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1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a(0，3)，b(0，6)；(2)a(2，3)，b(4，6)；(3)a(1，4)，b(3，12)；(4)a(12，1)，b(12，1).思考 1 上面几组向量中，a，b有什么关系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b 3a，(4)中ba.思考 2 以上几组向量中，a，b共线吗？答案共线.思考 3 当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0 时成正比例.思考 4 如果两个非零向量共线，你能
2、通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案能.将b写成a形式，0时，b与a同向，0 时，b与a反向.梳理(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10 时，向量a，b(b0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20 或x1x2y1y2 0 都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一向量共线的判定与证明例 1(1)下列各组向量中，共线的是()A.a(2，3)，b(4，6)B.a(2，3)，b(3，2)C.a(1，2)，b
3、(7，14)D.a(3，2)，b(6，4)答案D 解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，2233 4950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)26 12120，ab，故选 D.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解AB(0，4)(2，1)(2，3)，CD(5，3)(1，3)(4，6).方法一(2)(6)34 0 且(2)40，AB与CD共线且方向相反.方法二CD 2AB，AB与CD共线且方向相反.反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐
4、标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练 1 已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，AE13AC，BF13BC，求证：EFAB.证明设E(x1，y1)，F(x2，y2).AC(2，2)，BC(2，3)，AB(4，1)，AE13AC(23，23)，BF13BC(23，1).(x1，y1)(1，0)(23，23)，(x2，y2)(3，1)(23，1)，(x1，y1)(13，23)，(x2，y2)(73，0).EF(x2，y2)(x1，y1)(83，23).4(23)(1)830，EFAB.类型二利用向量共线求参数例 2 已
5、知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？解方法一kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b).由(k3，2k 2)(10，4).得k310，2k2 4，解得k13.方法二由方法一知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，kab与a 3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k13.引申探究1.若例 2 条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由例 2 知当k13时，kab与a3b平行，这时kab13ab13(a3b)，130，kab与a 3b反
6、向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与 3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1，2)k(3，2)(1 3k，2 2k)，3ab3(1，2)(3，2)(6，4)，akb与 3ab平行，(1 3k)4(2 2k)6 0，解得k13.反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y1 0 求解.跟踪训练 2 设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2 解析ab(1，2)(2，3)(2，23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20
7、，2.类型三三点共线问题例 3 已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？解ABOBOA(4 k，7)，ACOCOA(10 k，k12)，若A，B，C三点共线，则ABAC，(4k)(k12)7(10k)，解得k 2 或 11，又AB，AC有公共点A，当k 2 或 11 时，A，B，C三点共线.反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量
8、共线.跟踪训练3 已知A(1，3)，B8，12，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.证明AB 81，123 7，72，AC(9 1，13)(8，4)，74728 0，ABAC，且AB，AC有公共点A，A，B，C三点共线.1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A.1 B.1 C.4 D.4 答案D 解析ab，(1)y22 0，y 4.2.与a(12，5)平行的单位向量为()A.1213，513B.1213，513C.1213，513或 1213，513D.1213，513答案C 解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则x2y21，12y 5x0，x1213，y513或x
9、1213，y513.3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为 _.答案6 解析AB(2，4)(1，2)(1，2).AC(3，m)(1，2)(2，m 2).A，B，C三点共线，即向量AB，AC共线，存在实数使得ABAC，即(1，2)(2，m2)(2，m 2).2 1，m 22?12，m6.即m6 时，A，B，C三点共线.4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.证明A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5).AB(2，3)，CD(4，6).CD 2AB，即|AB|1
10、2|CD|，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且|AM|3|MB|，求点M的坐标.解设点M的坐标为(x，y).由|AM|3|MB|，得AM3 MB或AM 3MB.由题意，得AM(x3，y5)，MB(6 x，9y).当AM3 MB时，(x3，y5)3(6 x，9y)，x33 6x，y53 9y，解得x214，y8.当AM 3MB时，(x3，y5)3(6 x，9y)，x3 3 6x，y5 3 9y，解得x152，y11.故点M的坐标是214，8 或152，11.1.两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(
11、1)当b0，ab.(2)x1y2x2y1 0.(3)当x2y20 时，x1x2y1y2，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业一、选择题1.设kR，下列向量中，与向量a(1，1)一定不平行的向量是()A.b(k，k)B.c(k，k)C.d(k21，k21)D.e(k21，k21)
12、答案C 解析由向量共线的判定条件知，当k0 时，向量b，c与a平行；当k1 时，向量e与a平行.对任意kR，1(k21)1(k21)0，a与d不平行，故选C.2.已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A.(4，8)B.(8，4)C.(4，8)D.(4，8)答案D 3.已知三点A(1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标是()A.(1，0)B.(1，0)C.(1，1)D.(1，1)答案C 4.已知向量a(2，3)，b(1，2)，若(m anb)(a2b)，则mn等于()A.2 B.2 C.12 D.12答案C 解析由题意得m anb(2mn，3
13、m2n)，a2b(4，1)，(m anb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，mn12，故选 C.5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(12，34)答案B 解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，31056 0，e1e2，故不可以作为基底；D选项，2(34)(3)120，e1e2，不可以作为基底.故选 B.6.已知e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，当ab时
14、，实数等于()A.1 B.0 C.12 D.2 答案D 解析e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，a2(1，0)(0，1)(2，1)，b(1，0)(0，1)(，1).又ab，2(1)10，解得 2.故选 D.7.已知向量a(x，3)，b(3，x)，则下列叙述中，正确的个数为()存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(m ab)a；存在实数x，m，使(m ab)b.A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析只有正确，可令m0，则m abb，无论x为何值，都有bb.8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(1，5)，则第四个顶点
15、坐标是()A.(1，5)或(5，5)B.(1，5)或(3，5)C.(5，5)或(3，5)D.(1，5)或(5，5)或(3，5)答案D 二、填空题9.已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.答案 6 解析因为ab，所以由(2)m43 0，解得m 6.10.已知A(1，4)，B(x，2)，若C(3，3)在直线AB上，则x_.答案23 11.已知向量a(1，2)，b(2，3)，若ab与ab共线，则与的关系是_.答案12.设OA(2，1)，OB(3，0)，OC(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是_.答案m|mR且m6解析A，B，C三点能构成三角形.AB，AC不共线
16、.又ABOBOA(1，1)，AC(m 2，4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范围是mR且m6.13.已知直角坐标平面内的两个向量a(1，3)，b(m，2m3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是 _.答案m|mR且m 3 解析根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m3 3m0，解得m 3.所以m的取值范围是mR且m 3.三、解答题14.已知向量AB(6，1)，CD(2，3)，BC(x，y)且|BC|5，BCDA，求x，y的值.解由题意得DAAD(ABBCCD)(6，1)(x，y)(2，3)(x 4，y2)，又BC(x，y)，BCDA，x(y2)y
17、(x 4)0.化简得x2y0.即x，y应满足的关系为x2y0.又|BC|5，x2y25.由解得x 2，y1或x2，y 1.四、探究与拓展15.如图所示，已知在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC14OA，OD12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标.解OC14OA14(0，5)0，54，C(0，54).OD12OB12(4，3)2，32，D2，32.设M(x，y)，则AM(x，y5)，AD 20，325 2，72.AMAD，72x 2(y 5)0，即 7x4y 20.又CMx，y54，CB 4，74，CMCB，74x4y540，即 7x16y 20.联立，解得x127，y2，故点M的坐标为127，2.