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1、2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a(0，3)，b(0，6)；(2)a(2，3)，b(4，6)；(3)a(1，4)，b(3，12)；(4)a(，1)，b(，1).思考1上面几组向量中，a，b有什么关系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.思考2以上几组向量中，a，b共线吗？答案共线.思考3当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成正比例.思考4如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反
2、向吗？答案能.将b写成a形式，0时，b与a同向，0时，b与a反向.梳理(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一向量共线的判定与证明例1(1)下列各组向量中，共线的是()A.a(2，3)，b(4，6)B.a(2，3)，b(3，2)C.a(1，2)，b(7，14)D.a(3，2)，b(6，4)
3、答案D解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0，4)(2，1)(2，3)，(5，3)(1，3)(4，6).方法一(2)(6)340且(2)40，与共线且方向相反.方法二2，与共线且方向相反.反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1已知A
4、，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，求证：.证明设E(x1，y1)，F(x2，y2).(2，2)，(2，3)，(4，1)，(，)，(，1).(x1，y1)(1，0)(，)，(x2，y2)(3，1)(，1)，(x1，y1)(，)，(x2，y2)(，0).(x2，y2)(x1，y1)(，).4()(1)0，.类型二利用向量共线求参数例2已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？解方法一kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b).由(k3，2k2)(1
5、0，4).得解得k.方法二由方法一知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.引申探究1.若例2条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由例2知当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)，3ab3(1，2)(3，2)(6，4)，akb与3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是
6、利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.跟踪训练2设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解析ab(1，2)(2，3)(2，23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.类型三三点共线问题例3已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(10k，k12)，若A，B，C三点共线，则，(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11，又，有公共点A，当k2或11时，A，B，C三点共线.反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向
7、量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3已知A(1，3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.证明，(91，13)(8，4)，7480，且AB，有公共点A，A，B，C三点共线.1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A.1 B.1 C.4 D.4答案D解析ab，(1)y220，y4.2.与a(12，5)平行的单位向量为()A.B.C.或D.答案C解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则或3.已知
8、三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.答案6解析(2，4)(1，2)(1，2).(3，m)(1，2)(2，m2).A，B，C三点共线，即向量，共线，存在实数使得，即(1，2)(2，m2)(2，m2).即m6时，A，B，C三点共线.4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.证明A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5).(2，3)，(4，6).2，即|，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且|3|，求点M
9、的坐标.解设点M的坐标为(x，y).由|3|，得3 或3.由题意，得(x3，y5)，(6x，9y).当3 时，(x3，y5)3(6x，9y)，解得当3时，(x3，y5)3(6x，9y)，解得故点M的坐标是或.1.两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参
10、数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业一、选择题1.设kR，下列向量中，与向量a(1，1)一定不平行的向量是()A.b(k，k) B.c(k，k)C.d(k21，k21) D.e(k21，k21)答案C解析由向量共线的判定条件知，当k0时，向量b，c与a平行；当k1时，向量e与a平行.对任意kR，1(k21)1(k21)0，a与d不平行，故选C.2.已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A.(4，8) B.(8，4)C.(4，8) D.(4，8)答案D3.已知三点A(1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和
11、是相反向量，则D点坐标是()A.(1，0) B.(1，0)C.(1，1) D.(1，1)答案C4.已知向量a(2，3)，b(1，2)，若(manb)(a2b)，则等于()A.2 B.2 C. D.答案C解析由题意得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故选C.5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(，)答案B解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；B选项，1725170，e1与e2不共线，
12、故可以作为基底；C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；D选项，2()(3)0，e1e2，不可以作为基底.故选B.6.已知e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，当ab时，实数等于()A.1 B.0 C. D.2答案D解析e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，a2(1，0)(0，1)(2，1)，b(1，0)(0，1)(，1).又ab，2(1)10，解得2.故选D.7.已知向量a(x，3)，b(3，x)，则下列叙述中，正确的个数为()存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.A.0
13、 B.1 C.2 D.3答案B解析只有正确，可令m0，则mabb，无论x为何值，都有bb.8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(1，5)，则第四个顶点坐标是()A.(1，5)或(5，5)B.(1，5)或(3，5)C.(5，5)或(3，5)D.(1，5)或(5，5)或(3，5)答案D二、填空题9.已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.答案6解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.10.已知A(1，4)，B(x，2)，若C(3，3)在直线AB上，则x_.答案2311.已知向量a(1，2)，b(2，3)，若ab与ab共线，则与的关系是_.答案12.设(2
14、，1)，(3，0)，(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是_.答案m|mR且m6解析A，B，C三点能构成三角形.，不共线.又(1，1)，(m2，4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范围是mR且m6.13.已知直角坐标平面内的两个向量a(1，3)，b(m，2m3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是_.答案m|mR且m3解析根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m33m0，解得m3.所以m的取值范围是mR且m3.三、解答题14.已知向量(6，1)，(2，3)，(x，y)且|，求x，y的值.解由题意得()(6，1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，又(x，y)，x(y2)y(x4)0.化简得x2y0.即x，y应满足的关系为x2y0.又|，x2y25.由解得或四、探究与拓展15.如图所示，已知在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标. 解(0，5)，C(0，).(4，3)，D.设M(x，y)，则(x，y5)，.，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立，解得x，y2，故点M的坐标为.