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1、第 1 页 共 2 页2021 年高考数学椭圆复习题2已知椭圆C：?2?2+?2?2=1(?0)，右顶点 A（2，0），上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且 F1BF260，过点A 作斜率为k（k0）的直线l 交椭圆于点D，交 y 轴于点 E（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为 AD 的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k0）都有 OPEQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意得：a2，在 Rt OBF2中，F1BF260，OBF230，|OB|b，|OF2|c，|BF2|a，?30=?，32=?2，?=3，椭圆方程为?24+?23=1（2）解法一：设直线
2、AD：yk（x 2）（k 0），*令 x0，则 y 2k，E（0，2k），将*代入?24+?23=1，?=?(8?2-63+4?2-2)=-12?3+4?2，整理得（3+4k2）x216k2 120，设 D（x0，y0），则 2+?=16?23+4?2，?=8?2-63+4?2，设 P（xp，yp），P 为 AD 的中点，?=12(8?2-63+4?2+2)=8?23+4?2，?=12(-12?3+4?2)=-6?3+4?2，?=(8?23+4?2，-6?3+4?2)，设存在 Q（x0，y0）使得 OPEQ，则?=(?0，?0+2?)，?=0，8?2?03+4?2-6?0+12?23+4?2=
3、0，即4?2(2?0-3)-6?03+4?2=0对任意的k0 都成立，2?0-3=0?0=0，?0=32，存在?(32，0)使得 OPEQ解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），第 2 页 共 2 页?124+?123=1，?224+?223=1，由（1）（2），得(?1-?2)(?1+?2)4+(?1+?2)(?1-?2)3=0，P 为 AB 中点，?042+?032?1-?2?1-?2=0?=?1-?2?1-?2=?(?0)，14+?03?0?k0，?0?0=?，?=-34?，设存在 Q（x3，y3）使得 OPEQ，则?3+2?3=-1?=4?3，即 2k（2x33）3y30，对任意 k0 都成立，即?3=32，y30，存在?(32，0)使得 OPEQ