0BO BA，所以22223044cb ca，2213ba，243e，2 313e.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题.第 5 页 共 25 页7函数22xfxxx e的图象大致为()ABCD【答案】B【解
7、析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可.【详解】易知fx定义域为R，2222xxfxxxexx efx，fx为偶函数，关于y轴对称，排除 C，又21112fee，排除 A 和 D.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.8如图给出的是计算1111124640384040的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）第 6 页 共 25 页A4034?iB4036?iC4038?iD4042?i【答案】C【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出1111124640384040的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案
8、.【详解】该程序的功能是利用循环结构计算并输出1111124640384040的值，模拟程序的运行过程，可得2i，1124T，6i，11112468T，10i，11111124681012T，14i，11111111246810121416T，4038i，111111112468101240384040T.故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9已知大于1的实数x，y满足log(2)log(3)xyxy，则下列结论正确的是（）A221111xyB22ln1ln1xy第 7 页 共 25 页CtantanxyD33xy【答案】B【解析】因为21l
9、og(2)1log 21logxxxx，31log(3)1log 31logyyyy，因为log(2)log(3)xyxy，所以231111loglogxy，逐项判断，即可求得答案.【详解】21log(2)1log21logxxxx，31log(3)1log 31logyyyy，log(2)log(3)xyxy，231111loglogxy，23loglogxy，1xy，对于 A，1xy221111xy，故 A 错误；对于 B，1xy22111xy根据lnyx在定义域内是单调增函数，可得22ln1ln1xy，故 B 正确；对于 C，tan x，tan y大小不确定，故C 错误；对于 D，根据1
10、xy，可得33xy，故 D 错误.故选：B.【点睛】本题解题关键是掌握对数函数的基础知识和不等式基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.第 8 页 共 25 页10已知抛物线2:2C ypx(0)p的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线:20lxy对称的不同两点P 和Q，则线段PQ的中点坐标为（）A1,1B2,0C13,22D1,1【答案】A【解析】求得曲线2:2Cyx，设点11,P x y，22,Q xy，代入曲线方程，求出122PQkyy，又由P，Q关于直线l对称得出1PQk，进而求出线段PQ的中点坐标.【详解】解：因为焦点到准线的距离为p，则1p，所以22yx设点11,
11、P xy，22,Q xy则21122222yxyx，则1212122yyyyxx，122PQkyy，又P，Q关于直线l对称1PQk，即122yy，1212yy，又PQ的中点一定在直线l上，12122122xxyy线段PQ的中点坐标为1,1故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.11已知三棱柱111ABCA B C，四边形11A ACC与11B BCC均为边长为2的正方形，M，N分别是11C B，1CC 的中点，0CA CB，则BM与AN所成角的余弦值为（）A15B25C45D215第 9 页 共 25 页【答案】B【解析】根据0CA CB，可知ACBC，取BC中点D，连接
12、1C D，再取CD的中点E，连接EN，则1/ENC D，同理可证1/BMC D，所以ANE为异面直线BM与AN所成的角（或其补角），即可求得答案.【详解】0CA CB，ACBC，取BC中点D，连接1C D，再取CD的中点E，连接EN，则1/ENC D，同理可证1/BMC D，ANE为异面直线BM与AN所成的角（或其补角）.又1CN，根据勾股定理，5AN，52EN，172AE，在AEN中，由余弦定理得2222cos25ANENAEANEAN EN，故异面直线BM与AN所成角的余弦值为25.故选：B.【点睛】本题主要考查了求异面直线夹角余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理公式，考查了分
13、析能力和计算能力，属于中档题.12设函数sincosfxaxbx0在区间,62上单调，且2236fff，当12x时，fx取到最大值4，若将函数fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g x的图象，则函数3yg xx零点的个数为（）A4B5C6D 7【答案】D第 10 页 共 25 页【解析】由已知可得22sinfxabx，由2236fff得出对称中心及对称轴，得出T，再得出fx的解析式，再有变换得出g x，再分别画出g x与3yx图象，得出结论.【详解】解：设22sinfxabx0，1 22622T，即03，又2236fff，2723212x为22sinfxabx的一条对称轴，且262
14、3，则,03为22sinfxabx的一个对称中心，由于03，所以712x与,03为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则74123T，2又224ab，且22sincos121212fab，解之得2a，2 3b故2sin 22 3 cos24sin23fxxxx，由图象变换可得，4sin3g xx因为4sin3g xx在,03处的切线斜率为4cos4333g，3yx在,03处切线斜率不存在，即切线第 11 页 共 25 页方程为3x所以3x右侧g x图象较缓,如图所示，同时43x时，163x，所以3yg xx的零点有 7个故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的
15、图象的交点，属于难题.二、填空题13已知向量(2,1)a，(2,1)b，则(2)bab_.【答案】1【解析】根据向量数量积坐标公式，即可求得答案.【详解】(2,1)a，(2,1)b，可得2(2,3)ab，(2)431bab.故答案为：1.【点睛】第 12 页 共 25 页本题主要考查了求向量的数量积，解题关键是掌握向量数量积坐标公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14已知函数()ln()f xax在0,0f处的切线方程为yx，则满足021fx的x的取值范围为_.【答案】2,1e【解析】因为1()fxax，可得1(0)1fa，即1a，所以()ln(1)f xx，fx是(1,)上的增函数，
16、结合已知，即可求得答案.【详解】1()fxax，1(0)1fa，1a=，()ln(1)f xx，fx是(1,)上的增函数，又00f，(1)ln(1 1)1f ee，021xe，21xe.即2,1e故答案为：2,1e【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15若3sincos63，则2cos23_.【答案】79【解析】由3sincos63，展开化简可得1sin33，结合已知，即可求得答案.【详解】由3sincos63，第 13 页 共 25 页展开化简可得3coscossincos6
17、6s3in整理可得：1sin33，22217cos212sin123339.故答案为：79.【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.16某饮料厂生产A，B 两种饮料.生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶 B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过 B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B 饮料n桶时*,m
18、nN利润最大，则mn_.【答案】7【解析】设每天A，B 两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有0,0231001007500 xyxyxyyx，画出可行域，结合已知，即可求得答案.【详解】设每天A，B 两种饮料的生产数量分别为x桶，y桶，则有0,0231001007500 xyxyxyyx则其表示的可行域如图中阴影部分所示，第 14 页 共 25 页设 B 饮料每桶利润为1，则目标函数为1.5zxy，则1.5yxz，z 表示直线在y轴上的截距，x，y只取整数，当直线1.5yxz经过点4,3即4m，3n时，z 取得最大值，故7mn.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所
19、给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解三、解答题17已知正项等比数列na满足12a，23732a a，数列nb的前n项和为2nSnn，1求na与nb的通项公式；2设n为奇数时，nnca，n为偶数时，nncb，求数列nc的前2n项和2 nT【答案】12nna，22nbn；221222223nnTn.【解析】1根据题意，12a，22532a，得出2q=，所以2nna，由2nSnn，22nbn，2n，求出22nbn；2根据题意，数列nc的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4，数列nc的
20、偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，列出前2n项和2nT的式子.【详解】解：1根据题意，12a，22532a，12a，532a，2q，所以2nna，因为2nSnn，221(1)(1)22nnnbSSnnnnn2n，又110bS，所以22nbn2根据题意，数列nc的奇数项构成一个等比数列，首项为2，公比为4；第 15 页 共 25 页数列nc的偶数项构成一个等差数列，首项为2，公差为4，所以21222 14(242)2221423nnnnnTn；故21222223nnTn【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，以及分组求和法来求和，考查了转化思想，方程思想，逻辑推理能力和数学计
21、算能力，属于中档题.18已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1包裹重量kg0,11,22,33,44,5包裹数402520105损坏件数13230表2包裹重量kg0,11,22,33,44,5出厂价（元/件）2025304050卖价（元/件）606570901101估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家
22、承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家 现该厂准备给客户邮寄重量在区间2,3和3,4内的工艺品各1件，求该厂家这第 16 页 共 25 页两件工艺品获得利润的分布列和期望【答案】115.75元；2见解析，24.5.【解析】1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值；2重量在2,3的产品数为20，其损坏率为20.120，重量在3,4的产品数为10，其损坏率为30.310，设重量在2,3的这件产品的利润记为X，重量在3,4的这件产品的利润记为Y，45XY，2，9，52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获
23、得利润的分布列和期望【详解】解：1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x，40 1025152020102553015.75100 x（元）2重量在2,3的产品数为20，其损坏率为20.120重量在3,4的产品数为10，其损坏率为30.310，设重量在2,3的这件产品的利润记为X，则170302020X，23020300.923X，设重量在3,4的这件产品的利润记为Y，则190402525Y，24025400.929Y，所以45XY，2，9，52，则450.90.70.63P XY，90.90.30.27P XY，520.10.30.03P XY，所以其分布列为：利润452952P
24、0.630.070.270.03根据题意，450.6320.079 0.27520.0324.5EXY【点睛】第 17 页 共 25 页本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19 如图，在三棱锥ABCD中，ABD是等边三角形，BCCD，2BCCD，E为三棱锥ABCD外一点，且CDE为等边三角形1证明：ACBD；2若平面ABD平面BCD，平面 ABD 与平面 ECD 所成锐二面角的余弦值为33，求 BE 的长【答案】1证明见解析；26BE.【解析】1取BD的中点O，连接OC，OA，证明BD平面AOC，可得到结论；2以O为原点，OC为x轴，OD 为y轴，OA为 z 轴
25、建立空间直角坐标系，求出平面 ECD 和平面 ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.【详解】解：1取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD是等边三角形，所以AOBD，又因为BCCD，所以COBD，因为COAOO，所以BD平面AOC，因为AC平面AOC，故ACBD2因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面CBDBD，所以AO平面BCD，且2BD，3AO，故以O为原点，OC为x轴，OD 为y轴，OA为 z 轴建立空间直角坐标系，第 18 页 共 25 页取CD的中点F，连接 OF，EF，同理可证CD平面EOF，22OF，62EF，设EFO，则0,0,0O，1,0,0C，0,
26、1,0D，0 03A,，0,1,0B31316cos,cos,sin22222E所以1,1,0CD，31316cos,cos,sin22222CE，设平面 ECD 的一个法向量为,nx y z，则00CD nCE n，031316coscossin022222xyxyz，令1x，则cos1,1,2sinn因为平面ABD 的一个法向量为1,0,0OC，所以2213cos,3cos22sinOC n，22cos1sin2所以3cos3，sin63，所以1,1,1E或0,0,1E因为E为三棱锥ABCD外一点，所以1,1,1E，所以6BE第 19 页 共 25 页【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判
27、定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1xyEab0ab的四个顶点围成的四边形面积为2 2，圆22:1Oxy经过椭圆E的短轴端点1求椭圆E的方程；2过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于A，C和 B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值【答案】12212xy；2169.【解析】1根据题意求出2ab=，因为圆22:1O xy经过椭圆E的两个短轴端点，则1b，所以2a，列出椭圆E的方程；2对直线AC的斜率情况讨论，当斜率不存在或为0 时，S四边形ABCD2，当直线AC的斜率存在时，222 21|21kACk，222 2
28、12kBDk，利用二次函数的性质求出四边形ABCD面积的最小值.【详解】解：1根据题意，四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为12222 22abab，2ab，因为圆22:1O xy经过椭圆E的两个短轴端点，则1b，第 20 页 共 25 页所以2a，1b，故椭圆E的方程为2212xy2当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为1yk x0k，由22112yk xxy消去y得，2222214220kxk xk2122412kxxk，21222212kxxk222 21|21kACk同理得，222 212kBDk令21kt，则24161192Stt当直线AC的斜率不存在时，2AC，2 2B
29、D122SACBD当直线AC的斜率为零时，2 2AC，2BD，122SACBD.1629，四边形ABCD面积的最小值为169【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21已知函数()ln()xaf xaxx(0)a的最小值为0.（1）求fx的解析式；（2）若函数1()()2g xf xmx有两个零点1x，2x，且12xx，求证：121xx.【答案】（1）1()ln1f xxx（2）证明见解析【解析】（1）因为()ln()xaf xaxx定义域为0,，从而2()xafxx，令0fx，由于0a，则xa；故当xa时，0fx，fx单调递增，当第 21 页 共 25 页0 xa时
30、，0fx，fx单调递减，即可求得答案；（2）根据题意，1()ln12g xxmx(0)x，因为1x，2x是函数1()ln12g xxmx的两个零点，所以111ln102xmx，221ln102xmx，即可求得答案.【详解】（1）()ln()xaf xaxx，定义域为0,，从而2()xafxx，令0fx，由于0a，则xa；故当xa时，0fx，fx单调递增，当0 xa时，0fx，fx单调递减，故min()()2lnf xf aa，2ln0a，故1a，11()lnln1xf xxxxx.（2）1()()2g xf xmx1()ln12g xxmx(0)x，1x，2x是函数1()ln12g xxmx的
31、两个零点，111ln102xmx，221ln102xmx两式相减，可得122111ln22xxxx即11221 2ln2xxxxx x，故1212122lnxxx xxx.第 22 页 共 25 页1211212lnxxxxx，2121212lnxxxxx.令12xtx，其中01t，则1211112ln2ln2lnttttxxttt，构造函数1()2lnh tttt，则22(1)()th tt.对于01t，0h t恒成立，故10h th，即12ln0ttt.可知112lnttt，121xx.【点睛】本题主要考查了根据最值求函数表达式和根据导数证明不等式，解题关键是掌握导数求最值的方法和根据导数
32、证不等式恒成立的证法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为212212xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,A B C的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662，且ABC的顶点都在圆2C上，将圆2C向右平移3 个单位长度后，得到曲线3C.（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设1,1M，曲线1C与3C 相交于,P Q两点，求MPMQ的值.【答案】（1）22(3)16xy（2）11【解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；第 23 页 共 25 页（2）
33、由（1）联立曲线1C与3C，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果【详解】（1）由cos,sinxy可得点A的直角坐标系为(23,2)A，点 B 的直角坐标系为(2 3,2)B，点C的直角坐标系为(0,4)C.设圆2C的直角坐标系方程为222()xymr，代入,A C可得222212(2)(4)mrmr，0,4mr.圆2C的直角坐标方程为2216xy.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16xy.（2）由（1）联立曲线1C，3C 可得2222(13)(1)1622tt，整理可得，23 2110tt，121 23 2,11ttt t，121 2|11MPMQttt t.【点睛】本题主要考
34、查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题23已知函数()|31|2|f xxx.（1）求不等式()3fx的解集；（2）若1,1mn，对xR，不等式2253loglog()mnf x恒成立，求mn的最小值.【答案】（1）|0 x x或1x.（2）4【解析】（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；第 24 页 共 25 页（2）由题意可得22loglog1mn，利用基本不等式2222loglog2 loglog2mnmn，从而求得mn 的最小值【详解】（1）原不等式可化为|31|2|3xx，当13x时，原
35、不等式可化为3123xx，解得0 x，0 x；当123x时，原不等式可化为3123xx，解得1x，12x；当2x时，原不等式可化为3123xx，解得32x，2x；综上，不等式的解集为|0 x x或1x.（2）143,31()21,2343,2xxf xxxxx，min15()()33f xf.由2253loglog()mnfx恒成立可知，不等式22loglog1mn恒成立.2222loglog2 loglog2mnmn，2log()2m n，第 25 页 共 25 页4m n，当且仅当2mn时等号成立.故mn的最小值4.【点睛】本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.